2018-2019学年北京市西城区高二第一学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年北京市西城区高二第一学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年北京市西城区高二第一学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由椭圆方程得到的值，然后由求得的值，进而求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 根据椭圆标准方程，得，故，所以椭圆的离心率为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出，根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题.‎ ‎2．命题“对任意的，”的否定是（ ）‎ A．不存在，‎ B．存在，‎ C．存在，‎ D．对任意的，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，写出原命题的否定，注意否定结论.‎ ‎【详解】‎ 原命题是全称命题，故其否定是特称命题，主要到要否定结论，故原命题的否定是“存在，”.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.‎ ‎3．数列的前项和为，且，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.‎ ‎【详解】‎ 由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎4．已知点，，是中点，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据中点坐标公式，求得的中点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 根据中点坐标公式得，即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间坐标计算，考查空间两点中点坐标的求法，属于基础题.‎ ‎5．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对四个选项，通过计算判断是否是平面的法向量.‎ ‎【详解】‎ 设平面的法向量为，对于选项，，故A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，故C选项错误.对于D选项，由于 ‎，故D选项符合题意.所以本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题.‎ ‎6．如果，那么下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用的特殊值，代入选项逐一判断选项是否正确，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 令.对于A选项，所以A选项错误.对于B选项，，故B选项错误.对于C选项，，C选项正确.对于D选项，，故D选项错误.综上所述，本小题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查比较数的大小，考查选择题的特殊值排除法，属于基础题.比较两个数的大小，对于对于选择题或者填空题来说，最主要的方法是特殊值法.还有的方法就是利用不等式的性质，或者指数函数单调性、对数函数的单调性来求解.如果问题较为复杂，还需要借助奇偶性，结合图像来求解.‎ ‎7．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一条渐近线方程是，‎ 可得，‎ 它的一个焦点坐标为，可得，即，‎ 解得，‎ 所求双曲线方程为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.‎ ‎8．设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。‎ 点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先运用充分条件的定义进行判断，借助反例说明其不是充分条件，进而确定其逆命题是真命题，从而说明是必要条件，进而说明是必要不充分条件，选出正确答案。‎ ‎9．已知. 将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）‎ A．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列 B．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列 C．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列 D．当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列 ‎【答案】D ‎【解析】注意到时，符合题目的要求，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 注意到时，，且的值为，构成公差为 的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎10．抛物线的焦点坐标为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标。解：抛物线方程中p=2，∴抛物线焦点坐标为（-1，0）故填写 ‎【考点】抛物线的简单性质 点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．‎ ‎11．在数列中，是它的第_____项.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】注意到通项公式为，需要是的倍数，将代入验证可知是数列的第项.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知数列的通项公式为，当时，.故是第项.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查数列的通项公式，考查分析和推理能力，属于基础题.‎ ‎12．不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，∴，∴，∴解集为，故答案为．‎ ‎13．设函数.‎ ‎① 当时，在区间上的最小值为______；‎ ‎② 若在区间上存在最小值，则满足条件的一个的值为______.‎ ‎【答案】 即可 ‎ ‎【解析】①当时，利用基本不等式求得最小值. ②利用基本不等式，研究函数的最小值，并根据基本不等式等号成立的条件，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故最小值为.②由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故，即.填的任意一个都符合题意.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查基本不等式的知识和应用，考查基本不等式“一正，二定，三相等”的要求，属于基础题.一正，即利用基本不等式，要确保为正数.二定是指基本不等式求得的结果为定值，不能含有变量.三相等是指等号成立的条件，也即当且仅当时，取得等号.‎ ‎14．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上. 则椭圆的方程为_____，的左焦点到的准线之间的距离为_______. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】首先判断出在椭圆上，进而判断出 在抛物线上，求得抛物线方程，以及另一个抛物线上点的坐标.判断出在椭圆上，并由此求得椭圆方程，进而求得椭圆左焦点到抛物线的准线的距离.‎ ‎【详解】‎ 注意到在椭圆上，故，根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为，在抛物线上，即，即，且在抛物线的图像上，抛物线准线为.设椭圆的方程为，将代入，求得，不符合题意.将点代入，求得，符合题意，故椭圆方程为.故左焦点为.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线标准方程的求解，考查抛物线的几何性质，考查椭圆标准方程的求解以及椭圆的几何性质，考查分析和推理的能力，属于中档题.