2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题（60分）‎ ‎1．（5分）点P在直线m上，m在平面a内可表示为（　　）‎ A．P∈m，m∈a B．P∈m，m⊂a C．P⊂m，m∈a D．P⊂m，m⊂a ‎2．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎3．（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（　　）‎ ‎①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；‎ ‎④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．（5分）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（　　）‎ A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α ‎6．（5分）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）‎ A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 ‎7．（5分）设a，b是夹角为300的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（　　）‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎8．（5分）直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎9．（5分）若直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，则直线l与圆D：（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎10．（5分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣∞，+∞）‎ ‎11．（5分）已知直线l过点（1，0），且倾斜角为直线l0：x﹣2y﹣2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（　　）‎ A．4x﹣3y﹣3=0 B．3x﹣4y﹣3=0 C．3x﹣4y﹣4=0 D．4x﹣3y﹣4=0‎ ‎12．（5分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，且垂足为M（1，），则四边形ABCD面积的最大值为（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎　‎ 二．填空题（20分）‎ ‎13．（5分）若正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为　 　．‎ ‎14．（5分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为　 　．‎ ‎15．（5分）经过两点A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，则m的值为　 　．‎ ‎16．（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k﹣1）x+2的倾斜角α=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中 点，E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．‎ ‎18．（12分）如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA=SB=SC．D为斜边AC的中点．‎ ‎（1）求证：SD⊥平面ABC；‎ ‎（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱锥ABCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥BD；‎ ‎（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥DABC的体积．‎ ‎20．（12分）已知M（m，n）为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任意一点．‎ ‎（1）求m+2n的最大值；‎ ‎（2）求的最大值和最小值．‎ ‎21．（12分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），‎ ‎（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；‎ ‎（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．‎ ‎22．（10分）已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年安徽省蚌埠铁中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（60分）‎ ‎1．（5分）点P在直线m上，m在平面a内可表示为（　　）‎ A．P∈m，m∈a B．P∈m，m⊂a C．P⊂m，m∈a D．P⊂m，m⊂a ‎【分析】根据点与线面的关系是∈和∉的关系，线与面是⊂与⊊的关系，即可得到答案 ‎【解答】解：∵点P在直线m上，m在平面a内，‎ ‎∴P∈m，m⊂a，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了平面上的基本的表示方法属于基础题 ‎　‎ ‎2．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】根据三视图，得到四面体的直观图，然后判断四个面中的最大面积即可．‎ ‎【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，‎ 所以面积S=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查三视图的识别和判断，将几何体放入正方体中去研究，是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 ‎【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．‎ ‎【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：‎ ‎∴该选项错误；‎ B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；‎ C．l可以和l1，l2都相交，如下图：‎ ‎，∴该选项错误；‎ D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；‎ ‎∵l和l1，l2都共面；‎ ‎∴l和l1，l2都平行；‎ ‎∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；‎ ‎∴该选项正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（　　）‎ ‎①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线可以确定一个平面；‎ ‎③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；‎ ‎④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】利用平面的基本性质逐个判断选项即可．‎ ‎【解答】解：①对：如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；因为不在同一条直线上的3点，确定唯一平面，所以①正确；‎ ‎②对于：两条直线可以确定一个平面；必须是平行或相交直线，异面直线不能确定平面，所以②不正确；‎ ‎③对于：空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；反例：正方体的一个顶点出发的三条侧棱，不满足③，所以③不正确；‎ ‎④对于：若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．满足平面相交的基本性质，正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查平面的基本性质的应用，平面与平面，直线与平面的位置关系，平面的判断，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（　　）‎ A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α ‎【分析】可用常见的空间几何体模型来判断．