2019-2020学年安徽省桐城中学高二上学期第三次月考数学(文)试题 Word版

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2019-2020学年安徽省桐城中学高二上学期第三次月考数学(文)试题 Word版

安徽省桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试卷(文科)‎ 一.选择题(共12小题,每题5分,计60分)‎ ‎1.设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(  )‎ A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n ‎ C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0 D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ ‎3.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”,那么(  )‎ A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 ‎ C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 ‎4.已知条件p:a<0,条件q:a2>a,则¬p是¬q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.命题“∀x∈[1,3],x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(  )‎ A.a≥9 B.a≤9 C.a≥10 D.a≤10‎ ‎6.已知数列{an}中,“an+12=an•an+2”是“数列{an}为等比数列”的什么条件(  )‎ A.充分不必要 B.必要不充分 ‎ C.充分必要 D.既不充分也不必要 ‎7.已知方程表示双曲线,则m的取值范围是(  )‎ A.m>﹣1 B.m>2 C.m<﹣1或m>2 D.﹣1<m<2‎ ‎8.已知△ABC的周长为20,且顶点B (0,﹣4),C (0,4),则顶点A的轨迹方程是(  )‎ A.(x≠0) B.(x≠0) ‎ C.(x≠0) D.(x≠0)‎ ‎9.如图过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC ‎|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(  )‎ A.y2=x B.y2=9x C.y2=x D.y2=3x ‎10.椭圆的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知椭圆(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=α,且,则该椭圆离心率e的取值范围为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为(  )‎ A. B.1 C. D.2‎ 二.填空题(共4小题,每题5分,计20分)‎ ‎13.已知命题p:∀x∈R,x2+mx+1>0,若命题p的逆否命题为真命题,则实数m的取值范围为   .‎ ‎14.已知p:﹣2≤x≤11,q:1﹣3m≤x≤3+m(m>0),若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为   .‎ ‎15.已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l 的方程是   .‎ ‎16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是   .‎ 三.解答题(共6小题,计70分)‎ ‎17.(10分)已知,命题p:∀x∈R,x2+ax+2≥0,命题q:∃x∈[﹣3,﹣],x2﹣ax+1=0.‎ ‎(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若命题q为真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎18.(12分)已知p:函数f(x)=的值域是[0,+∞),q:关于a的不等式 a2﹣(2m﹣5)a+m(m﹣5)>0,若¬p是¬q充分不必要条件,求实数m的取值范围.‎ ‎19.(12分)已知命题p:方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆.‎ 命题q:实数m满足m2﹣4am+3a2<0,其中a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1且p∧q为真命题时,求实数m的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎20.(12分)已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,长轴长为6,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M,点A,B在椭圆上,且=2,求线段AB所在直线的方程.‎ ‎21.(12分)已知点M到点F(1,0)和直线x=﹣1的距离相等,记点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点F作相互垂直的两条直线l1、l2,曲线C与l1交于点P1、P2,与l2交于点Q1、Q2,试证明:.‎ ‎22.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)过点A(0,1),且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过A作斜率分别为k1,k2的两条直线,分别交椭圆于点M,N,且k1+k2=2,证明:直线MN过定点.‎ 参考答案与试题解析 ‎1.解:由x>1且y>1,可得:x+y>2,反之不成立:例如取x=3,y=.‎ ‎∴p是q的充分不必要条件.故选:A.‎ ‎2.解:命题为全称命题,‎ 则命题的否定为:∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0,故选:D.‎ ‎3解:命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,‎ 命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆 ‎∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时,‎ 再加上这个和大于两个定点之间的距离,‎ 可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出,‎ 而点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值,‎ ‎∴甲是乙成立的必要不充分条件故选:B.‎ ‎4.解:∵条件p:a<0,条件q:a2>a,⇔a<0或a>1‎ 故条件p是条件q的充分不必要条件 则¬p是¬q的必要不充分条件故选:B.‎ ‎5解:命题“∀x∈[1,3],x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1,3],x2≤a”⇔9≤a a≥10是命题“∀x∈[1,3],x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.‎ 故选:C.‎ ‎6.解:若数列{an}为等比数列,则满足an+12=an•an+2,‎ 当数列an=0时满足an+12=an•an+2,但此时数列{an}为等比数列不成立,‎ 即“an+12=an•an+2”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件,故选:B.‎ ‎7.解:∵方程,‎ ‎∴(m﹣2)(m+1)<0,解得﹣1<m<2,∴m的取值范围是(﹣1,2).