2018-2019学年山西省应县第一中学校高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年山西省应县第一中学校高一下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省应县第一中学校高一下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可．‎ ‎【详解】‎ A: =（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．‎ B:== 与n有关系，因此不是等差数列.‎ C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；‎ D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．已知，若，则下列不等式成立的是 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.‎ ‎【详解】‎ 解：选项A：取，此时满足条件，则，显然，所以选项A错误；‎ 选项B：取，此时满足条件，则，显然，所以选项B错误；‎ 选项C：因为，所以，因为，所以，‎ 选项C正确；‎ 选项D：取，当，则，所以，所以选项D错误；‎ 故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.‎ ‎3．等边三角形的边长为，，，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意知，同理可得 ‎，所以，故选D.‎ ‎【考点】平面向量的数量积 ‎4．在中，已知， 那么一定是（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 ‎【答案】B ‎【解析】先化简sin Acos B＝sin C=，即得三角形形状.‎ ‎【详解】‎ 由sin Acos B＝sin C得 所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π），‎ 所以sinB＞0，所以cosA=0,所以A=,‎ 所以三角形是直角三角形.‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5．若满足不等式组，则的最小值是（ ）‎ A．-2 B．-3 C．-4 D．-5‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．‎ ‎【详解】‎ 画出x，y满足不等式组表示的平面区域，‎ 如图所示：‎ 平移目标函数z＝2x﹣3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）‎ 当目标函数过点A时，z取得最小值，‎ ‎∴z的最小值为2×2﹣3×3＝﹣5．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．‎ ‎6．已知为等差数列，，则等于（ ）‎ A． B．1 C．3 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： 设等差数列的公差为：，则 由，两式相减，得：‎ ‎，‎ 则有：‎ ‎，‎ 故选B．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎7．已知等差数列的前项和为，，，则使取得最大值时的值为(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，求得数列的通项公式为，得到当时，，当时，，即可判定得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，等差数列的前项和为，，，‎ 根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式，‎ 可得，，‎ 则，可求得数列的通项公式为，‎ 令，即，解得，又由，‎ 可得等差数列中，当时，，当时，，‎ 所以使取得最大值时的值为8，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的基本量的运算，以及等差数列的性质的应用，其中解答中根据题意求得等差数列的通项公式，判定出等差数列“正负”项的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎8．我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为　　‎ A．分 B．分 C．分 D．分 ‎【答案】B ‎【解析】首先“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分，即可求出,进而求出立春”时日影长度为.‎ ‎【详解】‎ 解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，‎ 且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎“立春”时日影长度为：分．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，利用等差数列的性质直接求解．‎ ‎9．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，且，则　　‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】运用余弦定理：，解关于b的方程，结合，即可得到．‎ ‎【详解】‎ ‎，，且，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎，‎ 即有，‎ 解得或4，‎ 由，可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ ‎10．已知角A满足，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将等式两边平方，利用二倍角公式可得出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，在该等式两边平方得，‎ 即，解得，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角正弦公式的应用，一般地，解三角函数有关问题时，遇到，常用平方法来求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎11．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．‎ ‎【详解】‎ 数列{an}单调递增⇔an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．‎ ‎∴a＜2．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 将函数向左平移个单位后，得到函数解析式为：‎ 图象关于点对称 则对称中心在函数图象上，可得：‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则函数在上的最小值为 故选 二、填空题 ‎13．若，，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出，将展开即可得解。‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎14．已知向量，且，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把平方，将代入，化简即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎15．已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，‎ ‎∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），‎ ‎∴S△ABC＝bcsinA ‎＝×2sinB×2sin（﹣B）×‎ ‎＝sinB（cosB+sinB）‎ ‎＝sin（2B﹣）+，‎ ‎∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，‎ ‎∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．‎ 故答案为：（1，]．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎16．对于任意，不等式恒成立，则常数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先参变分离转化为对应函数最值问题，再通过求函数最值得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因为（当且仅当时取等号），因此 ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 三、解答题 ‎17．在等差数列中，已知．‎ ‎（1）求通项；‎ ‎（2）求的前项和．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）设出等差数列的基本量，首项和公差，根据条件列出方程组，解出和，写出的通项.‎ ‎（2）由（1）中求出的基本量，根据等差数列的求和公式，写出 ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为，公差为，‎ ‎，解得 ‎（2）由（1）可知，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量计算，等差数列通项和求和的求法，属于简单题.‎ ‎18．已知不等式.‎ ‎（1）当时，求此不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ； （2） ‎ ‎【解析】（1）不等式为，解得 ‎（2）不等式的解集非空，则，求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式为，解得，‎ 故不等式的解集为； ‎ ‎（2）不等式的解集非空，则，‎ 即，解得，或，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想。‎ ‎19．在中，角所对的边分别为．且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；‎ ‎（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 由正弦定理，‎ 得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理得，‎ 即，‎ 所以，‎ 解得或（舍去），‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．‎ ‎20．已知等差数列的前项的和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）数列的通项公式为 （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）建立方程组 ；‎ ‎（2）由（1）得：进而由裂项相消法求得.‎ 试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意知 解得.‎ 所以数列的通项公式为 ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎21．已知 ， ， .‎ ‎（1）求 的最小值；‎ ‎（2）求 的最小值.‎ ‎【答案】(1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出； （2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ 试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故,‎ 故，当且仅当即时等号成立，∴ ‎ ‎(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴ ‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．‎ ‎22．已知数列中，，．‎ ‎（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，数列的前项和为，求证．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；；（2）‎ ‎【解析】（1）先证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而，由此能求出的通项公式；（2）由（1）推导出，从而，利用错位相减法求和，利用放缩法证明．‎ ‎【详解】‎ 由，，‎ 得，‎ ‎，‎ 数列是以3为公比，以为首项的等比数列， ‎ 从而，‎ ‎ ‎ 数列满足，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得：‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的定义、通项公式与求和公式，以及错位相减法的应用，是中档题．一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