2018年山东省淄博市中考数学试卷

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文档介绍

2018年山东省淄博市中考数学试卷

‎2018年山东省淄博市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(4.00分)计算的结果是(  )‎ A.0 B.1 C.﹣1 D.‎ ‎2.(4.00分)下列语句描述的事件中,是随机事件的为(  )‎ A.水能载舟,亦能覆舟 B.只手遮天,偷天换日 C.瓜熟蒂落,水到渠成 D.心想事成,万事如意 ‎3.(4.00分)下列图形中,不是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(4.00分)若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式,则nm的值是(  )‎ A.3 B.6 C.8 D.9‎ ‎5.(4.00分)与最接近的整数是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎6.(4.00分)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(4.00分)化简的结果为(  )‎ A. B.a﹣1 C.a D.1‎ ‎8.(4.00分)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎9.(4.00分)如图,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为(  )‎ A.2π B. C. D.‎ ‎10.(4.00分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎11.(4.00分)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(  )‎ A.4 B.6 C. D.8‎ ‎12.(4.00分)如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题4分,共5个小题,满分20分,将直接填写最后结果)‎ ‎13.(4.00分)如图,直线a∥b,若∠1=140°,则∠2=   度.‎ ‎14.(4.00分)分解因式:2x3﹣6x2+4x=   .‎ ‎15.(4.00分)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于   .‎ ‎16.(4.00分)已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线于x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为   .‎ ‎17.(4.00分)将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第8列的数是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎18.(5.00分)先化简,再求值:a(a+2b)﹣(a+1)2+2a,其中.‎ ‎19.(5.00分)已知:如图,△ABC是任意一个三角形,求证:∠A+∠B+∠C=180°.‎ ‎20.(8.00分)“推进全科阅读,培育时代新人”.某学校为了更好地开展学生读书活动,随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表:‎ 时间(小时)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎(1)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数;‎ ‎(2)根据上述表格补全下面的条形统计图.‎ ‎(3)学校欲从这50名学生中,随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动,其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少?‎ ‎21.(8.00分)如图,直线y1=﹣x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;‎ ‎(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标.‎ ‎22.(8.00分)如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P,∠APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AE<BD)的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根.‎ ‎(1)求证:PA•BD=PB•AE;‎ ‎(2)在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形?若存在,请给予证明,并求其面积;若不存在,说明理由.‎ ‎23.(9.00分)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是   ;位置关系是   .‎ ‎(2)类比思考:‎ 如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.‎ ‎(3)深入研究:‎ 如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.‎ ‎24.(9.00分)如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1,),点B(3,﹣),O为坐标原点.