故选:D.‎ ‎8.解:∵△ABC的周长为20,顶点B (0,﹣4),C (0,4),‎ ‎∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12,‎ ‎∵12>8‎ ‎∴点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是椭圆,‎ ‎∵a=6,c=4∴b2=20,∴椭圆的方程是故选:B.‎ ‎9.解:如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,‎ 在直角三角形ACE中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a,‎ ‎∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,‎ ‎∴=求得p=因此抛物线方程为y2=3x.故选:D.‎ ‎10.解:依题意可知点F(﹣c,0)‎ 直线AB斜率为 =,直线BF的斜率为 =‎ ‎∵∠FBA=90°,‎ ‎∴( )•=﹣=﹣1‎ 整理得c2+ac﹣a2=0,即()2+﹣1=0,即e2+e﹣1=0‎ 解得e=或﹣∵0<e<1∴e=,故选:C.‎ ‎11.解:已知椭圆(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,设左焦点为:N则:连接AF,AN,AF,BF所以:四边形AFBN为长方形.‎ 根据椭圆的定义:|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则:∠ANF=α.所以:2a=2ccosα+2csinα 利用e==‎ 所以:‎ 则:即:椭圆离心率e的取值范围为[]‎ 故选:A.‎ ‎12.解:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF 由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|‎ 在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.‎ 由余弦定理得,‎ ‎|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab 配方得,|AB|2=(a+b)2﹣ab,‎ 又∵ab≤() 2,‎ ‎∴(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2‎ 得到|AB|≥(a+b).‎ 所以≤=,即的最大值为.故选:A.‎ ‎13 m的取值范围为 (﹣2,2) .‎ 解:由于命题p的逆否命题为真命题,‎ 则:原命题为真命题,‎ 故:命题p:∀x∈R,x2+mx+1>0,为真命题,‎ 则:△=m2﹣4<0,解得:﹣2<m<2,故:m的取值范围是(﹣2,2).‎ 故答案为:(﹣2,2)‎ ‎14.m的取值范围为 [8,+∞) .‎ 解:因为¬p是¬q的必要不充分条件,‎ 所以q是p的必要不充分条件,‎ 即p⇒q,但q推不出p,‎ 即,即,所以m≥8.故答案为:[8,+∞)‎ ‎15.解:设直线l与椭圆交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2),‎ 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率 k==﹣=﹣=﹣=﹣.‎ 由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0.‎ ‎16.离心率的取值范围是 (,1) .‎ ‎【解答】解:如图,设双曲线的半实轴长,半焦距分别为a2,c,‎ ‎∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,‎ ‎∴|PF1|=|F1F2|=10,即c=5,|PF2|=10﹣2a2,‎ 又由双曲线的离心率的取值范围为(1,2).‎ 故∈(1,2).∴a2∈(,5),‎ 设椭圆的半实轴长为a1,‎ 则|PF1|+|PF2|=2a1=20﹣2a2,‎ 即a1=10﹣a2∈(5,)故e=∈(,1)故答案为:(,1)‎ ‎17.解:(1)∵命题p:∀x∈R,x2+ax+2≥0为真命题,‎ ‎∴△=a2﹣4×1×2≤0,解得﹣2≤a≤2,‎ ‎∴实数a的取值范围为[﹣2,2];‎ ‎(2)命题q:∃x∈[﹣3,﹣],x2﹣ax+1=0为真命题,‎ ‎∴a==x+在x∈[﹣3,﹣1]单调递增,在x∈[﹣1,﹣]单调递减,‎ ‎∴当x=﹣1时,a取最大值﹣2,当x=﹣3时a=﹣,当x=﹣时a=﹣,‎ ‎∴实数a的取值范围为:[﹣,﹣2]‎ ‎18.解:∵f(x)=的值域是[0,+∞),‎ ‎∴y=x2﹣2ax+3的值域是[0,+∞),‎ 则△=4a2﹣12≥0,得a2≥3,‎ 得a≥或a≤﹣,即p:a≥或a≤﹣,‎ ‎∵a2﹣(2m﹣5)a+m(m﹣5)>0,‎ ‎∴[a﹣(m﹣5)](a﹣m)>0,‎ 得a>m或a<m﹣5,即q:a>m或a<m﹣5,‎ 若¬p是¬q充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件,‎ 则,即,得≤m≤5﹣,‎ 即实数m的取值范围是得≤m≤5﹣.‎ ‎19解:(Ⅰ)方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,‎ 则,得,得<m<2,‎ 若a=1,由m2﹣4m+3<0得1<m<3,‎ 若p∧q为真命题时,则p,q同时为真,则1<m<2.‎ ‎(Ⅱ)由m2﹣4am+3a2<0,(a>0).‎ 得(m﹣a)(m﹣3a)<0,得a<m<3a,即q:a<m<3a,¬q:x≥3a或0<x≤a,‎ ‎∵p是¬q的充分不必要条件,∴3a≤或a≥2,‎ 即a≤或a≥2,∵a>0,∴0<a≤或a≥2‎ 即实数a的取值范围是(0,]∪[2,+∞)‎ ‎20.解:(1)由题意可设椭圆的标准方程为:(a>b>0).‎ ‎∵长轴长为6,离心率为.∴2a=6,,又a2=b2+c2,‎ 联立解得a=3,c=2,b2=5.∴椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)M(0,2).‎ 设直线AB的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立,化为(9+5k2)x2+20kx﹣25=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=.‎ 又=2,∴﹣x1=2x2.‎ 联立可得,解得.‎ ‎∴.∴直线AB的方程为y=x+2.‎ ‎21(1)解:∵点M到点F(1,0)和直线x=﹣1的距离相等,‎ 由抛物线的定义可知:点M的轨迹是抛物线,‎ 设方程为y2=2px(p>0),∵=1,∴p=2.‎ ‎∴轨迹C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明:设l1的方程为y=k(x﹣1),代入抛物线方程,整理可得k2x﹣(2k2+4)x+k2=0,‎ 设P1、P2的横坐标分别为x1、x2,则x1+x2=,‎ ‎∴|P1P2|=x1+x2+p=,‎ 以﹣代入,可得|Q1Q2|=4+4k2,‎ ‎∴=.‎ ‎22.解:(1)椭圆C:(a>b>0)过点A(0,1),可得b=1,且离心率为=.a2﹣1=c2,解得a=2,‎ 所求椭圆方程为:…………………(5分)‎ ‎(2)当直线MN斜率不存在时,设直线方程为x=t,则M(t,s),N(t,﹣s),‎ ‎,则,∴t=﹣1…………(7分)‎ 当直线MN斜率存在时,设直线方程为:y=kx+b,与椭圆方程联立:,‎ 得(4k2+1)x2+8kbx+4b2﹣4=0,‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),有(*)………………(10分)‎ 则 将*式代入化简可得:,即(k﹣b﹣1)(b﹣1)=0,∴k=b+1………(11分)‎ 直线MN:y=(b+1)x+b=b(x+1)+x,恒过定点(﹣1,﹣1)…………(12分)‎
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