‎ ‎【解答】解：若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是：通过观察正方体，可知b与α相交或b⊂α或b∥α ‎【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系及常见结论模型及定理的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）‎ A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 ‎【分析】根据直线与平面平行的定义可知直线与平面无交点，从而直线与平面内任意直线都无交点，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点 ‎∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点 从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交 故选：D ‎【点评】本题主要考查了直线与平面平行的性质，以及直线与平面平行的定义，同时考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设a，b是夹角为300的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（　　）‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎【分析】先任意做过a的平面α，然后在b上任取一点M，过M作α的垂线，可以得到面面垂直；再结合平面α有无数个，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：任意做过a的平面α，可以作无数个．‎ 在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直与α．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查立体几何中平面的基本性质及推论，同时考查学生的空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率k=，即可得出．‎ ‎【解答】解：直线xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率k==﹣=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直线的斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，则直线l与圆D：（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎【分析】利用直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，求出k，再判断则直线l与圆D：（x﹣2）2+y2=3的位置关系．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0，可化为：（x+2）2+（y﹣1）2=2，‎ ‎∵直线l：y=kx+1（k＜0）与圆C：x2+4x+y2﹣2y+3=0相切，‎ ‎∴=（k＜0），∴k=﹣1，‎ ‎∴圆心D（2，0）到直线的距离d==，‎ ‎∴直线l与圆D：（x﹣2）2+y2=3相交，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣∞，+∞）‎ ‎【分析】令x=0，可得y=；令y=0，可得x=﹣b，可得，b≠0，解出即可．‎ ‎【解答】解：令x=0，可得y=；令y=0，可得x=﹣b，‎ ‎∴，b≠0，‎ 解得﹣2≤b≤2，且b≠0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知直线l过点（1，0），且倾斜角为直线l0：x﹣2y﹣2=0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（　　）‎ A．4x﹣3y﹣3=0 B．3x﹣4y﹣3=0 C．3x﹣4y﹣4=0 D．4x﹣3y﹣4=0‎ ‎【分析】先求直线x﹣2y﹣2=0的斜率，进而转化为倾斜角，用2倍角公式求过点（1，0）的斜率，再求解直线方程．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意，直线x﹣2y﹣2=0的斜率为k=0.5，倾斜角为α，所以tanα=0.5，‎ 过点（1，0）的倾斜角为2α，‎ 其斜率为tan2α==，‎ 故所求直线方程为：y=（x﹣1），即4x﹣3y﹣4=0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是点斜式方程，二倍角的正切公式，是直线与三角函数的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦，且垂足为M（1，），则四边形ABCD面积的最大值为（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【分析】设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，则 d12+d22 =3，代入面积公式S=|AC||BD|，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F ‎∵AC⊥BD ‎∴四边形OEMF为矩形 已知OA=OC=2，OM=，‎ 设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，‎ 则d12+d22=OM2=3．‎ 四边形ABCD的面积为：S=•|AC|（|BM|+|MD|），‎ 从而：S=|AC||BD|=2≤8﹣（d12+d22）=5，‎ 当且仅当d12 =d22时取等号，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．‎ ‎　‎ 二．填空题（20分）‎ ‎13．（5分）若正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为　1　．‎ ‎【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，‎ ‎∴底面B1DC1的面积：=，‎ A到底面的距离就是底面正三角形的高：．‎ 三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为　　．‎ ‎【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1F的长．‎ ‎【解答】解：以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 由题意A1（1，0，0），B1（0，1，0），D（，0），C1（0，0，0），A（1，0，2），设F（0，1，t），0≤t≤2，‎ ‎=（，0），=（﹣1，1，﹣2），=（0，1，t），‎ ‎∵AB1⊥平面C1DF，‎ ‎∴，∴1﹣2t=0，解得t=．‎ ‎∴线段B1F的长为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】‎ 本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）经过两点A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，则m的值为　﹣2　．‎ ‎【分析】利用两点间的斜率公式即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣m，6）、B（1，3m）的直线的斜率是12，‎ ‎∴kAB==12，‎ ‎∴m=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积，则直线y=（k﹣1）x+2的倾斜角α=　　．‎ ‎【分析】利用圆的一般式方程，当圆的面积的最大值时，求出半径，以及k的值，然后求解直线的倾斜角．‎ ‎【解答】解：，当有最大半径时有最大面积，此时k=0，r=1，‎ ‎∴直线方程为y=﹣x+2，‎ 设倾斜角为α，则由tanα=﹣1且α∈[0，π）‎ 得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查圆的一般式方程，直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中 点，E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（2）在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）连接BD，设BD与AC的交点为O，连接EO，通过证明EO∥PB．即可判定PB∥平面AEC．‎ ‎（2）PC的中点G即为所求的点，连接GE，FG，通过证明四边形AFGE为平行四边形，可证FG∥AE，进而即可判定FG∥平面AEC．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连接BD，设BD与AC的交点为O，连接EO．