‎ ‎(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;‎ ‎(2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围;‎ ‎(3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC的大小及点C的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2018年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(4.00分)计算的结果是(  )‎ A.0 B.1 C.﹣1 D.‎ ‎【分析】先计算绝对值,再计算减法即可得.‎ ‎【解答】解:=﹣=0,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(4.00分)下列语句描述的事件中,是随机事件的为(  )‎ A.水能载舟,亦能覆舟 B.只手遮天,偷天换日 C.瓜熟蒂落,水到渠成 D.心想事成,万事如意 ‎【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案.‎ ‎【解答】解:A、水能载舟,亦能覆舟,是必然事件,故此选项错误;‎ B、只手遮天,偷天换日,是不可能事件,故此选项错误;‎ C、瓜熟蒂落,水到渠成,是必然事件,故此选项错误;‎ D、心想事成,万事如意,是随机事件,故此选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.(4.00分)下列图形中,不是轴对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】观察四个选项图形,根据轴对称图形的概念即可得出结论.‎ ‎【解答】‎ 解:根据轴对称图形的概念,可知:选项C中的图形不是轴对称图形.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(4.00分)若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式,则nm的值是(  )‎ A.3 B.6 C.8 D.9‎ ‎【分析】首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项,再由同类项的定义可得m、n的值,代入求解即可.‎ ‎【解答】解:∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式,‎ ‎∴单项式am﹣1b2与是同类项,‎ ‎∴m﹣1=2,n=2,‎ ‎∴m=3,n=2,‎ ‎∴nm=8.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(4.00分)与最接近的整数是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【分析】由题意可知36与37最接近,即与最接近,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵36<37<49,‎ ‎∴<<,即6<<7,‎ ‎∵37与36最接近,‎ ‎∴与最接近的是6.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(4.00分)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15,然后利用计算器求锐角α.‎ ‎【解答】解:sinA===0.15,‎ 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(4.00分)化简的结果为(  )‎ A. B.a﹣1 C.a D.1‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.‎ ‎【解答】解:原式=+‎ ‎=‎ ‎=a﹣1‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(4.00分)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎【分析】四个人共有6场比赛,由于甲、乙、丙三人胜的场数相同,所以只有两种可能性:甲胜1场或甲胜2场;由此进行分析即可.‎ ‎【解答】解:四个人共有6场比赛,由于甲、乙、丙三人胜的场数相同,‎ 所以只有两种可能性:甲胜1场或甲胜2场;‎ 若甲只胜一场,这时乙、丙各胜一场,说明丁胜三场,这与甲胜丁矛盾,‎ 所以甲只能是胜两场,‎ 即:甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,也就是胜0场.‎ 答:甲、乙、丙各胜2场,此时丁三场全败,丁胜0场.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(4.00分)如图,⊙O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为(  )‎ A.2π B. C. D.‎ ‎【分析】先连接CO,依据∠BAC=50°,AO=CO=3,即可得到∠AOC=80°,进而得出劣弧AC的长为=.‎ ‎【解答】解:如图,连接CO,‎ ‎∵∠BAC=50°,AO=CO=3,‎ ‎∴∠ACO=50°,‎ ‎∴∠AOC=80°,‎ ‎∴劣弧AC的长为=,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(4.00分)“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务,即可得出关于x的分式方程.‎ ‎【解答】解:设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则原来每天绿化的面积为万平方米,‎ 依题意得:﹣=30,即.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.