2017-2018学年江西省新余市第四中学高二下学期开学考试数学理试题（解析版）

2017-2018学年江西省新余市第四中学高二下学期开学考试数学理试题（解析版）

新余四中2017-2018学年下学期高二年级开学考试理科数学试题 一、选择题（每题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1. 若，则下列不等式中不成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵,‎ ‎∴， ，故选项A,C,D正确。‎ 对于选项B，令，满足，由于，故，故选项B不正确。选B。‎ ‎2. 某地市高二理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取( )‎ A. 份 B. 份 C. 份 D. 份 ‎【答案】B ‎【解析】因为，，所以根据分层抽样 ‎，选B.‎ ‎3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程 零件数个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间 ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）‎ A. 68 B. C. 69 D. 75‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设表中有一个模糊看不清数据为．由表中数据得：，，由于由最小二乘法求得回归方程．将，代入回归直线方程，解得．‎ 考点：线性回归方程．‎ ‎4. 在锐角中，角所对的边分别为，若， ， ，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三角形面积公式知，化简得：①， ‎ 因为，所以是锐角），根据余弦定理得：，所以 ②‎ 联立①②解得 ，故选A. ‎ ‎5. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．‎ ‎6. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎ 的展开式中各项系数的和与无关，故令，可得展开式中各项系数的和为，故 ‎ ‎，故该展开式中的常数项为，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2‎ ‎）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎7. 设满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，当时，；当时，；当时，.‎ 故选：A ‎8. 已知等差数列的前项和为，则数列的前项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以等差数列的公差 ，通项公式为 ‎ 则其前项和为 ‎ 则数列的前项的和为 ‎ 故选A ‎9. 高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B。‎ ‎10. 正四棱柱中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则 点到平面 的距离为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，以D为原点，分别为为坐标轴，建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则 ‎，取，则，所以，所以 点到平面 的距离为，故选A.‎ 点睛：求点到平面的距离：设是平面外一点，是的一条斜线，交平面于点，而是平面的法向量，到平面的距离，所以 ‎11. 在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，要求既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不同的提问方式总数是，若人中，有甲电视台人，乙电视台记者人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为.‎ 考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.‎ ‎【名师点睛】本题考查分类计数原理与分步计数原理、排列与组合，属中档题；排列组合是高中数学的重要内容，也是高考命题的一个热点，利用排列组合解决相邻问题用捆绑法，相间问题用插空法，如有特殊元素（位置）可优先安排，如是多元问题分类安排.‎ ‎12. 实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 , ‎ 所以 ，因此 ，‎ ‎ ，选D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。请将正确答案直接填在答题卡的相应位置。）‎ ‎13. 在中，已知， ， ， 那么___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 ． 由余弦定理知， 所以： ，‎ 即答案为 .‎ ‎14. 设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式的解集为，是方程的解，且，， ，由标根法得或原不等式的解集为，故答案为.‎ ‎15. 如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”（如等），否则就称它为“非优选数”，从由数字,共10个数字组成的四位数中任意抽取10个数，随机变量X表示抽到的“优选数”的个数，则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当四位数中含有两个时，若不在首位共有个，若在首位，共有个；当四位数中含有四个时，只有一种结果，所以从由数字,组成的四位数中，“优选数”共有个，‎ 可能取的值为10,根据古典概型概率公式以及期望公式可得= ，故答案为.‎ ‎16. 已知下列命题：‎ ‎①设为直线，为平面，且，则“”是“”的充要条件；‎ ‎②若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；；‎ ‎③已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”‎ ‎④若不等式恒成立，则的取值范围是；‎ ‎⑤若命题有，则有；‎ 其中真命题的序号是____________(写出全部真命题的序号)．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】①设时，由可知平面与平面的法向量相互垂直，则，故充分性成立，当时，此时直线由可能在平面上，即不成立，必要性不成立，所以①错误；②若是的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性可得，是的必要不充分条件，②正确；③，若“”为假命题，则都是假命题，都是真命题，为真命题，③正确；④ ，，即，故④错误；⑤因为全称命题的否定是特称命题，⑤错误，‎ 真命题的序号是②③，故答案为②③.‎ 三、解答题：(本大题共6小题．共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17. 