2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省南充高级中学高二下学期3月线上月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则 A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，由得，‎ 故，选D.‎ ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2．设为虚数单位，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】计算出，进而计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力．‎ ‎3．命题“，使”的否定为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据全称命题的否定直接判定即可.‎ ‎【详解】‎ 命题“,使”的否定为“,”.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题的否定,属于基础题.‎ ‎4． 设，则“”是“” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.‎ 详解：求解不等式可得，‎ 求解绝对值不等式可得或，‎ 据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】试题分析：∵椭圆和双曲线有公共焦点，∴，整理得，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=，故选D．‎ ‎【考点】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质．‎ 点评：基础题，先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．‎ ‎6．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选B 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. ‎ ‎7．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线的方程，知其准线为，，设，则由抛物线的定义，有，所以，所以，所以，故选B．‎ ‎【考点】抛物线的定义及几何性质．‎ ‎8．已知点在抛物线：上，为坐标原点，点是抛物线准线上一动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据点在抛物线：上,可求得，可得准线方程，取，则即可得到.‎ ‎【详解】‎ 因为点在抛物线：上，‎ 所以，所以，所以，准线为：‎ 取，则，‎ 当且仅当三点共线时取得等号.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线方程，抛物线的准线方程的应用，考查了抛物线线中的最值，属于中档题.‎ ‎9．已知平面，的法向量分别为和（其中），若，则的值为（ ）‎ A． B．-5 C． D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据平面平行得到，故，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，故，即，解得.‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力.‎ ‎10．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．‎ 故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.‎ 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.‎ ‎11．正方体的棱长为1，点在棱上，且，点 在平面上，且动点到直线的距离的平方与点到点的距离的平方的差为，在以、为坐标轴的平面直角坐标系中，动点的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线 ‎【答案】B ‎【解析】结合正方体的图像，作，Q为垂足，过点作，求出点到直线的距离，以及到点的距离，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：正方体中，作，Q为垂足，则面，过点作，‎ 则面，即为点到直线的距离，由题意可得．‎ 又已知，，即到点的距离等于到的距离，根据抛物线的定义可得，点的轨迹是抛物线，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查立体几何中的轨迹问题，熟记圆锥曲线的定义即可，属于常考题型.‎ ‎12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据可得四边形为矩形, 设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.‎ ‎【详解】‎ 设,,由,,知,‎ 因为,在椭圆上,,‎ 所以四边形为矩形,；‎ 由,可得,‎ 由椭圆的定义可得,①,‎ 平方相减可得②,‎ 由①②得；‎ 令,‎ 令,‎ 所以,‎ 即,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 解得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由是纯虚数，求出复数，然后再求的模.‎ ‎【详解】‎ 由为纯虚数，‎ 则且 所以，则.‎ 所以 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查纯虚数，复数的模，属于基础题.‎ ‎14．圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在点处的切线方程为，‎ 类比得到在点处的切线方程为，‎ 故椭圆在点处的切线方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.‎ ‎15．设、为双曲线左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于点、，连接、，若，且，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出图形，设，可知是等腰直角三角形，利用双曲线的定义得出与的等量关系，并取线段的中点，可得出，利用勾股定理可求出该双曲线离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的焦距为，如下图所示：‎ 取的中点，设，由于，，‎ 所以，为等腰直角三角形，且，‎ 为的中点，所以，，‎ 由双曲线的定义得，，‎ 又，，可得，‎ ‎，，，‎ 在中，由勾股定理得，则有，可得，因此，该双曲线的离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的计算，同时在问题中涉及了双曲线的焦点，一般利用双曲线的定义来求解，并充分分析几何图形的形状，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16．