云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题

云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题

玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期末考试 文科数学 ‎ 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1.若集合，集合，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若实数，满足约束条件，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列命题中，真命题是 (　　 )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. 的充要条件是 D. 是的充分条件 ‎ ‎4.有线性相关关系的变量有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若数列是递增的等比数列，，则 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.函数，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.函数（）的图象向右平移个单位以后，到的图像，则 （ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.是直线上任意一点，点在圆上运动，则的最小 值是 （ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知函数，若在区间[4，4]上任取一个实数，则使成立的概率为 ( 　　) ‎ ‎ A． B． C． D． 1‎ ‎10.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( 　　)‎ A． a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 ‎ C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1‎ ‎11.已知点到双曲线（）渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设，，，是球面上四点，已知，，球的表面积 为，则四面体的体积的最大值为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 已知向量，，．若，则________．‎ 14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．‎ 14. 阅读右侧的程序框图，若，，‎ ‎，则输出的结果是________.‎ 15. 已知函数，，‎ 则________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）的内角的对边分别为,已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，，求.‎ ‎18.（12分）经销商销售某种产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元；未售出的产品，每亏损元．根据以往的销售记录，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了该产品．用(单位：,)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内经销该产品的利润．‎ ‎(1)将表示为的函数； (2)根据直方图估计利润不少于元的概率．‎ ‎19.（12分）已知数列，是该数列的前项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，已为，证明.‎ ‎20．（12分）四面体及其三视图如下图所示，过棱的中点作平行于、的平面分别交四面体的棱、、于点、、．‎ ‎（1）求证：四边形是矩形；‎ ‎（2）求点到面的距离．‎ ‎21.（12分）已知抛物线C：过点.直线过点且与抛物线交于两点，过点作轴的垂线，该垂线分别交直线于点，其中为坐标原点 ‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）证明： .‎ ‎22.（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．‎ 玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期末考试 文科数学 ‎ ‎ 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1.若集合，集合，则 （ C ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若实数，满足约束条件，则的最小值为 （ D ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列命题中，真命题是(　D　)‎ A．x0∈R， B． x∈R，2x>x2 ‎ C．a+b=0的充要条件是 D．a>1，b>1是的充分条件 ‎4.有线性相关关系的变量有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则 （ D ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若数列是递增的等比数列，，则 ( C )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.函数，则（ B ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.函数（）的图象向右平移个单位以后，到 的图像，则（B ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.是直线上任意一点，点在圆上运动，则的最小值 是（ D ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知函数，若在区间[4，4]上任取一个实数x0，则使成立的概率为(B　　) ‎ A． B． C． D． 1‎ ‎10.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(A　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝‎1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1‎ ‎11.已知点到双曲线（）渐近线的距离为，则该双曲 线的离心率为（ B ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设，，，是球面上四点，已知，，球的表面积 为，则四面体的体积的最大值为（ A ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 已知向量，，．若，则________．‎ 14. 某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是____分层抽样____．‎ 15. 阅读右侧的程序框图，若，，，则输出的结果是____.‎ 14. 已知函数，，‎ 则________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）的内角的对边分别为,已知.‎ ‎（1）求； （2）若的面积为，，求.‎ 解：（1）由及题设得，故 —————2分 所以 ——————5分 ‎（2）由得，又，可得 ——————7分 由余弦定理及得 故 ——————10分 ‎18.（12分）经销商销售某种产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元；未售出的产品，每亏损元．根据以往的销售记录，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．经销商为下一个销售季度购进了该产品．用(单位：,)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)表示下一个销售季度内经销该产品的利润．‎ ‎(1)将表示为的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润不少于元的概率．‎ 解：（1） ——————6分 ‎（2）由（1）知利润不少于元相当于，‎ 由直方图可知需求量在之间的频率为，‎ 所以下一个销售季度经销利润不少于元的概率估计值为 ———12分 ‎19.（12分）已知数列，是该数列的前项和，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，已为，证明.‎ 解：解：（1）易知 ‎ 当时，由得 ——————6分 ‎（2）由可得 因为，所以 ——————12分 ‎20．（12分）四面体及其三视图如下图所示，过棱的中点作平行于、的平面分别交四面体的棱、、于点、、．‎ ‎（1）求证：四边形是矩形；‎ ‎（2）求点到面的距离．‎ 解：（1）证明：由,同理可得 所以 ——————2分 由的面，同理可得 ‎ ‎ 所以 ‎ 所以四边形是平行四边形 ——————3分 由三视图可知，所以 ,又 所以,所以四边形是矩形 ——————6分 ‎（2）易知点到面的距离即点到面的距离，‎ 由 所以点到面的距离即点到线的距离 ——————9分 由（1）和是的中点可知、分别是、的中点，‎ 又由三视图可知是等腰直角三角形，‎ 易得点到线的距离为，即点到面的距离 ——————12分 ‎21.（12分）已知抛物线C：过点.直线过点且与抛物线交于两点，过点作轴的垂线，该垂线分别交直线于点，其中为坐标原点 ‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）证明： .‎ 解：（1）易得，所以抛物线C的方程为 ——————2分 其焦点坐标为，准线方程为 ——————4分 ‎（2）由题意，假设直线的方程为，，‎ 所以，‎ 可得， ——————6分 假设直线的方程为，所以， ‎ 直线的方程为，所以， ——————8分 ‎ ——————10分 故是线段的中点,即 ——————12分 ‎22.（12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．‎ 解：函数的定义域：，， ——————2分 所以当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，‎ 故f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减 ‎ 所以，无极小值． ——————5分 ‎(2) 若存在实数，使得成立，则 由可得 ‎①当时，≤0，在[0,1]上单调递减，‎ ‎∴，即； ——————7分 ‎②当时，>0，在[0,1]上单调递增，‎ ‎∴，即； ——————9分 ‎③当时，‎ 时，，单调递减； 时，，单调递增，‎ ‎，由于，故 ‎，由（1）知，所以 故不可能成立； ——————11分 综上所述，实数的取值范围是． ——————12分 ‎ ‎