河北省承德市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

河北省承德市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

承德市2018~2019学年高二第一学期期末考试 数学试卷(理科)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.命题“，”的否定是 A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据全称命题的否定是特称命题，且否定结论，故为“”，所以选A.‎ 考点：全程命题的否定.‎ ‎2.在区间（0，1）上随机地取一个数a，则事件“‎2”‎发生的概率为（　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据2解出a的范围，再利用几何概型即可。‎ ‎【详解】由题意得，因此。‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了对数不等式以及几何概型，属于基础题。‎ ‎3.已知样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝2，则样本数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为（　　 ）‎ A. 2 B. ‎8 ‎C. 18 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目找出前后平均数的变化，以及前后方差之间的关系即可。‎ ‎【详解】设x1，x2，…，xn的平均数为，则样本3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数 所以样本3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的方差为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了平均数以及方差，属于中等题。‎ ‎4.已知A＝{x|x＞‎2m2‎﹣4}，B＝{x|﹣2＜x＜6}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（　 　）‎ A. ﹣1＜m＜1 B. m C. ﹣5≤m D. ﹣1≤m≤1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以,即B是A的真子集。‎ ‎【详解】由题意可得,即B是A的真子集。所以 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件，属于基础题。‎ ‎5.若执行如图所示的程序框图，则输出的m＝（　 　）‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别当时代入程序框图计算到即可。‎ ‎【详解】由题意可得：‎ 不满足 不满足 不满足 满足 跳出循环 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了程序框图，属于基础题.‎ ‎6.已知随机变量X服从二项分布B（8，），则E（3X﹣1）＝（　　）‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 18 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项分布的性质得，再由，能求出结果．‎ ‎【详解】随机变量服从二项分布，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎7.若在两个成语中，一个成语的末字恰是另一成语的首字，则称这两个成语有顶真关系，现从分别贴有成语“人定胜天”、“争先恐后”、“一马当先”、“天马行空”、“先发制人”的5张大小形状完全相同卡片中，任意抽取2张，则这2张卡片上的成语有顶真关系的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从这5张卡片中随机抽取2张，共有10种不同的情况，利用列举法求出其中有顶真关系的共有3种情况，由此能求出这2张卡片上的成语有顶真关系的概率．‎ ‎【详解】从这5张卡片中随机抽取2张，共有=10种不同的情况，‎ 其中有顶真关系的为：（人定胜天，天马行空），（一马当先，先发制人），（先发胜人，人定胜天），共有3种情况，‎ 这2张卡片上的成语有顶真关系的概率为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎8.5人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻的排法共有（　　）‎ A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，假设5人中除甲乙丙之外的两人为、，分3步进行分析：①，用捆绑法分析甲乙，将甲乙看成一个整体，②，将、全排列，③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，假设5人中除甲乙丙之外的两人为、，分3步进行分析：‎ ‎①，将甲乙看成一个整体，考虑2人的顺序，有种情况，‎ ‎②，将、全排列，有种情况，排好后有3个空位，‎ ‎③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，有种情况，‎ 则满足题意的排法有种；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎9.双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离为2，且C的焦距与椭圆的焦距相等，则双曲线C的渐近线方程是（　 　）‎ A. y＝±2x B. y＝±x C. y＝±4x D. y＝±x ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由焦点到渐近线的距离为2，可以得出，由焦距相等可以得双曲线中，‎ 根据即可解出，根据渐近线方程公式，即可得出答案 ‎【详解】由焦点到渐近线的距离为2，可以得出，再由焦距相等可以得双曲线中，又因为，所以，所以双曲线C的渐近线方程 故选:A ‎【点睛】本题主要考查了双曲线，椭圆的基本性质，属于基础题 ‎10.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数．将组成a的2‎ 个数字按从小到大排成的两位数记为I（a），按从大到小排成的两位数记为D（a）（例如a＝75，则I（a）＝57，D（a）＝75）．执行如图所示的程序框图，若输人的a＝51，则输出的b＝（　 　）‎ A. 30 B. ‎35 ‎C. 40 D. 45‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图输入a＝51即可。‎ ‎【详解】由题意得: ‎ ‎45为5的倍数，所以输出45‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查了读程序框图，属于基础题。‎ ‎11.