已知椭圆的方程为：，，是椭圆上的任意三点(异于椭圆顶点)，若存在锐角，使，(为坐标原点)则直线，的斜率乘积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,结合平面向量坐标运算,可得的坐标表达式,代入椭圆化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可设椭圆方程为，‎ 又设，,‎ 所以 因为M点在该椭圆上，则，‎ 即 ,‎ 又因为A､B点在也该椭圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即直线OA､OB的斜率乘积为，‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算,点与椭圆的位置关系应用,直线斜率公式,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知．‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）分别求；‎ ‎（3）试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.‎ ‎【解析】（1）将代入函数解析式，求得的值.（2）将代入函数解析式，求得的值.（3）猜想，利用函数解析式，求得的值，由此证得猜想成立.‎ ‎【详解】‎ 解：(1) ∵‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎(2).‎ ‎.‎ ‎(3)由(1)(2)猜想一般结论是： .‎ 证明如下： .‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知函数解析式求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18．在公差为的等差数列中，，，，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）或. （2）‎ ‎【解析】（1）是自然数集，求出的值，写出通项公式；‎ ‎（2）由，，成等比数列，确定通项公式，代入到中，是用裂项相消的方法求前项和．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，，，且，‎ ‎∴或 当时，；‎ 当时，. ‎ ‎（2）∵，，成等比数列，∴， ‎ ‎∴， ‎ 则，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 等差数列的通项公式为；‎ 当通项公式为时，适合用裂项相消法求前项和．‎ ‎19．在新冠肺炎疫情的影响下，南充高中响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，高二年级的甲､乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．‎ ‎（1）求出x，y的值，且分别求甲､乙两个班中5名学生成绩的方差，并根据结 果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？‎ ‎（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．‎ ‎【答案】（1）答案见解析 ．（2）‎ ‎【解析】（1）根据甲平均成绩可计算得x的值，根据乙中位数可得y的值;由方差公式即可求得两个班的方差,并根据平均数和方差的意义,作出选择.‎ ‎（2）根据古典概型概率求法,列举出所有可能,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）甲班的平均分为，‎ 解得 易知．；‎ 又乙班的平均分为，‎ ‎∴； ‎ ‎∵，，‎ 说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加． ‎ ‎（2）85分及以上甲班有2人，设为 ；乙班有3人，设为， ‎ 从这5人中抽取2人的选法有：，共10种，‎ 其中甲班至少有1名学生的选法有7种，‎ 则甲班至少有1名学生被抽到的概率为 ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图求的简单应用,方差公式求方差值,古典概型概率的求法应用,属于基础题.‎ ‎20．如图：在四棱锥中，平面.，，.点是与的交点，点在线段上且. ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）推导出，在正三角形中，，从而．‎ 进而，由此能证明平面； （2）分别以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，求出与平面的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求出面与面的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出二面角的平面角的余弦值，再转化为正切值即可.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）∵在四棱锥中，平面.， ，.点是与的交点， ， ∴在正三角形中，， 在中，∵是中点，， ，又， ， ， ∵点在线段上且，‎ ‎， 平面，平面， ∴平面． （2）‎ ‎， 分别以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ ‎，‎ 设直线与平面所成角为， 则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为；‎ ‎（3）由（2）可知，为平面的法向量，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，解得，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 故二面角的正切值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查线面角和面面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解.‎ ‎（2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切，设该切线方程为，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为， ‎ 因为准线过点，所以，即. ‎ 所以抛物线C的方程为.‎ ‎(2)由题意可知，抛物线C的焦点为.‎ 当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，‎ 过点P的直线平行直线且与抛物线C相切. ‎ 设该切线方程为，‎ 代入，可得.‎ 由，得.‎ 由，整理得，‎ 又，解得，即.‎ 因此，直线l方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆（）的离心率为，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理 ‎.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可得，，又， ‎ 解得，.‎ 所以，椭圆的方程为 ‎ (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ 设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.‎ 设，，定点.(依题意 则由韦达定理可得，，. ‎ 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. ‎ 所以，，即得. ‎ 又，，‎ 所以，，整理得，.‎ 从而可得，， ‎ 即，‎ 所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点 ‎，满足直线与直线恰关于轴对称.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.‎