2020届高三“温情减压”版数学试卷 PDF版含答案

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第 1 ⻚ 共 12 ⻚ 确认过眼神，这就是你想要做的题！ 2020 年普通⾼等学校招⽣统⼀考试 （温情减压卷） 理 科 数 学 命题⼈：数学雅⼠[0，+∞） ⽼师寄语 ⾼徒⼈⼈做学霸，三年陪伴成佳话。 必赢⾼考在明⽇，胜利喜讯传万家。 第Ⅰ 卷 ⼀、选择题：（既然选择了诗和远⽅，就坚定不移的⾛下去吧！） 1．(曾记否？我们在“清华北⼤研学之旅”中集合，在“领袖军团训练军营”中集合！) 设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（复数扩充了数系，学校延续了你的梦想）设复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（公式那么多，考前脑中过。学校每⼀个美好的瞬间，都是永恒的回忆）已知 ， 则 （ ） A． B． C． D． 4．（数列变化的是规律，⼈⽣不变的是初⼼）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 则 （ ） A．20 B．23 C．24 D．28 5．（读书虽然不能带来更多财富,但它可以带给我们更多机会！概率让我们相信：⼀切皆有可 能）我国古代数学名著《数学九章》有“⽶⾕粒分”题：粮仓开仓收粮，有⼈送来⽶ 1534 ⽯， 第 2 ⻚ 共 12 ⻚ 验得⽶夹⾕，抽样取⽶⼀把，数得 254 粒夹⾕ 28 粒，则这批⽶中，⾕约为 A．134 ⽯ B．169 ⽯ C．338 ⽯ D．454 ⽯ 6．（多少年以后，同学聚会，我们不⽐财富多少，我们可以⽐贡献⼤⼩）已知函数 是定 义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 7．（⽣活需要节奏感，每天都在重新排列组合那些⼈世间的感悟）佛⼭市环保部⻔召集 6 家 陶瓷企业的负责⼈座谈，其中甲企业有 2 ⼈到会，其余 5 家企业各有 1 ⼈到会，会上有 3 ⼈发 ⾔则发⾔的 3 ⼈来⾃ 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ） A．15 B．30 C．35 D．42 8．（虽然我们不⽣活在同⼀个平⾯，但我们在同⼀个空间，拥有同⼀个梦想）在⻓⽅体 中， ， ，则异⾯直线 与 所成⻆正切值为（ ） A． B． C． D． 9．（⼈⽣如三⻆函数，有⾼潮也有低⾕，努⼒吧，少年！愿你冲上⾃信的⾼峰，⾛出⾃卑的低 ⾕）已知曲线 向左平移 个单位，得到的曲线 经过点 ，则 （ ） A．函数 的最⼩正周期 B．函数 在 上单调递增 C．曲线 关于直线 对称 D．曲线 关于点 对称 10．（细⼼的你，肯定让失误减少到最⼩，让正常发挥到最⼤）已知函数 ，则 的图象⼤致为（ ） A. B. C. D. 第 3 ⻚ 共 12 ⻚ 11．（做⼀个椭圆的⼈，⽓度能⼤能⼩，能粗能细）已知点 为椭圆 ： 上⼀点， ， 是椭圆 的两个焦点，如 的内切圆的直径为 3，则此椭圆的离⼼率为 （ ） A． B． C． D． 12．（球——空中翻滚的是我们的记忆，绿茵场上有男孩挥洒的身影，有⼥孩加油助威的声⾳） 已知 ， ， 为球 的球⾯上的三个定点， ， ， 为球 的球⾯上的动点， 记三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，若 的最⼤值为 3，则球 的表 ⾯积为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ 卷 ⼆、填空题：（未来，若是空⽩，就来填补； 若不是，就去点缀，不管怎样，都该昂⾸向前） 13．（函数中的常量、变量相伴⽽⽣，互为依存，正如你与⺟校之间的关系，今天你以⺟校为 荣，明天⺟校以你为傲）已知函数 在点 处的切线经过原点，则实数 ______． 14．（从⾼中到⼤学，你的⼈⽣,如⼀幅渐渐展开的画卷）若⼆项式 的展开式中的常 数项为 ，则 ______． 15.（如果你是双曲线，我就是那渐近线，让我慢慢靠近你，懂你，激励你，直到静静地看你 ⾛向理想中的⼤学校园）已知双曲线 的右焦点为 F，点 B 是虚轴上的 ⼀个顶点，线段 BF 与双曲线 C 的右⽀交于点 A，若 ，则双曲线的渐近线⽅程为 16．（世界那么⼤，你想去看看！