如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连结，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】取的中点，连结，，‎ ‎，，‎ 平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 又，，‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 是等腰直角三角形，，为直角三角形，‎ ‎，0，，，0，，，0，，‎ ‎，，，‎ ‎，0，，，，，‎ ‎，．‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎12.设双曲线（，）的上顶点为，直线与交于，两点，过，分别作，的垂线交于点，若到点的距离不超过，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的对称性可知点在轴上，设，求得，进而根据题设条件得到关于的不等式，得出关于离心率的不等式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意可知，，且，由双曲线的对称性可知 点在轴上，设，则，所以.‎ 所以，所以.‎ 因为，所以，‎ 即，解得，‎ 又，所以，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的取值范围，其中解答中熟记双曲线的标准及其简单的几何性质，根据题设条件，得出关于 的不等式，即关于离心率的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 ‎13.已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝_____．‎ ‎【答案】0.4‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合，求得，则可求．‎ ‎【详解】随机变量服从正态分布，其对称轴方程为，‎ 又，，‎ 则．‎ 故答案为：0.4．‎ ‎【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．‎ ‎14.（x）9的展开式中含x项的系数为_____．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式的通项公式，令的次数等于1，从而求出展开式中含项的系数．‎ ‎【详解】（x）9展开式的通项公式为：‎ Tr+1•x9﹣r•••x9﹣2r，‎ 令9﹣2r＝1，解得r＝4；‎ 所以展开式中含x项的系数为：‎ ‎•126．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式计算问题，是基础题．‎ ‎15.已知直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y交于A，B两点，则|AB|＝_____．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线代入抛物线，利用韦达定理可得x1+x2＝﹣8，x1x2＝﹣4，再利用弦长公式即可求出|AB|的长。‎ ‎【详解】直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y联立，可得x2+8x﹣4＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝﹣8，x1x2＝﹣4，‎ 则|AB|••20．‎ 故答案为：20‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的弦长公式，解决此类问题主要是把直线代入抛物线利用韦达定理。属于中等题。‎ ‎16.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在甲、乙、丙处投中分别记为事件，，，恰好投中两次为事件，，发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．‎ ‎【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，‎ 恰好投中两次为事件，，发生，‎ 故恰好投中两次的概率P（1），‎ 解得p．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.己知p：函数f（x）在R上是增函数，f（m2）＜f（m+2）成立；q：方程1（m∈R）表示双曲线．‎ ‎（1）若p为真命题，求m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ﹣1＜m＜2．(2) （﹣1，0]∪[2，3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据增函数的定义即可求出m的取值范围 ‎（2）由p∨q为真，p∧q为假可得有两种情况：①p真q假，②p假q真 ‎【详解】（1）己知命题p：函数f（x）在R上是增函数，f（m2）＜f（m+2）成立；‎ 所以m2＜m+2，解得﹣1＜m＜2．‎ ‎（2）已知命题q：方程1（m∈R）表示双曲线．‎ 所以m（m﹣3）＜0，解得0＜m＜3．‎ 由于p∨q为真，p∧q为假，‎ 所以①p真q假，则，解得﹣1＜m≤0．‎ ‎②p假q真，则，解得2≤m＜3，‎ 综上所述：m的取值范围是（﹣1，0]∪[2，3）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了p∨q与p∧q真假的判断，即“一真或为真，一假且为假”。属于基础题 ‎18.国家统计局对某市最近十年小麦的需求量进行统计调查发现小麦的需求量逐年上升，如表是部分统计数据：‎ 年份x ‎2009‎ ‎2011‎ ‎2013‎ ‎2015‎ ‎2017‎ 年需求量y（万吨）‎ ‎336‎ ‎346‎ ‎357‎ ‎376‎ ‎385‎ ‎（1）利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程x；‎ ‎（2）请利用（1）中所求出回归直线方程预测该市2019年的小麦需求量．‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎【答案】(1)；(2)万吨 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接带入，求出即可 ‎（2）当时代入求出结果即可。‎ ‎【详解】（1），．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴所求线性回归方程为；‎ ‎（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝2019，‎ 可得（万吨）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性回归方程，属于基础题。‎ ‎19.某高校随机抽取部分男生测试立定跳远，将成绩整理得到频率分布表如表，测试成绩在220厘米以上（含220厘米）的男生定为“合格生”，成绩在260厘米以上（含260厘米）的男生定为“优良生”．‎ 分组（厘米）‎ 频数 频率 ‎[180，200）‎ ‎0.10‎ ‎[200，220）‎ ‎15‎ ‎[220，240）‎ ‎0.30‎ ‎[240，260）‎ ‎0.30‎ ‎[260，280）‎ ‎0.20‎ 合计 ‎1.00‎ ‎（1）求参加测试的男生中“合格生”的人数．‎ ‎（2）从参加测试的“合格生”中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取8名男生，再从这8名男生中抽取3名男生，记X表示3人中“优良生”的人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）120人（2）分布列见解析，数学期望．