江苏省东台市安丰中学2013届高三上学期期中考试数学试题

江苏省东台市安丰中学2013届高三上学期期中考试数学试题

东台市安丰中学2012—2013学年度第一学期 高三数学期中试卷 ‎（第Ⅰ卷）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）‎ ‎1、=________________‎ ‎2、设集合，________.‎ ‎3、若将复数表示为是虚数单位的形式，则 。 ‎ ‎4、已知函数f（x）＝，若f （a）＋f （1）＝0，则实数a的值等于 ． ‎ ‎5、函数单调递减区间是 。‎ ‎6、已知，，则 _______ ． ‎ ‎7、已知||=3，||=4，(+)×(+3)=33，则与的夹角为 ___________ ． ‎ ‎8、等比数列{}的前项和为,已知成等差数列，则等比数列{}的公比为______‎ ‎9、已知函数.则函数在区间上的值域为____________‎ ‎10、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 ．‎ ‎11、定义在[-4,4]上的偶函数f(x)在区间[0,4]上单调递减，若，则实数的取值范围是 ‎ ‎12、已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 _____________ ．‎ ‎13、已知函数f (x)＝ax2＋bx＋与直线y＝x相切于点A(1,1)，若对任意x∈[1,9]，不等式f (x－t)≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为__________．‎ ‎14、函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是 ______ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎15．（本题满分14分）已知且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：.‎ A B C D E F P Q 16、 ‎（本题满分14分）如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE^AD，EF//AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点． （1）求证：BD^CE； （2）求证：PQ∥平面ABCD．‎ ‎17、（本题满分14分）设等差数列的前项和为且． ‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和公式；‎ ‎（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎18、（本题满分16分）已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：过A，F2两点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点 P在一定圆上．‎ ‎ （3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B,C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB,QC的斜率存在且不为0，求证：为定植。‎ ‎19、（本题满分16分）如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．‎ ‎（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；‎ ‎（2）当0≤α≤时，求S的最大值．‎ ‎（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．‎ G ‎ a F ‎ E ‎ D ‎ C ‎ B ‎ A ‎ O ‎ ‎（第19题）‎ ‎20、（本题满分16分）已知函数.‎ ‎（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当，时，求证：.‎ 数学Ⅱ（理科附加题）‎ ‎ (满分40分，考试时间30分钟)‎ ‎21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1　几何证明选讲 已知 中，,是外接圆劣弧上 的点（不与点重合），延长至.‎ 求证：的延长线平分.‎ B．选修4—2　矩阵与变换 已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．‎ C．选修4—4　参数方程与极坐标 在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标．‎ D．选修4—5　不等式证明选讲 设均为正数，证明：.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. 已知函数f(x)=（k<0）‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若对于任意的x∈(0,+∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围.‎ ‎23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足, 过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ． ‎ （1） 求：的值； ‎ （2） 证明：为定值． ‎ ‎2012—2013学年度第一学期高三数学期中试卷Ⅰ卷参考答案 一、填空题 ‎1、 2、 3、1 4、 5、（0,2） 6、 7、120° ‎8、 9、 10、4 11、 12、 13、{4} 14、‎ 二、解答题 ‎15、解：（1）=…（6分）‎ ‎（2）易得，又 所以，……（8分）‎ ‎ 由（1）可得，所以……（14分）‎ ‎16、‎ ‎17、解：（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 ……2分 即解得……………………4分 ‎.故. ……6分 ‎（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得， ……… 11分 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，； 当时，.‎ 故存在正整数t，使得成等差数列. ………………… 14分 ‎18、解：（1）圆与轴交点坐标为，，‎ 故，所以，∴椭圆方程是：．……………4分 ‎（2）设点P（x，y），因为（－，0），（，0），‎ 设点P（x，y），则＝tanβ＝,＝tanα＝，‎ 因为β－α＝，所以tan(β－α)＝－．‎ 因为tan(β－α)＝＝，‎ 所以＝－．化简得x2＋y2－2y＝3．‎ H ‎ O A ‎ B ‎ C ‎ D E ‎ F ‎ a G ‎ 图②‎ 所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上．……………10分 ‎（3）=…………………………………………16分 ‎19、解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．‎ ‎①当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），‎ 此时，AE＝，FH＝，… 2分 ‎∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF＝． ………… 2分 ‎②当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），‎ 此时，EH＝，FH＝，… 4分 ‎∴EF＝．‎ ‎∴S＝S△OEF＝． ‎ 综上所述， ………… 6分 ‎（2）当0≤α≤时，S＝，即S．…… 8分 ‎∵0≤α≤，∴0≤≤1．即1≤1＋≤2．∴≥2．‎ ‎∴S≤2－．当＝－1时，S取得最大值为2－． ……………… 10分 ‎（3）在“一个来回”中，OE共转了2×＝．‎ 其中点G被照到时，共转了2×＝． ‎ 则“一个来回”中，点G被照到的时间为（分钟）．……………… 16分 ‎20、解：（1）， ‎ 当时，；当时，；‎ 函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数 -----------------------3分 当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.‎ ‎，解得. --------------------5分 ‎（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：. ----------10分 ‎（另解：，，‎ 令，所以，当时，‎ 当时，；当时，‎ 当时，函数取得极大值为 当方程有实数解时，.）‎ ‎（3）函数在区间为减函数，而，‎ ‎，即 ‎ ‎----------12分 即，‎ 而，结论成立. -----------------16分 Ⅱ卷附加题参考答案及评分标准 A．选修4—1　几何证明选讲 解（Ⅰ）设为延长线上一点 ‎∵四点共圆，‎ ‎∴ 3分 又 ∴, 5分 且, ∴, 7分 对顶角, 故, ‎ 即的延长线平分. 10分 B．选修4—2　矩阵与变换 解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，‎ 即； 3分 由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，可得＝5，‎ 即， 6分 解得即A＝， 7分 A的逆矩阵是 10分 C．选修4—4　参数方程与极坐标 解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系 则曲线可化为：‎ ‎ 曲线化为x=1, ………………6分 ‎ 由可得交点坐标（1，1），‎ 所以交点Q的极坐标是………………10分 D．选修4—5　不等式证明选讲 证明： 3分 ‎ 9分 即得. 10分 另证 利用柯西不等式 取代入即证.‎ ‎22. 解：(1)f′(x)…………………………………………2分 令f′(x)=0，得x=±k.‎ 因为k＜0，所以f(x)与f′(x)的变化情况如下:‎ x ‎(-∞,k)‎ k ‎(k,-k)‎ ‎-k ‎(-k,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎4k2e-1‎ ‎↘‎ 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞)，单调递增区间是(k,-k).…………6分 ‎(2) 因为k＜0,由(1)知f(x)在(0,+∞)上的最大值是f(-k)=‎ 所以x∈(0,+∞),f(x)≤等价于f(-k)=≤,‎ 解得-≤k＜0.‎ 故当x∈(0,+∞),f(x)≤时,k的取值范围是［-,0).…………………………10分 ‎23.解：设 焦点F（0,1）‎ ‎ ‎ ‎ 消得 化简整理得 ‎ ‎ ‎（定值）………………………………5分 ‎（2）抛物线方程为 过抛物线A、B两点的切线方程分别为和 即和 联立解出两切线交点的坐标为 ‎=（定值）…10分