‎ 因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB．‎ 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC．‎ ‎（2）PC的中点G即为所求的点．‎ 证明如下：‎ 连接GE，FG，∵E为PD的中点，‎ ‎∴GECD．‎ 又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴FACD．‎ ‎∴FAGE．‎ ‎∴四边形AFGE为平行四边形，‎ ‎∴FG∥AE．‎ 又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，‎ ‎∴FG∥平面AEC．‎ ‎【点评】本题主要考查了线面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA=SB=SC．D为斜边AC的中点．‎ ‎（1）求证：SD⊥平面ABC；‎ ‎（2）若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC．‎ ‎【分析】（1）取AB的中点E，连接SE，DE，则DE∥BC，DE⊥AB，SE⊥AB，从而AB⊥平面SDE，进而AB⊥SD．再求出SD⊥AC，由此能证明SD⊥平面ABC．‎ ‎（2）由AB=BC，得BD⊥AC，SD⊥平面ABC，SD⊥BD，由此能证明BD⊥平面SAC．‎ ‎【解答】证明：（1）如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，‎ 在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．‎ ‎∴DE∥BC，∴DE⊥AB，‎ ‎∵SA=SB，∴SE⊥AB．‎ 又SE∩DE=E，∴AB⊥平面SDE．‎ 又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD．‎ 在△SAC中，SA=SC，D为AC的中点，‎ ‎∴SD⊥AC．‎ 又AC∩AB=A，∴SD⊥平面ABC．‎ ‎（2）由于AB=BC，则BD⊥AC，‎ 由（1）可知，SD⊥平面ABC，‎ 又BD⊂平面ABC，‎ ‎∴SD⊥BD，又SD∩AC=D，‎ ‎∴BD⊥平面SAC．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在三棱锥ABCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥BD；‎ ‎（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求三棱锥DABC的体积．‎ ‎【分析】（1）设BD的中点为O，连接AO，EO，证明AO⊥BD．推出EO⊥BD．证明BD⊥平面AOE．即可证明AE⊥BD．‎ ‎（2）由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等．转化求解S△ABD，求出三棱锥CABD的体积，即可求解三棱锥DABC的体积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，‎ ‎∵AB=AD，∴AO⊥BD．‎ 又E为BC的中点，∴EO∥CD．‎ ‎∵CD⊥BD，∴EO⊥BD．‎ 又OA∩OE=O，∴BD⊥平面AOE．‎ 又AE⊂平面AOE，‎ ‎∴AE⊥BD．‎ ‎（2）由已知得三棱锥DABC与CABD的体积相等．‎ ‎∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，BD==2．‎ 由已知得S△ABD=×BD×=．‎ ‎∴三棱锥CABD的体积VCABD=×CD×S△ABD=．‎ ‎∴三棱锥DABC的体积为．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的条件的求法，考查计算能力以及空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知M（m，n）为圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0上任意一点．‎ ‎（1）求m+2n的最大值；‎ ‎（2）求的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（1）求出圆心C（2，7），半径r，设m+2n=t，将m+2n=t看成直线方程，利用圆心到直线的距离d=≤2，即可得到所求的最大值．‎ ‎（2）记点Q（﹣2，3），表示直线MQ的斜率k，直线MQ的方程kx﹣y+2k+3=0．直线MQ与圆C有公共点，列出不等式，求解即可．可 ‎【解答】解：（1）因为x2+y2﹣4x﹣14y+45=0的圆心C（2，7），半径r=2，‎ 设m+2n=t，将m+2n=t看成直线方程，‎ 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d=≤2，‎ 解上式得，16﹣2≤t≤16+2，‎ 所以所求的最大值为16+2．‎ ‎（2）记点Q（﹣2，3），因为表示直线MQ的斜率k，‎ 所以直线MQ的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．‎ 由直线MQ与圆C有公共点，得≤2．‎ 可得2﹣≤k≤2+，所以的最大值为2+，最小值为2﹣．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），‎ ‎（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；‎ ‎（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．‎ ‎【分析】本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（1）要求过点M的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．（2）由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）由条件知点M在圆O上，‎ ‎∴1+a2=4‎ ‎∴a=±‎ 当a=时，点M为（1，），kOM=，‎ 此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）‎ 即：x+y﹣4=0‎ 当a=﹣时，点M为（1，﹣），kOM=﹣，‎ 此时切线方程为：y+=（x﹣1）‎ 即：x﹣y﹣4=0‎ ‎∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或即：x﹣y﹣4=0‎ ‎（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）‎ 当AC的斜率存在且不为0时，‎ 设直线AC的方程为y﹣=k（x﹣1），‎ 直线BD的方程为y﹣=（x﹣1），‎ 由弦长公式l=2‎ 可得：AC=2‎ BD=2‎ ‎∵AC2+BD2=4（+）=20‎ ‎∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40‎ 故AC+BD≤2‎ 即AC+BD的最大值为2‎ ‎【点评】求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则 过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）已知直线l：4x+3y+‎ ‎10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件直接利用点到直线的距离求出圆心的坐标．最后求出圆的方程．‎ ‎（2）利用分类讨论思想，经过定点的直线①斜率存在②斜率不存在，分类求出点N的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．‎ 设圆心C（a，0），则，‎ 解得a=0或a=﹣5（舍）．‎ 所以圆C：x2+y2=4．‎ ‎（2）如图，当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．‎ ‎①当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的方程为y=k（x﹣1），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，‎ 得到：（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，‎ 所以x1+x2=，x1x2=．‎ ‎②若x轴平分∠ANB，kAN=﹣kBN，‎ 所以：，‎ 整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，‎ 解得：t=4．‎ 所以当点N为（4，0）时，能使得∠ANM=∠BNM总成立．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：直线和圆的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用及相关的运算问题．‎ ‎　‎