2018-2019学年福建省长乐高级中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2018-2019学年福建省长乐高级中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

‎2018-2019学年福建省长乐高级中学高二下学期期末考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.是虚数单位,复数的共轭复数 (   )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简z,再由共轭复数的概念得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关复数的共轭复数问题,涉及到的知识点有复数的除法运算法则,复数的乘法运算法则,以及共轭复数,正确解题的关键是灵活掌握复数的运算法则.‎ ‎2.在一次独立性检验中,其把握性超过99%但不超过99.5%,则的可能值为( )‎ 参考数据:独立性检验临界值表 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A.5.424 B.6.765 C.7.897 D.11.897‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据独立性检验表解题 ‎【详解】‎ ‎ ‎ 把握性超过99%但不超过99.5%,,选B ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验表,属于简单题。‎ ‎3.某公共汽车上有5名乘客,沿途有4个车站,乘客下车的可能方式( )‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎【答案】D ‎【解析】5名乘客选4个车站,每个乘客都有4种选法。‎ ‎【详解】‎ 每个乘客都有4种选法,共有种,选D ‎【点睛】‎ 每个乘客独立,且每个乘客都有4种选法 ‎4.设,若,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先计算,带入,求出即可。‎ ‎【详解】‎ 对求导得 将带入有。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数求导,属于简单题。‎ ‎5.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率 ‎【详解】‎ 在下雨条件下吹东风的概率为 ,选C ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率的计算,属于简单题。‎ ‎6.函数的单调增区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先确定定义域,再求导判断正负号即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 定义域为 ‎ 恒成立 所以在上单增,在上单增 所以函数的单调增区间是 ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调区间的求法,需要注意的是两个区间不能用并集符号连接。‎ ‎7.若函数的图象的顶点在第一象限,则函数的图像是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】求导,根据导函数的性质解题。‎ ‎【详解】‎ ‎,斜率为正,排除BD选项。‎ 的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0‎ 即b<0,选A ‎【点睛】‎ 本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。‎ ‎8.椭圆的点到直线的距离的最小值为( )‎ A. B. C. D.0‎ ‎【答案】D ‎【解析】写设椭圆1上的点为M(3cosθ,2sinθ),利用点到直线的距离公式,结合三角函数性质能求出椭圆1上的点到直线x+2y﹣4=0的距离取最小值.‎ ‎【详解】‎ 解:设椭圆1上的点为M(3cosθ,2sinθ),‎ 则点M到直线x+2y﹣4=0的距离:‎ d|5sin(θ+α)﹣4|,‎ ‎∴当sin(θ+α)时,‎ 椭圆1上的点到直线x+2y﹣4=0的距离取最小值dmin=0.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值,属于中档题。‎ ‎9.在的二项展开式中,的系数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】二次项展开式中某项的系数,根据二项式定理求解 ‎【详解】‎ 的二项展开式中的系数为 ‎【点睛】‎ 本题考查二次项展开式中某项的系数,属于简单题。‎ ‎10.设有个不同颜色的球,放入个不同的盒子中,要求每个盒子中至少有一个球,则不同的放法有( )‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎【答案】D ‎【解析】要求每个盒子中至少有一个球,可将两个颜色的球捆绑在一起。再全排列。‎ ‎【详解】‎ 将两个颜色的球捆绑在一起,再全排列得 选D ‎【点睛】‎ 将两个颜色的球捆绑在一起。再全排列。本题为选择题还可取特值:令n=1,只有一种放法,排除AB,令n=2有6中放法,选D ‎11.如图,某城市中,、两地有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进,则从到不同的走法共有( )‎ A.10 B.13 C.15 D.25‎ ‎【答案】C ‎【解析】向北走的路有5条,向东走的路有3条,走路时向北走的路有5种结果,向东走的路有3种结果,根据分步计数原理计算得出答案 ‎【详解】‎ 因为只能向东或向北两个方向 向北走的路有5条,向东走的路有3条 走路时向北走的路有5种结果,向东走的路有3种结果 根据分步计数原理知共有种结果,选C ‎【点睛】‎ 本题考查分步计数原理,本题的关键是把实际问题转化成数学问题,看出完成一件事共有两个环节,每一步各有几种方法,属于基础题。‎ ‎12.在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆漂流的汽油桶。现有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击相互独立,且命中概率都是 。则打光子弹的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】打光所有子弹,分中0次、中一次、中2次。‎ ‎【详解】‎ ‎5次中0次:‎ ‎5次中一次: ‎ ‎5次中两次: 前4次中一次,最后一次必中 ‎ 则打光子弹的概率是++=,选B ‎【点睛】‎ 本题需理解打光所有子弹的含义:可能引爆,也可能未引爆。‎ 二、填空题 ‎13.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2)且P(-2≤X≤0)=0.4,则P(X>2)=____________.‎ ‎【答案】0.1‎ ‎【解析】随机变量服从正态分布,且,故答案为.‎ ‎14.定积分__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定积分的几何意义求出,再由微积分基本定理求出 ‎,进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为表示圆面积的,所以;‎ 又,‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查求定积分的问题,熟记定积分的几何意义,以及微积分基本定理即可,属于常考题型.