数学卷·2018届浙江省诸暨中学高二上学期期中考试（2016-11）

数学卷·2018届浙江省诸暨中学高二上学期期中考试（2016-11）

诸暨中学 2016 学年第一学期期中考试 高二数学 试题卷 满分[ 120]分 ，时间[120]分钟 一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.把答案填在答题卡的相应位置.） 1.平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2.椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ， 是两曲线的一个交点，那么 的值是（ ） A. B. C. D. 3.某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体 的俯视图不可能是（ ） A． B． C． D． 4.已知水平放置的ΔABC 是按斜二测画法得到如图 所示的直观图，其中 ， 那么原ΔABC 是一个（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．仅有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 5.若有直线 、 和平面 、 ，下列四个命题中，正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ， ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则 6.如图，长方体 中， 点 分别是 的中点，则异面直线 与 所成的角是（ ） (A) 60° （B）45° (C) 90° (D) 30° 7.已知直线 与圆心为 的圆 相交 于 两点，且 为等边三角形，则实数 （ ） A. B. C. 或 D. 8.设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. B. C. 3＋1 2 D. 5＋1 2 9.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD,且 AB=2AD,设 , ,以 A,B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 ，以 C,D 为焦点， 且过点 A 的椭圆的离心率为 ，则有（ ） A. 随着角度θ的增大， 增大， 为定值； B. 随着角度θ的增大， 减小， 为定值； C. 随着角度θ的增大， 增大， 也增大； D. 随着角度θ的增大， 减小， 也减小. 10.如图四边形 ， , .现将 沿 折起，当 二面角 处于 过程中，直线 与 所成角的余 弦值取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分.把答案填在答 题卡的相应位置.） 11. 已知双曲线 C ： - =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方 程为_________________ 12. 已知 ，方程 表示圆，则圆的半径是______. 13. 如 果 椭 圆 的 弦 AB 被 点 平 分 ， 则 这 条 弦 AB 所 在 的 直 线 方 程 是 _____________ 14.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中直线 与平面 所成角的余弦值是___________ 15.一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是 _________________ 16.设双曲线 x2– =1 的左、右焦点分别为 F1，F2．若点 P 在双曲线上，且△F1PF2 为锐角 三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______________ 17.如图所示，已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线 交双曲线 的渐近线于 两点，且直线 的倾斜角是渐近线 倾斜角的 2 倍，若 ，则该 双曲线的离心率为__________________. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.） 18.（本小题满分 10 分）已知圆 内有一点 ，过点 作直线 交 圆 于 两点． （Ⅰ）当点 P 为 AB 中点时，求直线 的方程； （Ⅱ）当直线 的倾斜角为 时，求弦 的长． 19．（本小题满分 10 分）如图，在几何体 P﹣ABCD 中，平面 ABCD⊥平面 PAB ，四边形 ABCD 为矩形，△PAB 为正三角形，若 AB＝2，AD＝1，E，F 分别为 AC，BP 中点． (Ⅰ)求证 EF∥平面 PCD； (Ⅱ)求直线 DP 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 20.（本小题满分 10 分）已知四棱锥 P﹣ABCD 中， 底面 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又 PB⊥平面 ABCD， 且 PB=1，点 E 在棱 PD 上，且 ． （Ⅰ）求异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小； （Ⅱ）求证：BE⊥平面 PCD； （Ⅲ）求二面角 A﹣PD﹣B 的大小． 21. （本小题满分 10 分）已知椭圆 C: 的离心率为 ，设 F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点 M 到左焦点 F1 的距离的最大值 为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； （Ⅲ）设直线 L 的斜率为 k ,且过左焦点 F1,与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，若△PQF2 的面积为 ，试求 k 的值及直线 L 的方程. 22. （本小题满分 12 分）如图，分别过椭圆 左，右焦点 的 动直线 相交于 P 点，与椭圆 E 分别交于 A,B 与 C,D 不同四点，直线 OA,OB,OC,OD 的斜 率 分 别 为 ， 且 满 足 ， 已 知 与 轴 重 合 时 ， , . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)是否存在定点 M,N，使得 为定值，若存在，求出 M,N 点坐标，并求出此定 值，若不存在，试说明理由. 诸暨中学 2016 学年第一学期期中考试 高二数学答题卷 满分[ 120]分，时间[120]分钟 一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.把答案填在答题卡的相应位置.） 题号 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 答案 D B D A D C D D B D 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分.把答案填在答题卡的相应位置.） 11. 1520 22  yx 12.5 13.x+2y-8=0 14. 2 3 15.80 16.  8,72 17. 3 32 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答写在答题卡上的指定区域内.） 18.（本小题满分 10 分）已知圆  2 2: 1 9C x y   内有一点  2,2P ，过点 P 作直线l 交 圆 C 于 ,A B 两点． （Ⅰ）当点 P 为 AB 中点时，求直线l 的方程； （Ⅱ）当直线 l 的倾斜角为 45 时，求弦 AB 的长． 