(4.00分)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(  )‎ A.4 B.6 C. D.8‎ ‎【分析】根据题意,可以求得∠B的度数,然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长,从而可以求得BC的长.‎ ‎【解答】解:∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,‎ ‎∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,‎ ‎∴∠ACB=2∠B,NM=NC,‎ ‎∴∠B=30°,‎ ‎∵AN=1,‎ ‎∴MN=2,‎ ‎∴AC=AN+NC=3,‎ ‎∴BC=6,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.(4.00分)如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,则△BPE为等边三角形,得到PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,延长BP,作AF⊥BP于点FAP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB的度数,在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长,则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长,进而求得三角形ABC的面积.‎ ‎【解答】解:∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴BA=BC,‎ 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,连EP,且延长BP,作AF⊥BP于点F.如图,‎ ‎∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,‎ ‎∴△BPE为等边三角形,‎ ‎∴PE=PB=4,∠BPE=60°,‎ 在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,‎ ‎∴AE2=PE2+PA2,‎ ‎∴△APE为直角三角形,且∠APE=90°,‎ ‎∴∠APB=90°+60°=150°.‎ ‎∴∠APF=30°,‎ ‎∴在直角△APF中,AF=AP=,PF=AP=.‎ ‎∴在直角△ABF中,AB2=BF2+AF2=(4+)2+()2=25+12.‎ 则△ABC的面积是•AB2=•(25+12)=.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题4分,共5个小题,满分20分,将直接填写最后结果)‎ ‎13.(4.00分)如图,直线a∥b,若∠1=140°,则∠2= 40 度.‎ ‎【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°,根据∠1的度数可得答案.‎ ‎【解答】解:∵a∥b,‎ ‎∴∠1+∠2=180°,‎ ‎∵∠1=140°,‎ ‎∴∠2=180°﹣∠1=40°,‎ 故答案为:40.‎ ‎ ‎ ‎14.(4.00分)分解因式:2x3﹣6x2+4x= 2x(x﹣1)(x﹣2) .‎ ‎【分析】首先提取公因式2x,再利用十字相乘法分解因式得出答案.‎ ‎【解答】解:2x3﹣6x2+4x ‎=2x(x2﹣3x+2)‎ ‎=2x(x﹣1)(x﹣2).‎ 故答案为:2x(x﹣1)(x﹣2).‎ ‎ ‎ ‎15.(4.00分)在如图所示的平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则△ADE的周长等于 10 .‎ ‎【分析】要计算周长首先需要证明E、C、D共线,DE可求,问题得解.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形 ‎∴AD∥BC,CD=AB=2‎ 由折叠,∠DAC=∠EAC ‎∵∠DAC=∠ACB ‎∴∠ACB=∠EAC ‎∴OA=OC ‎∵AE过BC的中点O ‎∴AO=BC ‎∴∠BAC=90°‎ ‎∴∠ACE=90°‎ 由折叠,∠ACD=90°‎ ‎∴E、C、D共线,则DE=4‎ ‎∴△ADE的周长为:3+3+2+2=10‎ 故答案为:10‎ ‎ ‎ ‎16.(4.00分)已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线于x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为 2或8 .‎ ‎【分析】分两种情况:‎ ‎①当C在B的左侧时,先根据三等分点的定义得:AC=BC=BD,由平移m个单位可知:AC=BD=m,计算点A和B的坐标可得AB的长,从而得结论.‎ ‎②当C在B的右侧时,同理可得结论.‎ ‎【解答】解:分为两种情况:‎ ‎①如图,当C在B的左侧时,‎ ‎∵B,C是线段AD的三等分点,‎ ‎∴AC=BC=BD,‎ 由题意得:AC=BD=m,‎ 当y=0时,x2+2x﹣3=0,‎ ‎(x﹣1)(x+3)=0,‎ x1=1,x2=﹣3,‎ ‎∴A(﹣3,0),B(1,0),‎ ‎∴AB=3+1=4,‎ ‎∴AC=BC=2,‎ ‎∴m=2,‎ ‎②同理,当C在B的右侧时,AB=BC=CD=4,‎ ‎∴m=AB+BC=4+4=8,‎ 故答案为:2或8.‎ ‎ ‎ ‎17.(4.00分)将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第8列的数是 2018 .‎ ‎【分析】观察图表可知:第n行第一个数是n2,可得第45行第一个数是2025,推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018;‎ ‎【解答】解:观察图表可知:第n行第一个数是n2,‎ ‎∴第45行第一个数是2025,‎ ‎∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018,‎ 故答案为2018.