椭圆和坐标轴轴有四个交点，而抛物线和坐标轴的交点为，因此，本题中的成为解题的突破口，由此可以判断其它点是椭圆还是在抛物线上.抛物线的方程只需要抛物线上一个点的坐标就可以求解出来.‎ 三、解答题 ‎15．已知等差数列的公差为，且成等比数列. ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）220‎ ‎【解析】（I）根据等比中项的性质，列出方程，并转化为的形式，由此求得的值，并求出数列的通项公式.（II）利用等差数列前项和公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为成等比数列，所以 所以， ‎ 又的公差为，所以，‎ 解得. ‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎. ‎ 所以，的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.‎ ‎16．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求满足的的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，均成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析Ⅲ ‎【解析】（I）当时，解一元二次不等式求得的取值范围.（II）化简为一元二次不等式的形式并因式分解，对分成三类，求得不等式的解集.（III）将不等式分离常数，变为，根据的取值范围，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，所以，即 ‎ 解得.‎ 所以的解集为. ‎ ‎（Ⅱ） 由，得 ，‎ 所以 ，‎ 当时，解集为；当 时，解集为空集；当时，解集为.‎ ‎（Ⅲ），即 ，所以 .‎ 因为对于任意的，均成立.‎ 所以对于任意的，均成立. ‎ 所以 .‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式分类讨论，考查恒成立问题的解法.属于中档题.‎ ‎17．已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1‎ ‎【解析】（I）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（II）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值.利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得焦点到直线的距离，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以. ‎ 因为焦点的坐标为，所以.‎ 结合，得.‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，.‎ 由得.‎ 则.‎ 因为线段中点的横坐标为，‎ 所以 .‎ 解得 ，即（符合题意） ‎ 所以直线的方程为， ‎ 因为 . ‎ 点到直线的距离. ‎ 所以的面积 .‎ 即的面积等于.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查有关椭圆的三角形的面积和弦长公式.在解有关椭圆方程的题目过程中，主要是根据题意，列出有关三个量的关系式，解方程组求得的值，也即求得了椭圆的标准方程.‎ ‎18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，， ‎ ‎，是的中点，.‎ ‎（Ⅰ）证明：⊥平面； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小； ‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析 ‎【解析】（I）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系．通过,证得平面.（II）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（III）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为 平面.‎ 所以，，又. ‎ 如图，以为原点建立空间直角坐标系．‎ 由题意得 所以,,. ‎ 所以,,‎ 所以,,‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量为，‎ 因为. ‎ 所以，即，‎ 令，则.‎ 于是. ‎ 因为⊥平面，所以为平面的法向量，‎ 又.‎ 所以.‎ 因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为.‎ ‎（Ⅲ）解：设，‎ ‎，‎ ‎，. ‎ 设平面的法向量，‎ 则，即 ，‎ 令，，. 于是，‎ 如果直线平面，‎ 那么，解得 .‎ 所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题.‎ ‎19．已知椭圆（）的离心率为，左顶点B与右焦点之间的距离为3．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线交轴于点，过且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别与直线交于两点. 若，求点的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）根据椭圆的离心率和左顶点到右焦点的距离列方程组，求得的值，结合求得的值，由此求得椭圆的标准方程.（II）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去并化简，写出韦达定理.根据由三点共线以及由三点共线求得两点的纵坐标，根据题意得到，将已知条件代入，化简后可求得的值，求得的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意可知 且， ‎ 解得，.‎ 所以.‎ 所以椭圆的方程是 ． ‎ ‎（Ⅱ）设的坐标分别为，，‎ 直线的方程为.‎ 将直线方程与椭圆方程联立，得 ‎.‎ 所以 ①，②. ‎ 设两点的坐标分别为，‎ 由三点共线，得：，从而； ‎ 由三点共线，得 ，从而； ‎ 因为，所以. ‎ 所以 ，即 ，‎ 整理得.‎ 又 ，‎ 所以（）. ‎ 将①， ②代入（），整理得 ‎. ‎ 解之，得或（舍）.‎ 所以点的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何意义，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎20．已知为实数，数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）当和时，分别写出数列的前5项；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，存在正整数，使得；‎ ‎（Ⅲ）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析 ‎【解析】（I）利用递推公式，依次计算出的值.（II）当时，，此时数列为递减的等差数列，且公差为，故总有一项是不大于的.根据这一项在之间讨论，结合数列的递推公式，判断出正整数存在.（III）将分成三类，求得的表达式，由此判断出不存在实数正整数，使得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，； ‎ 当时，. ‎ ‎（Ⅱ）当时，. 所以，在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列. ‎ 即. ‎ 所以，当足够大时，总可以找到，使. ‎ ‎（1）若，令，则存在正整数，使得. ‎ ‎（2）若，因为，则，‎ 令，则存在正整数，使得.‎ 综述所述，则存在正整数，使得. ‎ ‎（Ⅲ）①当时，‎ 当时，，‎ 当时，（），‎ 令，，而此时为奇数，所以不成立；又不成立，所以不存在正整数，使得.‎ ‎②当时，……‎ 所以数列的周期是4，‎ 当，时，；‎ 当，时，；‎ 当，时，；‎ 当，时，.‎ 所以（）. ‎ 所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得. ‎ ‎③当时，‎ ‎（），不存在正整数，使得. ‎ 综述所述，不存在实数正整数，使得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用递推公式求数列的通项，考查递推数列求和，考查分类讨论的数学思想方法，属于较难的题目.‎