数学理卷·2019届湖南省衡阳市祁东二中高二上学期期中考试（2017-11）
祁东二中2017-2018学年上学期期中考试试卷
高二理科数学
时量：120分钟；分值：150分。命题人：周北桥（2017/10/26）
注意事项：
1、本套试题分为试题卷和答题卷两部分。
2、作答前，请同学们在试卷规定的位置相应地填好自己的班次、姓名、学号及座位号。
3、答题时，请将答案填写在答题卷上指定位置，否则不给分；务必保持字体工整、笔迹清晰，卷面清洁。
4、考试结束后，请保留好试题卷，只收交答题卷。
一、选择题：每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。
1、若，则下列不等式中错误的是 ( )
A. B. C. D.
2、命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
3、已知p：x2－x<0，那么命题p的一个必要不充分条件是 ( )
A．0
1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为 ( )
A．2 B. C．1 D.
12、跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为 ( )
A．8种 B．13种 C．21种 D．34种
二．填空题：每小题5分，共20分，将答案填在指定位置处。
13、已知锐角的面积为，，，则角的大小为_______.
14、若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.
15、某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
16、已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
三．解答题：共6个大题，各大题的分值分配依次为10分、10分、12分、12分、13分、13分，共70分；在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，否则不给分。
17、已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围
18、设△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.
(1)、求的值. (2)、若cosB=,且△ABC的周长为14,求b的值.
19、已知函数。
（Ⅰ）、若的定义域为，试求的取值范围。
（Ⅱ）、若在上有意义， 试求的取值范围。
20、某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.
（Ⅰ）、如果投放的药剂质量为，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?
（Ⅱ）、如果投放的药剂质量为，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.
21、已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn＝－an.
(1)、求数列{an}的通项公式；
(2)、设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝＋＋…＋，求T2 012；
(3)、若cn＝an·f(an)，求{cn}的前n项和Un.
22、已知数列,,
（1）、证明：数列为等比数列并求数列的通项公式；
（2）、当时,求证:
祁东二中2017-2018学年上学期期中考试参考答案
高二理科数学
一、选择题：每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项填到指定的答题框中，否则不给分。
1、若，则下列不等式中错误的是
A. B. C. D.
【答案】B
2、命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
解析 由已知得，对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0，是全称命题．它的否定是特称命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“>0”，故选C.
3、已知p：x2－x<0，那么命题p的一个必要不充分条件是 ( )
A．01，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为 ( )
A．2 B. C．1 D.
答案 C解析 由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为1.
12、跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为 ( )
A．8种 B．13种 C．21种 D．34种
答案 C解析 设跳到第n个格子的方法种数有an，则到达第n个格子的方法有两类：
①向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an－1；②向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an－2，则an＝an－1＋an－2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.
∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.
二．填空题：每小题5分，共20分，将答案填在指定位置处。
13、已知锐角的面积为，，，则角的大小为_______.
解析：由正弦定理得，注意到其是锐角三角形，故C＝°
14、若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.
解析：由题意知，若{an}为调和数列，则为等差数列，∴由为调和数列，可得数列{xn}为等差数列，由等差数列性质，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝＝20.
15、某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】：设仓库建在离车站d千米处，由已知y1＝2＝，得k1＝20，∴y1＝，
y2＝8＝k2·10，得k2＝，∴y2＝d，∴y1＋y2＝＋≥2 ＝8，
当且仅当＝，即d＝5时，费用之和最小．
16、已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
解析 当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1,3]，又对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，∴当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．当a＞0时，解得a≤.综上所述，实数a的取值范围是
三．解答题：共6个大题，各大题的分值分配依次为10分、10分、12分、12分、13分、13分，共70分；在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，否则不给分。
17、已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围
解析 若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a≥e；若命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4，所以若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是[e，4].
18、设△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.
(1)、求的值. (2)、若cosB=,且△ABC的周长为14,求b的值.
【解析】(1)因为b(cosA-3cosC)=(3c-a)cosB.由正弦定理得,=.
即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,
化简可得sin(A+B)=3sin(B+C).又A+B+C=π,所以sinC=3sinA,因此=.
(2)由=得c=3a.由余弦定理及cosB=得
b2=a2+c2-2accosB=a2+9a2-6a2×=9a2.所以b=3a.又a+b+c=14.从而a=2,因此b=6.
19、已知函数（Ⅰ）、若的定义域为，试求的取值范围。
（Ⅱ）、若在上有意义， 试求的取值范围。
解：（Ⅰ）、 的定义域为R，相当于任意实数，使恒成立，即成立，解得
（Ⅱ）、在区间上有意义，等价于在上恒成立，
则 或或总之，
20、某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为个单位的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化.
（Ⅰ）、如果投放的药剂质量为，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天?
（Ⅱ）、如果投放的药剂质量为，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的取值范围.
【解析】（Ⅰ）、由题设：投放的药剂质量为，渔场的水质达到有效净化 或 或，即：，
所以如果投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续8天. …6分
（Ⅱ）、由题设：，，
，且， 且， ，
投放的药剂质量的取值范围为.
21、已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn＝－an.
(1)、求数列{an}的通项公式；
(2)、设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝＋＋…＋，求T
2 012；
(3)、若cn＝an·f(an)，求{cn}的前n项和Un.
解 (1)、当n＝1时，a1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
又Sn＝－an，所以an＝an－1，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，an＝n
(2)、由已知可得f(an)＝log3n＝－n，则bn＝－1－2－3－…－n＝－，
故＝－2，又Tn＝－2＝－2，
所以T2 012＝－.
(3)、由题意得cn＝(－n)·n，故Un＝c1＋c2＋…＋cn＝－，则Un＝－，两式相减可得
Un＝－＝－＋n·n＋1＝－＋·n＋n·n＋1，则Un＝－＋·n＋n·n＋1.
22、已知数列,,
（1）、证明：数列为等比数列并求数列的通项公式；
（2）、当时,求证:
分析： (1),两边加得: ,
是以2为公比, 为首项的等比数列.…………2分
---------① ………3分
由两边减得:
是以为公比, 为首项的等比数列.
-----------②
①-②得: 所以,所求通项为……………6分
(2) 当为偶数时,
当为奇数时,,,又为偶数
当为奇数时。
综上可得 当时,求证: 。 ……………13分
