2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练72　参数方程

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练72　参数方程

课时分层训练(七十二)　参数方程 ‎(对应学生用书第345页)‎ ‎1．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长. ‎ ‎【导学号：79140391】‎ ‎[解]　法一：直线l的参数方程化为普通方程，得4x－3y＝4，曲线C的参数方程化为普通方程，得y2＝4x，‎ 联立方程解得或 所以A(4,4)，B或A，B(4,4)．‎ 所以AB＝＝.‎ 法二：曲线C的参数方程化为普通方程，得y2＝4x.‎ 把直线l的参数方程代入抛物线C的普通方程，‎ 得＝4，即4t2－15t－25＝0，‎ 所以t1＋t2＝，t1t2＝－.‎ 所以AB＝|t1－t2|＝ ‎＝＝.‎ ‎2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ ‎[解]　(1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0.‎ 又由ρ＝2sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝5，‎ 即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，‎ 故可设t1，t2是上述方程的两实数根，‎ 所以t1＋t2＝3.‎ 又直线l过点P(3，)，A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)，‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)，‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，‎ 联立得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ 所以交点M的极径为.‎ ‎5．(2018·重庆调研(二))在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ ‎＝4cos. ‎ ‎【导学号：79140392】‎ ‎(1)求直线l的普通方程和圆心C的直角坐标；‎ ‎(2)求圆C上的点到直线l的距离的最小值．‎ ‎[解]　(1)由题意得直线l的普通方程为y＝x－6.‎ 因为ρ＝4cos，所以ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，‎ 即(x－)2＋(y＋)2＝4，‎ 所以圆心C的直角坐标为(，－)．‎ ‎(2)由(1)知，圆C的半径为r＝2，且圆心到直线l的距离d＝＝4>2，所以直线l与圆C相离，‎ 所以圆C上的点到直线l的距离的最小值为d－r＝4－2＝2.‎ ‎6．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2. ‎ ‎【导学号：79140393】‎ ‎(1)求曲线C2的参数方程；‎ ‎(2)过原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．‎ ‎[解]　(1)依题意，可得C1的普通方程为x2＋y2＝4，‎ 由题意可得C2的普通方程为＋y2＝1，‎ 所以C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)设四边形ABCD的周长为l，设点A(2cos θ，sin θ)，‎ l＝8cos θ＋4sin θ ‎＝4 ‎＝4sin(θ＋φ)，‎ 且cos φ＝，sin φ＝，‎ 所以当θ＋φ＝2kπ＋(k∈Z)时，l取最大值．‎ 此时，θ＝2kπ＋－φ.‎ 所以2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，‎ 此时，A，‎ l1的普通方程为y＝x.‎