已知数列的前项和为，且．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由递推公式得到，得到，得证；（2‎ ‎）由第一问得到，错位相减求和即可。‎ 解析：‎ 当时，，解得．‎ 当时，，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故．‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ 上面两式相减，可得 ‎，‎ ‎，‎ 化简可得．‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎18. 已知，，分别是的内角，，所对的边，且 .‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求边的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 利用正弦定理及两角和与差的正弦公式化简，整理求出，又为三角形内角，所以；（2）由的值求出的值，利用两角和与差正弦化简，把各自的值代入，求出的值，即为的值，再由的值，利用正弦定理求出的值即可.‎ 试题解析：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，又为三角形内角，所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以 ‎ .‎ 由正弦定理得，所以.‎ ‎19. 甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛停止，再由互斥事件的概率及相互独立事件的概率列方程求的值；（2）随机变量的的可能取值为，根据对立事件与独立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望..‎ 试题解析：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束,‎ 有， 解得或 . ‎ ‎（2）依题意知，的所有可能值为 , ‎ 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响 从而有 ‎, ‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ 故.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式以及独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎20. 如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由平面 平面，及 ，得 平面（平面与平面垂直的性质）；（2）建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量的坐标及 ，可得 与平面所成角的夹角的正弦值；（3）由（2）的空间直角坐标，可求得 的法向量 ，平面 的法向量 ‎，得 ，由二面角为锐角，得所求二面角的值。‎ ‎（1）证明：因为四边形是菱形，所以.‎ 因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ 因为，所以平面.‎ ‎（2）设，取的中点，连接，‎ 因为四边形是矩形，分别为，的中点，所以，‎ 又因为平面，所以平面，‎ 由，得两两垂直,所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系.‎ 因为底面是边长为的菱形，，，‎ 所以.‎ 因为平面，所以平面的法向量.‎ 设直线与平面所成角为，由，得 ‎，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（3）由（2）得，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 所以即 令，得，由平面，得平面的法向量为，‎ 则，‎ 由图可知二面角为锐角，‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎21. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表:(单位:人)‎ 几何题 代数题 总计 男同学 女同学 总计 ‎(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?‎ ‎(2)经过多次测试发现:女生甲解答一道几何题所用的时间在分钟,女生乙解答一道几何题所用的时间在分钟,现甲、乙两人独立解答同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率;‎ ‎(3)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.‎ 附表及公式 ‎【答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由列联表中数据，利用公式求得的观测值,与临界值比较，即可得结论；（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟,‎ 则基本事件满足的区域为,设事件为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为,利用线性规划知识以及几何概型概率公式可得结果；（3）可能取值为0,1,2,利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.‎ 试题解析：(1)由表中数据得的观测值,‎ 所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.‎ ‎(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟,‎ 则基本事件满足的区域为,‎ 设事件为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为,‎ 所以由几何概型,即乙比甲先解答完的概率.‎ ‎(3)由题可知可能取值为0,1,2,‎ ‎,‎ 故的分布列为:‎ 所以.‎ ‎22. 设为函数两个不同零点.‎ ‎（1）若，且对任意,都有，求；‎ ‎（2）若，则关于的方程是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若，且当时，的最大值为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1） ；（2）存在唯一负实根；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由得函数的对称轴为，利用二次函数的对称轴以及二次函数过点 ，解方程组求得，即可求出；（2）若，由知，只需考虑时的情况 ，当时两种情况，将方程进行化简，利用求根公式结合函数图象即可得结果；（3）求出的表达式，利用基本不等式可得等号成立条件为 所以 ‎ 因为..‎ 试题解析：（1）由得函数关于对称，则 又 解得 ‎ ‎（2）由知只需考虑时的情况 当时可化为 所以关于的方程存在唯一负实根 ‎ ‎ 令，则， ‎ 在上单调递增，‎ 则.‎ ‎（3）‎ 等号成立条件为 ‎ 所以 ‎ 因为.‎