2020届高三数学（理）“大题精练”1

2020届高三数学（理）“大题精练”1

‎2020届高三数学（理）“大题精练”1‎ ‎17．已知为数列的前n项和，且满足．‎ 求数列的通项；‎ 令，证明：．‎ ‎18．互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、注：图中2，单位：小时代表分组为i的情况 求饼图中a的值；‎ 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？只需写出结论 从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由 ‎19．如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，∠DAF＝∠ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，，B，E分别为AF，SA的中点．‎ ‎（1）求证：平面BDE∥平面SCF ‎（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值 ‎20．过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为，点P，Q在直线l：上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CD 当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由 当时，点P，Q在什么位置时，取得最小值？‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明：当﹣1＜a＜0时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0随着a的增大而增大．‎ ‎22．已知曲线E的参数方程为为参数，以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线E的直角坐标方程；‎ 设点A是曲线E上任意一点，点A和另外三点构成矩形ABCD，其中AB，AD分别与x轴，y轴平行，点C的坐标为，求矩形ABCD周长的取值范围 ‎23．解不等式；‎ 设a，b，且不全相等，若，证明：．‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”1（答案解析）‎ ‎17．已知为数列的前n项和，且满足．‎ 求数列的通项；‎ 令，证明：．‎ 解：，‎ 可得，解得，‎ 时，，‎ 即有，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ 则；‎ 证明：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则．‎ ‎18．互联网时代的今天，移动互联快速发展，智能手机技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时会带来些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查 针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图4的饼图、注：图中2，单位：小时代表分组为i的情况 求饼图中a的值；‎ 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？只需写出结论 从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于小时的概率，若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由 解：由饼图得：．‎ 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．‎ 样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于小时的概率大约为，若抽到高一、高三的同学则不能估计．‎ ‎19．如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，∠DAF＝∠ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，，B，E分别为AF，SA的中点．‎ ‎（1）求证：平面BDE∥平面SCF ‎（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值 ‎（1）证明：∵∠DAF＝∠ADC＝90°，∴DC∥AF，‎ 又B为AF的中点，∴四边形BFCD是平行四边形，∴CF∥BD，‎ ‎∵BD⊂平面BDE，CF⊄平面BDE，‎ ‎∴CF∥平面BDE，‎ ‎∵B，E分别是AF，SA的中点，∴SF∥BE，‎ ‎∵BE⊂平面BDE，SF⊄平面BDE，‎ ‎∴SF∥平面BDE，‎ 又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．‎ ‎（2）取CD的中点O，连结SO，‎ ‎∵△SCD是等腰三角形，O是CD中点，∴SO⊥CD，‎ 又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，‎ ‎∴SO⊥平面AFCD，取AB的中点H，连结OH，‎ 由题设知四边形ABCD是矩形，∴OH⊥CD，SO⊥OH，‎ 以O为原点，OH为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），‎ ‎∴（1，﹣2，0），（0，﹣1，1），（1，0，0），‎ 设平面ASC的法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（2，1，1），‎ 设平面BSC的法向量（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得（0，1，1），‎ ‎∴cos，‎ 由图知二面角A﹣SC﹣B的平面角为锐角，‎ ‎∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为．‎ ‎20．过抛物线外一点M作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M对应的切点弦已知抛物线为，点P，Q在直线l：上，过P，Q两点对应的切点弦分别为AB，CD 当点P在l上移动时，直线AB是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没有，请说明理由 当时，点P，Q在什么位置时，取得最小值？‎ 解：设，，，‎ 则，，‎ 抛物线的方程可变形为，则，‎ 直线PA的斜率为，‎ 直线PA的方程，化简，‎ 同理可得直线PB的方程为，‎ 由可得，‎ 直线AB的方程为，则是方程的解，‎ 直线AB经过定点．‎ 设，，‎ 由可知，，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎，异号，‎ 不妨设，则，且，‎ ‎，当且仅当，时取等号，‎ 即当，时，取得最小值4‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明：当﹣1＜a＜0时，f（x）存在唯一的零点x0，且x0随着a的增大而增大．‎ 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）；‎ ‎；‎ ‎①当a＝0时，，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎②当a＞0时，，而；‎ 则f（x）在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎③当﹣1≤a＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎④当a＜﹣1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；‎ 综上，当a＜﹣1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；‎ 当﹣1≤a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（2）由（1）得当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎∴f（x）至多有一个零点；‎ 又﹣1＜a＜0；‎ ‎∴，f（1）＝a+1＞0，；‎ 令g（x）＝x﹣1﹣lnx，则；‎ ‎∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；‎ g（x）≥g（1）＝0，即x﹣1﹣lnx≥0，当且仅当x＝1时取等号；‎ ‎∴；‎ ‎∴f（x）存在唯一得零点；‎ 由f（x0）＝0，得，即；‎ ‎∵x0∈（1，+∞），；‎ ‎∴，即a是x0的函数；‎ 设，x∈（1，+∞），则；‎ ‎∴h（x）为（1，+∞）上的增函数；‎ ‎∴随增大而增大，反之亦成立.‎ ‎∴x0随着a的增大而增大．‎ ‎22．已知曲线E的参数方程为为参数，以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求曲线E的直角坐标方程；‎ 设点A是曲线E上任意一点，点A和另外三点构成矩形ABCD，其中AB，AD分别与x轴，y轴平行，点C的坐标为，求矩形ABCD周长的取值范围 解：曲线E的参数方程为为参数，‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ 设点A的坐标为，，，‎ 所以；，，‎ ‎，‎ 所以矩形的周长的取值范围为 ‎23．解不等式；‎ 设a，b，且不全相等，若，证明：．‎ 解：原不等式等价于或或，‎ 解得：或或，‎ 故原不等式的解集是；‎ 证明：，，，‎ ‎，‎ 同理，，‎ 又a，b，且不全相等，‎ 故上述三式至少有1个不取“”，‎ 故 ‎．‎