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎18.(5.00分)先化简,再求值:a(a+2b)﹣(a+1)2+2a,其中.‎ ‎【分析】先算平方与乘法,再合并同类项,最后代入计算即可.‎ ‎【解答】解:原式=a2+2ab﹣(a2+2a+1)+2a ‎=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a ‎=2ab﹣1,‎ 当时,‎ 原式=2(+1)()﹣1‎ ‎=2﹣1‎ ‎=1.‎ ‎ ‎ ‎19.(5.00分)已知:如图,△ABC是任意一个三角形,求证:∠A+∠B+∠‎ C=180°.‎ ‎【分析】过点A作EF∥BC,利用EF∥BC,可得∠1=∠B,∠2=∠C,而∠1+∠2+∠BAC=180°,利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°.‎ ‎【解答】证明:过点A作EF∥BC,‎ ‎∵EF∥BC,‎ ‎∴∠1=∠B,∠2=∠C,‎ ‎∵∠1+∠2+∠BAC=180°,‎ ‎∴∠BAC+∠B+∠C=180°,‎ 即∠A+∠B+∠C=180°.‎ ‎ ‎ ‎20.(8.00分)“推进全科阅读,培育时代新人”.某学校为了更好地开展学生读书活动,随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间,统计数据如下表:‎ 时间(小时)‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数 ‎5‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎(1)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数;‎ ‎(2)根据上述表格补全下面的条形统计图.‎ ‎(3)学校欲从这50名学生中,随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动,其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少?‎ ‎【分析】(1)先根据表格提示的数据得出50名学生读书的时间,然后除以50即可求出平均数;在这组样本数据中,9出现的次数最多,所以求出了众数;将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数是8和9,从而求出中位数是8.5;‎ ‎(2)根据题意直接补全图形即可.‎ ‎(3)从表格中得知在50名学生中,读书时间不少于9小时的有25人再除以50即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)观察表格,可知这组样本数据的平均数为:‎ ‎(6×5+7×8+8×12+9×15+10×10)÷50=8.34,‎ 故这组样本数据的平均数为8.34;‎ ‎∵这组样本数据中,9出现了15次,出现的次数最多,‎ ‎∴这组数据的众数是9;‎ ‎∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数是8和9,‎ ‎∴这组数据的中位数为(8+9)=8.5;‎ ‎(2)补全图形如图所示,‎ ‎(3)∵读书时间是9小时的有15人,读书时间是10小时的有10,‎ ‎∴读书时间不少于9小时的有15+10=25人,‎ ‎∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是=‎ ‎ ‎ ‎21.(8.00分)如图,直线y1=﹣x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;‎ ‎(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标.‎ ‎【分析】(1)求得A(1,3),把A(1,3)代入双曲线y=,可得y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)依据A(1,3),可得当x>0时,不等式x+b>的解集为x>1;‎ ‎(3)分两种情况进行讨论,AP把△ABC的面积分成1:3两部分,则CP=BC=,或BP=BC=,即可得到OP=3﹣=,或OP=4﹣=,进而得出点P的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)把A(1,m)代入y1=﹣x+4,可得m=﹣1+4=3,‎ ‎∴A(1,3),‎ 把A(1,3)代入双曲线y=,可得k=1×3=3,‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为:y=;‎ ‎(2)∵A(1,3),‎ ‎∴当x>0时,不等式x+b>的解集为:x>1;‎ ‎(3)y1=﹣x+4,令y=0,则x=4,‎ ‎∴点B的坐标为(4,0),‎ 把A(1,3)代入y2=x+b,可得3=+b,‎ ‎∴b=,‎ ‎∴y2=x+,‎ 令y=0,则x=﹣3,即C(﹣3,0),‎ ‎∴BC=7,‎ ‎∵AP把△ABC的面积分成1:3两部分,‎ ‎∴CP=BC=,或BP=BC=,‎ ‎∴OP=3﹣=,或OP=4﹣=,‎ ‎∴P(﹣,0)或(,0).‎ ‎ ‎ ‎22.(8.00分)如图,以AB为直径的⊙O外接于△ABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P,∠APB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AE<BD)的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根.‎ ‎(1)求证:PA•BD=PB•AE;‎ ‎(2)在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形?若存在,请给予证明,并求其面积;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)易证∠APE=∠BPD,∠EAP=∠B,从而可知△PAE∽△PBD,利用相似三角形的性质即可求出答案.