考完了，你就可以去旅游了，⽤脚去丈量，⽤⼼去感受）“五 第 4 ⻚ 共 12 ⻚ ⼀”劳动节期间，游客从佛⼭市⻄樵⼭的景点 下⼭⾄ 有两种路径：⼀种是从 沿直线步⾏ 到 ，另⼀种是先从 乘缆⻋到 ，然后从 沿直线步⾏到 ．现有甲、⼄两位游客从 下⼭， 甲沿 匀速步⾏，速度为 ⽶/分钟．在甲出发 分钟后，⼄从 乘缆⻋到 ，在 处停留 分 钟后，再从 匀速步⾏到 ．已知缆⻋从 到 要 分钟， ⻓为 ⽶，若 ， ．为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 分钟，则⼄步⾏的速度 （⽶/分钟） 的取值范围是 __________． 三、解答题：（成功只是结果,过程才是⼈⽣。规范答题，分步得分，多去享受做题的过 程吧！） 17．（低质量的忙碌，只会离成功越来越远。瞎算的越多，只会离正确的答案越远。求对通项 公式，让求和更加完美）（12 分）已知数列 是公差为 的等差数列，若 ， ， 成 等⽐数列． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，数列 的前 项和为 ，求满⾜ 成⽴的 的最⼩值． 18．（⼈⽣的发展，也会遵从空间⼏何学：“点”——⼈⽣的定位，“线”——⼈⽣的轨迹，“⾯”—— 观察的视野，“体”——⽣存的空间）（12 分）如图 1，梯形 中， ，过 ， 分别作 ， ，垂⾜分别为 、 ． ， ，已知 ，将梯形 沿 ， 同侧折起，得空间⼏何体 ，如图 2． （1）若 ，证明： 平⾯ ； （2）若 ， ，线段 上存在⼀点 ，满⾜ 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 ， 求 的⻓． 第 5 ⻚ 共 12 ⻚ 19.（⼈⽣就如抛物线，不管我们⾛的有多⾼，终会回归到原点）（12 分）已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上⼀点，且点 到焦点 的距离为 4，过 作抛物线 的切线 （斜率不为 0），切点为 ． （1）求抛物线 的标准⽅程； （2）求证：以 为直径的圆过点 ． 20．（佛⼭，⼀个有情怀有回忆的城市，未来需要你去描绘）（12 分）佛⼭是“武术之乡”，近代 出了三位家喻户晓的功夫名⼈，后⼈为他们建⽴了“三⼤纪念馆”——⻩⻜鸿纪念馆、叶问纪 念馆以及李⼩⻰纪念馆。很多⼈慕名⽽来旅游，通过随机询问 60 名不同性别的游客是否在来 佛⼭之前就知道“三⼤纪念馆”，得到如下列联表： 男 ⼥ 总计 事先知道“三⼤纪念馆” 8 事先不知道“三⼤纪念馆” 4 36 总计 40 附： ， （1）写出列联表中各字⺟代表的数字； （2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为参观“三⼤纪念馆”和 是否“事先知道‘三⼤纪念馆’有关系”？ （3）从被询问的 名事先知道“三⼤纪念馆”的游客中随机选取 2 名游客，求抽到的⼥游客⼈ 数的分布列及其数学期望． 第 6 ⻚ 共 12 ⻚ 21．（⽣活⼀定是把压轴的好运留给了你,做好压轴题，让你轻松逆袭！）（12 分）已知函数 ， （ 且 为常数）． （1）当 时，求函数 的最⼩值； （2）若对任意 都有 成⽴，求实数 的取值范围． 请考⽣在 22、23 两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数⽅程】（你⽤数学，成就⾃我，放⻜梦想，寻找你的⼈⽣ 坐标；我⽤数学，教育学⼦，坚守讲台，去解我的⽣活⽅程！） 在直⻆坐标系 中，曲线 的参数⽅程为 ，（ 为参数）．以原点 为极点， 轴 正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线 的极坐标⽅程为 ． （1）求曲线 的普通⽅程和 的直⻆坐标⽅程； （2）已知曲线 的极坐标⽅程为 ，点 是曲线 与 的交点，点 是曲 线 与 的交点，且 ， 均异于极点 ，且 ，求实数 的值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】（我曾经跨过⼭和⼤海,也穿过⼈⼭⼈海,我曾经流过 汗和泪⽔,只为梦想⽽来！） 已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）若对于任意 ，不等式 恒成⽴，求实数 的取值范围． 第 7 ⻚ 共 12 ⻚ 2020 年普通⾼等学校招⽣统⼀考试 理 科 数 学（答案解析） ⼀、选择题：AADDBC BADACB 【解析】 1．解不等式 ，得 ，即 ， 由 ，得 ，即 ，所以 ，故选 A． 