2018年山东省淄博市中考数学试卷

2018年山东省淄博市中考数学试卷

‎2018年山东省淄博市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（4.00分）计算的结果是（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．‎ ‎2．（4.00分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　）‎ A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 ‎3．（4.00分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4.00分）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．9‎ ‎5．（4.00分）与最接近的整数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．（4.00分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（4.00分）化简的结果为（　　）‎ A． B．a﹣1 C．a D．1‎ ‎8．（4.00分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎9．（4.00分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）‎ A．2π B． C． D．‎ ‎10．（4.00分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．（4.00分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）‎ A．4 B．6 C． D．8‎ ‎12．（4.00分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）‎ ‎13．（4.00分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=　 　度．‎ ‎14．（4.00分）分解因式：2x3﹣6x2+4x=　 　．‎ ‎15．（4.00分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于　 　．‎ ‎16．（4.00分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　 　．‎ ‎17．（4.00分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（5.00分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．‎ ‎19．（5.00分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．‎ ‎20．（8.00分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：‎ 时间（小时）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；‎ ‎（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．‎ ‎（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？‎ ‎21．（8.00分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；‎ ‎（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．‎ ‎22．（8.00分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．‎ ‎（1）求证：PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．‎ ‎23．（9.00分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　 　；位置关系是　 　．‎ ‎（2）类比思考：‎ 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．‎ ‎（3）深入研究：‎ 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．‎ ‎24．（9.00分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；‎ ‎（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；‎ ‎（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．‎ ‎　‎ ‎2018年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（4.00分）计算的结果是（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．‎ ‎【分析】先计算绝对值，再计算减法即可得．‎ ‎【解答】解：=﹣=0，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（4.00分）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（　　）‎ A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日 C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意 ‎【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．‎ ‎【解答】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；‎ B、只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；‎ C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；‎ D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（4.00分）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．‎ ‎【解答】‎ 解：根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（4.00分）若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（　　）‎ A．3 B．6 C．8 D．9‎ ‎【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，‎ ‎∴单项式am﹣1b2与是同类项，‎ ‎∴m﹣1=2，n=2，‎ ‎∴m=3，n=2，‎ ‎∴nm=8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（4.00分）与最接近的整数是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】由题意可知36与37最接近，即与最接近，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵36＜37＜49，‎ ‎∴＜＜，即6＜＜7，‎ ‎∵37与36最接近，‎ ‎∴与最接近的是6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（4.00分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．‎ ‎【解答】解：sinA===0.15，‎ 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（4.00分）化简的结果为（　　）‎ A． B．a﹣1 C．a D．1‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=+‎ ‎=‎ ‎=a﹣1‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（4.00分）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．‎ ‎【解答】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，‎ 所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；‎ 若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，‎ 所以甲只能是胜两场，‎ 即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．‎ 答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（4.00分）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）‎ A．2π B． C． D．‎ ‎【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．‎ ‎【解答】解：如图，连接CO，‎ ‎∵∠BAC=50°，AO=CO=3，‎ ‎∴∠ACO=50°，‎ ‎∴∠AOC=80°，‎ ‎∴劣弧AC的长为=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（4.00分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．‎ ‎【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，‎ 依题意得：﹣=30，即．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（4.00分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）‎ A．4 B．6 C． D．8‎ ‎【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，‎ ‎∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，‎ ‎∴∠ACB=2∠B，NM=NC，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∵AN=1，‎ ‎∴MN=2，‎ ‎∴AC=AN+NC=3，‎ ‎∴BC=6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（4.00分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴BA=BC，‎ 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，‎ ‎∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，‎ ‎∴△BPE为等边三角形，‎ ‎∴PE=PB=4，∠BPE=60°，‎ 在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，‎ ‎∴AE2=PE2+PA2，‎ ‎∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，‎ ‎∴∠APB=90°+60°=150°．‎ ‎∴∠APF=30°，‎ ‎∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．‎ ‎∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．‎ 则△ABC的面积是•AB2=•（25+12）=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共5个小题，满分20分，将直接填写最后结果）‎ ‎13．（4.00分）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=　40　度．‎ ‎【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1的度数可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，‎ ‎∴∠1+∠2=180°，‎ ‎∵∠1=140°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠1=40°，‎ 故答案为：40．‎ ‎　‎ ‎14．（4.00分）分解因式：2x3﹣6x2+4x=　2x（x﹣1）（x﹣2）　．‎ ‎【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．