‎ ‎(2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,易求得AE=2,BD=3,由(1)可知:,从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=,从而可求出AD和DG的长度,进而证明四边形ADFE是菱形,此时F点即为M点,利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵DP平分∠APB,‎ ‎∴∠APE=∠BPD,‎ ‎∵AP与⊙O相切,‎ ‎∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°,‎ ‎∴∠EAP=∠B,‎ ‎∴△PAE∽△PBD,‎ ‎∴,‎ ‎∴PA•BD=PB•AE;‎ ‎(2)过点D作DF⊥PB于点F,作DG⊥AC于点G,‎ ‎∵DP平分∠APB,‎ AD⊥AP,DF⊥PB,‎ ‎∴AD=DF,‎ ‎∵∠EAP=∠B,‎ ‎∴∠APC=∠BAC,‎ 易证:DF∥AC,‎ ‎∴∠BDF=∠BAC,‎ 由于AE,BD(AE<BD)的长是x2﹣5x+6=0,‎ 解得:AE=2,BD=3,‎ ‎∴由(1)可知:,‎ ‎∴cos∠APC==,‎ ‎∴cos∠BDF=cos∠APC=,‎ ‎∴,‎ ‎∴DF=2,‎ ‎∴DF=AE,‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形,‎ ‎∵AD=AE,‎ ‎∴四边形ADFE是菱形,‎ 此时点F即为M点,‎ ‎∵cos∠BAC=cos∠APC=,‎ ‎∴sin∠BAC=,‎ ‎∴,‎ ‎∴DG=,‎ ‎∴在线段BC上是否存在一点M,使得四边形ADME是菱形 其面积为:DG•AE=2×=‎ ‎ ‎ ‎23.(9.00分)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△‎ ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ;位置关系是 MG⊥NG .‎ ‎(2)类比思考:‎ 如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.‎ ‎(3)深入研究:‎ 如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.‎ ‎【分析】(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB,得出CD=BE,∠ADC=∠ABE,进而判断出∠BDC+∠DBH=90°,即:∠BHD=90°,最后用三角形中位线定理即可得出结论;‎ ‎(2)同(1)的方法即可得出结论;‎ ‎(3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)连接BE,CD相交于H,‎ ‎∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,‎ ‎∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°‎ ‎∴∠CAD=∠BAE,‎ ‎∴△ACD≌△AEB(SAS),‎ ‎∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,‎ ‎∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,‎ ‎∴∠BHD=90°,‎ ‎∴CD⊥BE,‎ ‎∵点M,G分别是BD,BC的中点,‎ ‎∴MGCD,‎ 同理:NGBE,‎ ‎∴MG=NG,MG⊥NG,‎ 故答案为:MG=NG,MG⊥NG;‎ ‎(2)连接CD,BE相交于点H,‎ 同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG;‎ ‎(3)连接EB,DC,延长线相交于H,‎ 同(1)的方法得,MG=NG,‎ 同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,‎ ‎∴∠AEB=∠ACD,‎ ‎∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°,‎ ‎∴∠DHE=90°,‎ 同(1)的方法得,MG⊥NG.‎ ‎ ‎ ‎24.(9.00分)如图,抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点,其中点A(1,),点B(3,﹣),O为坐标原点.‎ ‎(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;‎ ‎(2)若P(4,m),Q(t,n)为该抛物线上的两点,且n<m,求t的取值范围;‎ ‎(3)若C为线段AB上的一个动点,当点A,点B到直线OC的距离之和最大时,求∠BOC的大小及点C的坐标.‎ ‎【分析】(1)将已知点坐标代入即可;‎ ‎(2)利用抛物线增减性可解问题;‎ ‎(3)观察图形,点A,点B到直线OC的距离之和小于等于AB;同时用点A(1,),点B(3,﹣)求出相关角度.‎ ‎【解答】解:(1)把点A(1,),点B(3,﹣)分别代入y=ax2+bx得 解得 ‎∴y=﹣‎ ‎(2)由(1)得 m=﹣‎ n=‎ m﹣n=﹣()=‎ 当n<m时,有图象可知,t>4或t<﹣‎ ‎(3)如图,设抛物线交x轴于点F 分别过点A、B作AD⊥OC于点D,BE⊥OC于点E ‎∵AC≥AD,BC≥BE ‎∴AD+BE≤AC+BC=AB ‎∴当OC⊥AB时,点A,点B到直线OC的距离之和最大.‎ ‎∵A(1,),点B(3,﹣)‎ ‎∴∠AOF=60°,∠BOF=30°‎ ‎∴∠AOB=90°‎ ‎∴∠ABO=30°‎ 当OC⊥AB时,∠BOC=60°‎ 点C坐标为(,).‎ ‎ ‎
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