解：（Ⅰ）C(1,0), 2CPk ， 2 1,  lklCP ∴直线 l 的方程为  22 12  xy ，即为 062  yx . （Ⅱ）l 的斜率为 1，l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x,圆心 C 到直线 l 的距离 2 1d ∴ 342 1722 1922 22  drAB 19．（本小题满分 10 分）如图，在几何体 P﹣ABCD 中，平面 ABCD⊥平面 PAB ，四边形 ABCD 为矩形，△PAB 为正三角形，若 AB＝2，AD＝1，E，F 分别为 AC，BP 中点． (Ⅰ)求证 EF∥平面 PCD； (Ⅱ)求直线 DP 与平面 ABCD 所成角的正弦值． (Ⅰ)因为 E 为 AC 中点，所以 DB 与 AC 交于点 E． 因为 E，F 分别为 AC，BP 中点，所以 EF 是△BDP 的中位线， 所以 EF∥DP． 又 DP⊂平面 PCD，EF⊄平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD． (Ⅱ)取 AB 中点 O,连接 PO,DO∵△PAB 为正三角形，∴PO⊥AB，又∵平面 ABCD⊥平面 PAB ∴PO⊥平面 ABCD,∴DP 在平面 ABCD 内的射影为 DO,∠PDO 为 DP 与平面 ABCD 所成角， 3OP , ,5DP 在 Rt△DOP 中，sin∠PDO= 5 15 5 3 DP OP ,∴直线 DP 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .5 15 20.（本小题满分 10 分）已知四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB ⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又 PB⊥平面 ABCD，且 PB=1，点 E 在棱 PD 上，且 PDBE  ． （Ⅰ）求异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小； （Ⅱ）求证：BE⊥平面 PCD； （Ⅲ）求二面角 A﹣PD﹣B 的大小． 20： 解：（Ⅰ）取 BC 中点 F，连接 AF，则 CF=AD，且 CF∥AD， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∴AF∥CD， ∴∠PAF（或其补角）为异面直线 PA 与 CD 所成的角 ∵PB⊥平面 ABCD， ∴PB⊥BA，PB⊥BF． ∵PB=AB=BF=1， ∴AB⊥BC， ∴PA=PF=AF= ． ∴△PAF 是正三角形，∠PAF=60° 即异面直线 PA 与 CD 所成的角等于 60°． （Ⅱ）BE⊥PD 由（Ⅰ）知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°． ∴CD⊥BD 又 PB⊥平面 PBD，∴PB⊥CD、 ∵PB∩BD=B， ∴CD⊥平面 PBD， ∴CD⊥BE ∵CD∩PD=D， ∴BE⊥平面 PCD、 （Ⅲ）连接 AF，交 BD 于点 O，则 AO⊥BD、 ∵PB⊥平面 ABCD， ∴平面 PBD⊥平面 ABD， ∴AO⊥平面 PBD、 过点 O 作 OH⊥PD 于点 H，连接 AH，则 AH⊥PD、 ∴∠AHO 为二面角 A﹣PD﹣B 的平面角． 在 Rt△ABD 中，AO= ． 在 Rt△PAD 中，AH= ． 在 Rt△AOH 中，sin∠AHO= ． ∴∠AHO=60°． 即二面角 A﹣PD﹣B 的大小为 60°． 21.（本小题满分 10 分）已知椭圆 C: )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率为 2 2 ，设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一个动点 M 到左焦点 F1 的距离的最大值为 12  (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 L 的斜率为 k ,且过左焦点 F1,与椭圆 C 相交于 P、Q 两点，若△PQF2 的面积为 3 10 ，试求 k 的值及直线 L 的方程. 解：(Ⅰ)      12 2 2 ca a c ∴ .2,1,2  acca 椭圆 C 的方程为 .12 2 2  yx （Ⅱ） )0,1(),0,1( 21 FF  ，直线 )1(:  xkyl ，设 ),(),,( 2211 yxQyxP 联立      12 )1( 2 2 yx xky 得： 0224)21( 2222  kxkxk ∴ 2 2 212 2 21 21 22, 21 4 k kxx k kxx     21 2 21 2 21 2 4)(11 xxxxkxxkPQ  2 2 21 )1(22 k k   点 2F 到直线 l 的距离 21 2 k k d   ， ∴ 3 10 21 122 .2 1 2 2 2     k kk dPQS PQF ， 化简得： 051616 24  kk , 0)14)(54( 22  kk , 2 1,4 12  kk ∴直线 l 的方程为 012及,012  yxyx . 22.（本小题满分 12 分）如图，分别过椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xE 左，右焦点 21,FF 的 动直线 21,ll 相交于 P 点，与椭圆 E 分别交于 A,B 与 C,D 不同四点，直线 OA,OB,OC,OD 的斜 率 分 别 为 4321 ,,, kkkk ， 且 满 足 4321 kkkk  ，已知 1l 与 x 轴重合时， 32AB , 3 34CD . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)是否存在定点 M,N，使得 PNPM  为定值，若存在，求出 M,N 点坐标，并求 出此定值，若不存在，试说明理由. 22(1)      3 342 322 2 a b a ,所以      2 3 b a ，椭圆方程为 123 22  yx （2）焦点 21,FF 的坐标分别是 )0,1(),0,1( 当直线 1l 或 2l 的斜率不存在时，P 的坐标为 )0,1(),0,1( 或 当直线 1l ， 2l 的斜率存在时，设斜率分别为 1m ， 2m ，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 由       )1( 123 1 22 xmy yx 得： 0636)32( 2 1 2 1 22 1  mxmxm 所以 2 1 2 1 21 32 6 m mxx   ， 2 1 2 1 21 32 63 m mxx   则 2 4)2()11( 2 1 1 21 21 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 21   m m xx xxmx x x xmx y x ykk 同理 2 4 2 2 2 43   m mkk 因为 4321 kkkk  ， 2 4 2 1 1   m m = 2 4 2 2 2   m m ，即 0))(2( 1221  mmmm 由题意知 21 mm  ，所以 0221 mm ， 设 ),( yxP ,则 021.1  x y x y ，即 )1(12 2 2  xxy 当直线 1l 或 2l 的斜率不存在时，P 的坐标为 )0,1(),0,1( 或 ，也满足此方程 所以 P 点在椭圆 12 2 2  xy 上，存在点 )1,0(),1,0( NM  使得 PNPM  为定值， 定值为 22 。