衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题七 辅助线，辅助面，证明平行巧转换

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题七 辅助线，辅助面，证明平行巧转换

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题七辅助线，辅助面，证明平行巧转换 ‎【方法综述】‎ 空间几何平面化中所体现的核心素养是，以学习的线面平行为基础,将线面问题经过严密的逻辑推理,转化为线线平行的问题,从而实现了空间问题平面化的想法.‎ 在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来实施转化、解决问题．下面举例说明添加辅助线（面）的妙用.‎ ‎1．作辅助线来解题 例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D.‎ 证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.‎ 因为OF∥B1C1且OF＝B1C1，BE∥B1C1且BE＝B1C1，‎ 所以OF∥BE，且OF＝BE，‎ 即四边形OFEB为平行四边形．所以EF∥BO.‎ 又EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，‎ 所以EF∥平面BB1D1D.‎ 点评：　将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键是选择或添加适当的直线．而本题通过巧作平行线，利用“有困难，找中点”来证明线面平行是最有效的方法之一．‎ ‎2．作辅助面来解题 例2.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-‎ A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中 点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是(　　)‎ 解：选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,‎ 可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上.‎ 因为 MN=‎ 所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当P位于MN中点O时,‎ A1P最小,此时A1O=所以 ≤|A1P|‎ ‎≤所以线段A1P长度的取值范围是 点评：　使用线面平行的性质定理，需要找出或作出过已知直线且与已知平面相交的平面，以便使用性质定理，因此常作辅助面．‎ ‎3．同时作辅助线与辅助面来解题 例3.如图，已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在这两个平面之间的线段，且AE＝EB，CG＝GD，AB与CD不平行，求证：EG∥平面α，EG∥平面β.‎ 分析　有些综合性的题目需要同时作出辅助线与辅助面，通过面面之间的关系来解题．题目条件中出现了两个 中点，一般可直接取某线段的中点，也可通过连线所得交点间接地取中点，本题是直接找中点．‎ 证明　过点A作AH∥CD交平面β于点H，设F是AH的中点，连接EF，FG和BH，HD.‎ 因为E，F分别是AB，AH的中点，‎ 所以EF∥BH，且BH⊂平面β，EF⊄平面β，‎ 所以EF∥平面β.‎ 又F，G分别是AH，CD的中点，且AH∥CD，‎ 所以FG∥HD.‎ 又HD⊂平面β，FG⊄平面β，所以FG∥平面β.‎ 因为EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，‎ 所以平面EFG∥平面β，‎ 又平面α∥平面β，所以平面EFG∥平面α.‎ 因为EG⊂平面EFG，所以EG∥平面α，EG∥平面β.‎ 点评：　本题是通过先作辅助线AH，再作辅助面EFG，借助平面几何里三角形中位线的结论来解决问题的．‎ ‎【针对训练】‎ ‎1.如图，在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，M,N,P分别是C‎1‎D‎1‎‎,BC,‎A‎1‎D‎1‎的中点，则下列命题正确的是（ ）‎ A． MN//AP B． MN//BD‎1‎ C． MN//‎平面BB‎1‎D‎1‎D D． MN//‎平面BDP ‎【答案】C ‎【解析】‎ 取B‎1‎C‎1‎中点P，连接MP,NP，‎ 由三角形中位线定理可得MP//‎B‎1‎D‎1‎，‎ ‎∴MB‎1‎//‎面BB‎1‎D‎1‎D，由四边形BB‎1‎PN为平行四边形得NP//BB‎1‎，‎ ‎∴NP//‎面BB‎1‎D‎1‎D，‎∴‎平面MNP//‎平面BB‎1‎D‎1‎D，‎ MN⊂‎面MNP，‎∴MN//‎平面BB‎1‎D‎1‎D，故选C.‎ ‎2.棱长为2的正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，E为棱AD中点，过点B‎1‎，且与平面A‎1‎BE平行的正方体的截面面积为（ ）‎ A． 5 B． ‎2‎‎5‎ C． ‎2‎‎6‎ D． 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 取BC中点M，取A‎1‎D‎1‎中点N，则四边形B‎1‎MDN即为所求的截面，‎ 根据正方体的性质，可以求得MN=2‎2‎,B‎1‎D=2‎‎3‎，‎ 根据各边长，可以断定四边形B‎1‎MDN为菱形，‎ 所以其面积S=‎1‎‎2‎×2‎2‎×2‎3‎=2‎‎6‎，故选C.‎ ‎3.如图，在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，M,N分别是BC‎1‎,CD‎1‎的中点，则下列说法错误的是（ ）‎ A． MN⊥CC‎1‎ B． MN⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎ C． MN//AB D． MN//‎平面ABCD ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图：连接C‎1‎D,BD，‎ 由三角形中位线定理可得MN//BD,∴MN与AB不可能平行，C错误；‎ 因为BD在平面ABCD内，由线面平行的判定定理可得，MN//‎平面ABCD ，D正确；‎ ‎∵CC‎1‎⊥‎平面ABCD,∴CC‎1‎⊥BD,∴MN与CC‎1‎垂直，A正确；‎ 因为BD⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎,所以，MN⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎ ，B正确，故选C.‎ ‎4.如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点．则直线DP与平面ABC的位置关系是________．‎ ‎【答案】平行 ‎【解析】连接CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQEB.又DCEB，所以PQDC，所以四边形DPQC为平行四边形，所以DP∥CQ.又DP⊄平面ABC，CQ⊂平面ABC，所以DP∥平面ABC.‎ ‎5.在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，若存在实数 使得时，平面平面，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．‎ 理由如下：‎ ‎ 当Q为CC1的中点时，∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．‎ ‎∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，‎ D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．‎ ‎6.如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAB；‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎7．如图，ABCD与ADEF为平行四如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，.‎ ‎（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； ‎ ‎【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.‎ 又AB 平面PAB,CM 平面PAB,‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎8.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.‎ ‎【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）Q点是PB的中点．‎ ‎【解析】（Ⅰ）如图，取PD的中点H，连接AH、NH，由N是PC的中点，知NHDC.‎ 由M是AB的中点，知AMDC.‎ ‎∴NH綊AM，即AMNH为平行四边形．‎ ‎∴MN∥AH.‎ 由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，知MN∥平面PAD.‎ ‎（Ⅱ）若平面MNQ∥平面PAD，则应有MQ∥PA，‎ ‎∵M是AB中点，∴Q点是PB的中点．‎ ‎9.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.‎ ‎ (1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎ (2)求证：GH∥平面PAD.‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝AD，‎ ‎∴BC AE，∴四边形ABCE是平行四边形，‎ ‎∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，‎ FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，‎ ‎∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，‎ H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.‎ ‎10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：‎ ‎ (1)直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎ (2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】 (1)如图，连接SB，‎ ‎∵E，G分别是BC，SC的中点，‎ ‎∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，‎ EG⊄平面BDD1B1，‎ ‎∴直线EG∥平面BDD1B1.‎ ‎(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，‎ ‎∴FG∥SD.‎ 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，‎ ‎∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，‎ FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.‎