‎ ‎15.下图三角形数阵为杨辉三角:按照图中排列的规律,第行()从左向右的第3个数为______(用含的多项式表示).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】按照如图排列的规律,第行()从左向右的第3个数分别为,1,3,6,10,15,21,…‎ 找到规律及可求出。‎ ‎【详解】‎ 按照如图排列的规律,第行()从左向右的第3个数分别为,1,3,6,10,15,21,…‎ 由于 , , , ,‎ 则第行()从左向右的第3个数为 。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理的问题,关键找到规律,属于基础题。‎ ‎16.,若,则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】均值不等式推广;‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握 。‎ 三、解答题 ‎17.7名同学,在下列情况下,各有多少种不同安排方法?(答案以数字呈现)‎ ‎(1)7人排成一排,甲不排头,也不排尾。‎ ‎(2)7人排成一排,甲、乙、丙三人必须在一起。‎ ‎(3)7人排成一排,甲、乙、丙三人两两不相邻。‎ ‎(4)7人排成一排,甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序(不一定相邻)。‎ ‎(5)7人分成2人,2人,3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习。‎ ‎【答案】(1)3600种;(2)720种;(3)1440种;(4)840种;(5)630种 ‎【解析】先特殊后一般。‎ ‎【详解】‎ ‎(1); ‎ ‎(2)‎ ‎(3) ;‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合,思想先特殊后一般。属于简单题。‎ ‎18.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如表:‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 参考公式:,,残差 ‎(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;‎ ‎(2)求出关于的线性回归方程;‎ ‎(3)求第二个点的残差值,并预测加工10个零件需要多少小时?‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3);8.05个小时 ‎【解析】按表中信息描点。‎ 利用所给公式分别计算出和 残差,计算出即为预测值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)作出散点图如下:‎ ‎ ‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ 所求线性回归方程为: ‎ ‎(3)‎ 当代入回归直线方程,得(小时)‎ 加工10个零件大约需要8.05个小时 ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线,考查学生的运算能力,属于基础题。‎ ‎19.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程和的普通方程;‎ ‎(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求.‎ ‎【答案】(1);;(2)‎ ‎【解析】(1)的普通方程消参,圆的直角坐标方程利用公式 化简。‎ ‎(2)联立方程利用韦达定理解出,,再带入即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ ‎ ‎ ‎(2)将代入 得 ‎,‎ 点都在点下方。‎ ‎【点睛】‎ 极坐标与直角坐标方程互化公式 涉及弦长一般利用参数t的几何意义解题,属于基础题 ‎20.已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】将函数写出分段函数形式,再分段解不等式。‎ 不等式的解集非空即。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ 或或 无解或或 或 ‎ ‎ 原不等式的解集为 ‎(2)若要的解集非空 只要即可 故 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查含绝对值的不等式,考查逻辑推理能力与计算能力,属于基础题。‎ ‎21.为调查某小区居民的“幸福度”。现从所有居民中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),若幸福度分数不低于8.5分,则称该人的幸福度为“幸福”。‎ ‎(1)求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率;‎ ‎(2)以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区(人数很多)任选3人,记表示抽到“幸福”的人数,求的分布列及数学期望和方差。‎ ‎【答案】(1);(2)的分布列见解析;数学期望为;方差为 ‎【解析】首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数,再计算概率。‎ 由茎叶图知任选一人,该人幸福度为“幸福”的概率为,知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为,再计算即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由茎叶图可知,抽取的16人中“幸福”的人数有12人,其他的有4人;‎ 记“从这16人中随机选取3人,至少有2人是“幸福”,”为事件.‎ 由题意得 ‎ ‎(2)由茎叶图知任选一人,该人幸福度为“幸福”的概率为,的可能取值为0,1,2,3,‎ 显然 则;;‎ ‎;;‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望,属于基础题。‎ ‎22.设函数.‎ ‎(1)求过点的切线方程;‎ ‎(2)若方程有3个不同的实根,求的取值范围。‎ ‎(3)已知当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)‎ ‎【解析】求导带入求出切线斜率,再利用点斜式写出切线。‎ 求出的单调区间,极值,则在极小值与极大值之间。‎ 参变分离,求最值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设切点为 切线过 ‎ ‎ ‎(2)对函数求导,得函数 令,即,解得,或 ‎,即,解得,‎ 的单调递增区间是及,单调递减区间是 当,有极大值;‎ 当,有极小值 当时,‎ 直线与的图象有3个不同交点,‎ 此时方程有3个不同实根。‎ 实数的取值范围为 ‎ ‎(3)时,恒成立,‎ 也就是恒成立,‎ 令,‎ 则,‎ 的最小值为,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线上某点的切线方程,两方程的交点问题以及参变分离。属于中档题。‎
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