2．∵ ，∴ ．故选 A． 3．由题意，利⽤诱导公式求得 ，故选 D． 4．由于数列是等差数列，故 ，解得 ， ，故 ．故 选 D． 5.由题意可知：这批⽶内夹⾕约为 ⽯，故选 B． 6.根据题意，函数 是定义在 上的偶函数，则 ， ，有 ， ⼜由 在 上单调递增，则有 ，故选 C． 7．由题意知本题是⼀个分类计数问题，由于甲有两个⼈参加会议需要分两类：含有甲的选法 有 种，不含有甲的选法有 种，共有 （种），故选 B． 8.在⻓⽅体 中，直线 与直线 平⾏，则直线 与 所成⻆即为 与 所成⻆，在直⻆三⻆形 中， ， ，所以 ， 所以异⾯直线 与 所成⻆的正切值为 ．故选 A． 9.解法 1：由题意，得 ，且 ，即 ，所以 ， 即 ，故 ，故 的最⼩正周期 ，故选项 A 错； 第 8 ⻚ 共 12 ⻚ 因为 的单调递减区间为 ，故选项 B 错； 曲线 的对称轴⽅程为 ，故选项 C 错； 因为 ，所以选项 D 正确，故选 D． 10.∵ ，令 ， ， 当 时， ， 单调递增，则 单调递减， 当 时， ， 单调递减，则 单调递增，且 ，故选 A． 11．由椭圆的定义可知 的周⻓为 ，设三⻆形 内切圆半径为 ，∴ 的 ⾯积 ，整理得 ，⼜ ， ，故得 ， ∴椭圆 的离⼼率为 ，故选 C． 12．【解析】由题意，设 的外接圆圆⼼为 ，其半径为 ，球 的半径为 ，且 ， 依题意可知 ，即 ，显然 ，故 ，⼜由 ， 故 ，∴球 的表⾯积为 ，故选 B． ⼆、填空题：13. 1 14. 1 15. 16. 13． ， ， 切线⽅程为 ，故 ，解 ， 14．由题意，⼆项展开式的通项为 ， 由 ，得 ，所以 ，则 ． 15.设 ，∵右焦点为 ，点 ，线段 BF 与双曲线 C 的右⽀交于点 A，∵ ， ∴ ，代⼊双曲线⽅程，可得 ，∴双曲线 C 的渐近线⽅程为 16．在 中解三⻆形：已知 ， ， ，则 ，由正弦定理可得 第 9 ⻚ 共 12 ⻚ ， ⼄从 出发时，甲已经⾛了 ，还需⾛ 才能到达 C．设⼄步⾏的速度 为 ，由题意得 ，解得 ，∴为使两位游客在 处互相等待 的时间不超过 3 分钟，⼄步⾏的速度应控制在 范围内． 三、解答题：本⼤题共 6 个⼤题，共 70 分． 17．解:（1）∵ ， ， 成等⽐数列，∴ ， 解得 ，∴ ． （2）由题可知 ， 显然当 时， ， ，⼜∵ 时， 单调递增， 故满⾜ 成⽴的 的最⼩值为 5． 18．解：（1）由已知得四边形 是正⽅形，且边⻓为 2，在图 2 中， ， 由已知得 ， ，∴ 平⾯ ， ⼜ 平⾯ ，∴ ， ⼜ ， ，∴ 平⾯ ． （2）在图 2 中， ， ， ，即 ⾯ ， 在梯形 中，过点 作 交 于点 ，连接 ， 由题意得 ， ，由勾股定理可得 ， 则 ， ， 过 作 交 于点 ，可知 ， ， 两两垂直， 以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴的正⽅向建⽴空间直⻆坐标系， 第 10 ⻚ 共 12 ⻚ 则 ， ， ， ， ， ． 设平⾯ 的⼀个法向量为 ， 由 得 ，取 得 ， 设 ，则 ， ，得 设 与平⾯ 所成的⻆为 ， ．∴ ． 19.解：（1）由题知， ，∴ ，解得 ， ∴抛物线 的标准⽅程为 ． （2）设切线 的⽅程为 ， ， 联⽴ ，消去 可得 ， 由题意得 ，即 ，∴切点 ， ⼜ ，∴ ，∴ ， 故以 为直径的圆过点 ． 20．解：（1）由列联表能求出 ， ， ， ， ． （2）由计算可得 ， 所以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为参观“三⼤纪念馆”和“事先知道‘三⼤纪念馆’ 有关系” 第 11 ⻚ 共 12 ⻚ （3） 的可能取值为 0，1，2． ； ； ， 的分布列为： 0 1 2 的数学期望： ． 21．解：（1） 的定义域为 ， 当 时， 的导数 ． 令 ，解得 ；令 ，解得 ． 从⽽ 在 单调递减，在 单调递增． 所以，当 时， 取得最⼩值 ． （2）令 ， 那么，对于任意 都有 ，只须 即可， ，且 ， 记 ， ， 由已知 ，所以对于任意 ，都有 恒成⽴， ⼜因为 ，所以 在 上单调递增， 所以 ，由 ，解得 ， 所以，当 时，对任意 都有 成⽴． 22．解：（1） ， ． （2） ，联⽴极坐标⽅程 ，得 ， ， 第 12 ⻚ 共 12 ⻚ ， ， ，∴ 或 ． 23．解：（1） ，可化为 ， 即 或 或 ， 解得 或 或 ；不等式的解集为 ． （2） 在 恒成⽴， ， 由题意得， ，所以 ．