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图求出第2小组的频率，由此能求出总人数和不是“合格生”的人数，从而能求出参加测试的男生中“合格生”的人数；（2‎ ‎）在“合格生”中根据分层抽样，有各组中抽取的人数分别为3人，3人，2人，其中，“优良生”有2人，的可能取值为0，1，2，由此能求出的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】（1）第2小组的频率为：1-（0.10+0.30+0.30+0.20）＝0.10，‎ ‎∴总人数为150，‎ ‎∴不是“合格生”的人数为：0.10×150+0.10×150＝30．‎ ‎∴参加测试的男生中“合格生”的人数为：150﹣30＝120.‎ ‎（2）在“合格生”中根据分层抽样，有各组中抽取的人数分别为3人，3人，2人，‎ 其中，“优良生”有2人，∴X的可能取值为0，1，2，‎ P（X＝0），‎ P（X＝1），‎ P（X＝2），‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ P EX．‎ ‎【点睛】本题考查频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立性检验的应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.‎2016年1月1日，我国全面实行二孩政策，某机构进行了街头调查，在所有参与调查的青年男女中，持“响应”“犹豫”和“不响应”态度的人数如表所示：‎ 响应 犹豫 不响应 男性青年 ‎500‎ ‎300‎ ‎200‎ 女性青年 ‎300‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为犹豫与否与性别有关；‎ 犹豫 不犹豫 总计 男性青年 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 女性青年 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎　 　‎ 总计 ‎　 　‎ ‎　 　‎ ‎1800‎ ‎（2）以表中频率作为概率，若从街头随机采访青年男女各2人，求4人中“响应”的人数恰好是“不响应”的人数（“不响应”的人数不为0）的2倍的概率．‎ 参考公式：‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析，有97.5%的把握认为犹豫与否与性别有关．（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用联图，利用独立性检验求出结果；（2）利用概率知识和排列组合知识的运用求出结果．‎ ‎【详解】（1）‎ 犹豫 不犹豫 总计 男性青年 ‎300‎ ‎700‎ ‎1000‎ 女性青年 ‎200‎ ‎600‎ ‎800‎ 总计 ‎500‎ ‎1300‎ ‎1800‎ 所以 ‎5.538＞5.024，‎ 则有97.5%的把握认为犹豫与否与性别有关．‎ ‎（2）男性青年中持“响应”“犹豫”“不响应”态度的概率为，，．‎ 女性青年中持“响应”“犹豫”“不响应”态度的概率为，，．‎ 因为选出的4人中“响应”的人数恰好是“不响应”人数的2倍．‎ 所以响应的人数为2，不响应的人数为1，犹豫的人数为1，‎ 所以所求的概率为P ‎．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：独立性检验的应用，概率的应用，排列组合知识的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．‎ ‎21.在三棱锥P﹣ABC中，AB＝1，BC＝2，AC，PC，PA，PB，E是线段BC的中点．‎ ‎（1）求点C到平面APE的距离d；‎ ‎（2）求二面角P﹣EA﹣B的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的距离公式得解；（2）求出两个平面的法向量，利用向量公式求解．‎ ‎【详解】∵AB2+BC2＝AC2，PC2+BC2＝PB2，PA2+AB2＝PB2，‎ ‎∴，‎ 过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，易得OP＝1，且BC⊥OC，BA⊥OA，‎ ‎∴四边形ABCO为矩形，‎ ‎（1）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则C（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），P（0，0，1），‎ ‎，‎ 设平面APE的法向量为，则，‎ 令x＝1，则，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由（1）知平面APE的法向量为，取平面ABE的一个法向量，‎ 且二面角P﹣EA﹣B为钝角，设其为θ，故．‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量求距离及空间角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．‎ ‎22.已知点P为椭圆C：1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右两个焦点，|PF1|＝2|PF2|，且cos∠F1PF2，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）若点M（1，）在C上，求△MAB面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）．（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理得，与关系，求出，的比值即是离心率的值；（2）由题意设直线与椭圆联立求出弦长，再求到直线距离求出面积，再利用函数的单调性求出面积的最大值．‎ ‎【详解】（1）在△PF‎1F2中，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，cos∠F1PF2，‎ 由余弦定理得，（‎2c）2＝x2+（2x）2﹣2•x•2x•cos∠F1PF2＝5x2﹣4x2•，‎ ‎∴xc，2xc，所以‎2a＝x+2x＝‎4c∴e，‎ 所以椭圆的离心率为．‎ ‎（2）由（1）得：b2＝a2﹣c2＝‎3c2，椭圆的方程为：1，‎ 点M在椭圆上，1，‎ ‎∴c2＝1，b2＝3，a2＝4，‎ 所以椭圆的方程为1．右焦点（1，0），‎ 设直线l的方程：y＝k（x﹣1），A（x，y），B（x'，y'），‎ 当k＝0时，|AB|＝‎2a＝4，M到l距离为，S△MAB3，‎ 当k≠0时，联立与椭圆的方程整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，‎ 所以x+x'，xx'，‎ 弦长|AB||x﹣x'|12，‎ M在直线l的距离d，‎ 所以S△MAB•|AB|•d＝99，‎ 设t=,‎ ‎,分母是一个增函数（增函数+增函数=增函数），‎ 所以是一个减函数，‎ 所以93，‎ 综上△MAB面积的最大值为3．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的计算，考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．‎