‎ ‎【解答】解：2x3﹣6x2+4x ‎=2x（x2﹣3x+2）‎ ‎=2x（x﹣1）（x﹣2）．‎ 故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．‎ ‎　‎ ‎15．（4.00分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于　10　．‎ ‎【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D共线，DE可求，问题得解．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD∥BC，CD=AB=2‎ 由折叠，∠DAC=∠EAC ‎∵∠DAC=∠ACB ‎∴∠ACB=∠EAC ‎∴OA=OC ‎∵AE过BC的中点O ‎∴AO=BC ‎∴∠BAC=90°‎ ‎∴∠ACE=90°‎ 由折叠，∠ACD=90°‎ ‎∴E、C、D共线，则DE=4‎ ‎∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10‎ 故答案为：10‎ ‎　‎ ‎16．（4.00分）已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为　2或8　．‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．‎ ‎②当C在B的右侧时，同理可得结论．‎ ‎【解答】解：分为两种情况：‎ ‎①如图，当C在B的左侧时，‎ ‎∵B，C是线段AD的三等分点，‎ ‎∴AC=BC=BD，‎ 由题意得：AC=BD=m，‎ 当y=0时，x2+2x﹣3=0，‎ ‎（x﹣1）（x+3）=0，‎ x1=1，x2=﹣3，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（1，0），‎ ‎∴AB=3+1=4，‎ ‎∴AC=BC=2，‎ ‎∴m=2，‎ ‎②同理，当C在B的右侧时，AB=BC=CD=4，‎ ‎∴m=AB+BC=4+4=8，‎ 故答案为：2或8．‎ ‎　‎ ‎17．（4.00分）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　2018　．‎ ‎【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；‎ ‎【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，‎ ‎∴第45行第一个数是2025，‎ ‎∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，‎ 故答案为2018．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18．（5.00分）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中．‎ ‎【分析】先算平方与乘法，再合并同类项，最后代入计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a ‎=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a ‎=2ab﹣1，‎ 当时，‎ 原式=2（+1）（）﹣1‎ ‎=2﹣1‎ ‎=1．‎ ‎　‎ ‎19．（5.00分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠‎ C=180°．‎ ‎【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．‎ ‎【解答】证明：过点A作EF∥BC，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠1=∠B，∠2=∠C，‎ ‎∵∠1+∠2+∠BAC=180°，‎ ‎∴∠BAC+∠B+∠C=180°，‎ 即∠A+∠B+∠C=180°．‎ ‎　‎ ‎20．（8.00分）“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：‎ 时间（小时）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；‎ ‎（2）根据上述表格补全下面的条形统计图．‎ ‎（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少？‎ ‎【分析】（1）先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，9出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5；‎ ‎（2）根据题意直接补全图形即可．‎ ‎（3）从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于9小时的有25人再除以50即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：‎ ‎（6×5+7×8+8×12+9×15+10×10）÷50=8.34，‎ 故这组样本数据的平均数为8.34；‎ ‎∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是9；‎ ‎∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，‎ ‎∴这组数据的中位数为（8+9）=8.5；‎ ‎（2）补全图形如图所示，‎ ‎（3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10，‎ ‎∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人，‎ ‎∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是=‎ ‎　‎ ‎21．（8.00分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；‎ ‎（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；‎ ‎（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，‎ ‎∴A（1，3），‎ 把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为：y=；‎ ‎（2）∵A（1，3），‎ ‎∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；‎ ‎（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，‎ ‎∴点B的坐标为（4，0），‎ 把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴y2=x+，‎ 令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），‎ ‎∴BC=7，‎ ‎∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，‎ ‎∴CP=BC=，或BP=BC=，‎ ‎∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，‎ ‎∴P（﹣，0）或（，0）．‎ ‎　‎ ‎22．（8.00分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．‎ ‎（1）求证：PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．‎ ‎（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，‎ ‎∴∠APE=∠BPD，‎ ‎∵AP与⊙O相切，‎ ‎∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，‎ ‎∴∠EAP=∠B，‎ ‎∴△PAE∽△PBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴PA•BD=PB•AE；‎ ‎（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，‎ ‎∵DP平分∠APB，‎ AD⊥AP，DF⊥PB，‎ ‎∴AD=DF，‎ ‎∵∠EAP=∠B，‎ ‎∴∠APC=∠BAC，‎ 易证：DF∥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠BAC，‎ 由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，‎ 解得：AE=2，BD=3，‎ ‎∴由（1）可知：，‎ ‎∴cos∠APC==，‎ ‎∴cos∠BDF=cos∠APC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DF=2，‎ ‎∴DF=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形，‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴四边形ADFE是菱形，‎ 此时点F即为M点，‎ ‎∵cos∠BAC=cos∠APC=，‎ ‎∴sin∠BAC=，‎ ‎∴，‎ ‎∴DG=，‎ ‎∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形 其面积为：DG•AE=2×=‎ ‎　‎ ‎23．（9.00分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△‎ ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是　MG=NG　；位置关系是　MG⊥NG　．‎ ‎（2）类比思考：‎ 如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．‎ ‎（3）深入研究：‎ 如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．‎ ‎【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；‎ ‎（2）同（1）的方法即可得出结论；‎ ‎（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接BE，CD相交于H，‎ ‎∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°‎ ‎∴∠CAD=∠BAE，‎ ‎∴△ACD≌△AEB（SAS），‎ ‎∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，‎ ‎∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠BHD=90°，‎ ‎∴CD⊥BE，‎ ‎∵点M，G分别是BD，BC的中点，‎ ‎∴MGCD，‎ 同理：NGBE，‎ ‎∴MG=NG，MG⊥NG，‎ 故答案为：MG=NG，MG⊥NG；‎ ‎（2）连接CD，BE相交于点H，‎ 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；‎ ‎（3）连接EB，DC，延长线相交于H，‎ 同（1）的方法得，MG=NG，‎ 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，‎ ‎∴∠AEB=∠ACD，‎ ‎∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，‎ ‎∴∠DHE=90°，‎ 同（1）的方法得，MG⊥NG．‎ ‎　‎ ‎24．（9.00分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；‎ ‎（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；‎ ‎（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．‎ ‎【分析】（1）将已知点坐标代入即可；‎ ‎（2）利用抛物线增减性可解问题；‎ ‎（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣）求出相关角度．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax2+bx得 解得 ‎∴y=﹣‎ ‎（2）由（1）得 m=﹣‎ n=‎ m﹣n=﹣（）=‎ 当n＜m时，有图象可知，t＞4或t＜﹣‎ ‎（3）如图，设抛物线交x轴于点F 分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E ‎∵AC≥AD，BC≥BE ‎∴AD+BE≤AC+BC=AB ‎∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．‎ ‎∵A（1，），点B（3，﹣）‎ ‎∴∠AOF=60°，∠BOF=30°‎ ‎∴∠AOB=90°‎ ‎∴∠ABO=30°‎ 当OC⊥AB时，∠BOC=60°‎ 点C坐标为（，）．‎ ‎　‎