2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学（理）试题

南昌十中2017-2018学年度上学期期中考试试卷 高二数学试题(理科)‎ 一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．直线 （是参数）被圆截得的弦长等于（   ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（ ）‎ A．10 B．20 C．2 D．‎ ‎4..双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.椭圆上一点到右准线的距离为，则到左焦点的距离为(　 ) ‎ A.　 B.　 C. D.‎ ‎6.已知是抛物线上一动点，则点到直线和轴的距离之和的最小值是（   ） ‎ A. B. C.2 D.‎ ‎7.若实数、满足： ，则的取值范围是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎8.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，， 原点到直线的距离为， 则渐近线的斜率为（   ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若，则的面积为(　　)‎ A.2 B.10 C.8 D.6‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )‎ A. B. C.[ D. ‎ ‎11.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则 的值等于（   ） ‎ A.5 B.4 C.3 D.2‎ 12． 已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率取值范围为（ ）‎ A. B. ( C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．抛物线的焦点坐标是________________.‎ ‎14．椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为________________.‎ ‎15．已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为，则椭圆标准方程为___________．‎ ‎16.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.‎ 三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)‎ ‎17．已知椭圆C：，直线（t为参数）．‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程；‎ ‎(2)设，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等，求点P的坐标．‎ ‎18.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆E上．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求直线的方程．‎ 19. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点.（1）求双曲线方程；‎ （2） 若点在双曲线上，求证：点在以为直径的圆上；‎ （3） 在（2）的条件下求的面积.‎ 20. 已知动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；（2）点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，设直线的斜率为，求的值.‎ ‎21.平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，当时的斜率为．‎ ‎(1) 求的方程；‎ ‎(2)轴上是否存在点，使得变化时总有，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎22．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.‎ ‎(1)证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎(2)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于P，Q两点，求四边形面积的取值范围.‎ 南昌十中2017-2018学年度上学期期中考试试卷 高二数学理科试题答案 一、 选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）‎ ‎ ‎ 二、 填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)‎ ‎17.（10分）【答案】（1），x－y＋9＝0；（2）． ‎ 试题解析：（Ⅰ）C：（θ为参数），：x－y＋9＝0． 4分 ‎（Ⅱ）设，‎ 则，‎ P到直线l的距离．‎ 由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得，．‎ 故． 10分 ‎18.（12分）【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）由题得，又 ，‎ 解得，∴椭圆方程为： ；‎ ‎（2）设直线的斜率为， ，∴ ，‎ 两式相减得，‎ ‎∵是AB中点，∴ ，代入上式得： ，解得 ，‎ ‎∴直线 .‎ 19. ‎（12分）【答案】(1)（2）见解析（3）6‎ 试题解析：离心率为，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为 点在曲线上，代入得，‎ （2） 证明：点在双曲线上，‎ 点在以为直径的圆上。‎ ‎（3）‎ ‎20.（12分）【答案】(1)(2)‎ 试题解析：（1）设点 轨迹的方程为 （2） 设过点的直线方程为，‎ 联立得 则 ‎21.（12分）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO 解：（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．‎ 当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，则，‎ 于是，‎ 所以AB中点P的坐标为，‎ OP的斜率为，所以b=1，．‎ 从而椭圆C的方程为；‎ ‎（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，‎ 化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，‎ 所以，，‎ 直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．，‎ 当时，‎ 所以存在点使得∠AQO=∠BQO ‎22.（12分）(1)证明　因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，‎ 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，‎ 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，‎ 所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，‎ 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0).‎ ‎(2)解　当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝.‎ 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，A到m的距离为，‎ 所以|PQ|＝2＝4.‎ 故四边形MPNQ的面积S＝|MN||PQ|＝12.‎ 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).‎ 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MP N Q的面积为12.‎ 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8).‎