数学卷·2018届广西南宁市宾阳中学高二下学期开学数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届广西南宁市宾阳中学高二下学期开学数学试卷（文科） （解析版）

2016-2017 学年广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学试卷（文 科） 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．命题“ ∀ n ∈ N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ） A． ∀ n ∈ N*，f（n）＞n B． ∀ n ∉ N*，f（n）＞n C． ∃ n ∈ N*，f（n）＞n D． ∀ n ∉ N*，f（n）＞n 2．设 a，b ∈ R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，若 a= ，b= ，B=45°，则角 A=（ ） A．30° B．30°或 105° C．60° D．60°或 120° 4．以双曲线 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x 5．设等比数列{an}的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知 a＞0，b＞0，a+b=2，则 的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 7．函数 f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数 f′（x）在（a，b）内的图象 如图所示，则函数 f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 8．若双曲线 ﹣ =1 的焦点为 F1（﹣5，0），F2（5，0），则双曲线的渐近线 方程为（ ） A．3x±4y=0 B．4x±3y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0 9．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则 y=f（x）的 图象最有可能的是（ ） A． B． C ． D． 10．曲线 y=﹣x3+3x2 在点（1，2）处的切线方程为（ ） A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x 11．已知椭圆方程为 =1（a＞0，b＞0），其右焦点为 F（4，0），过点 F 的直线交椭圆与 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（ ） A． =1 B． =1 C． + =1 D． =1 12．若点 P 是曲线 y=x2﹣lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为 （ ） A． B．1 C． D．2 二．填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．设实数 x，y 满足 ，则 的最大值是 ． 14．如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米．水位 下降 1 米后，水面宽为 米． 15．已知 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭 圆中心并且交椭圆于点 M、N，若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离 心率为 ． 16．已知函数 f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1 在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ． 三．解答题 17．设 f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|． （1）解不等式 f（x）≤2； （2）若存在实数 x 满足 f（x）≤ax﹣1，试求实数 a 的取值范围． 18．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos = ， bccosA=3． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）若 ，求 a 的值． 19．椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个端点到 右焦点的距离为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离． 20．已知数列{an}是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 21．已知函数 f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1 在 x=0，x=4 处取得极值． （1）求常数 k 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 22．已知函数 ． （1）当 a=0 时，求函数 f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）令 g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数 g（x）的极值； （ 3 ） 若 a= ﹣ 2 ， 正 实 数 x1 ， x2 满 足 f （ x1 ） +f （ x2 ） +x1x2=0 ， 证 明 ： ． 2016-2017 学年广西南宁市宾阳中学高二（下）开学数学 试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．命题“ ∀ n ∈ N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ） A． ∀ n ∈ N*，f（n）＞n B． ∀ n ∉ N*，f（n）＞n C． ∃ n ∈ N*，f（n）＞n D． ∀ n ∉ N*，f（n）＞n 【考点】命题的否定． 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ ∀ n ∈ N*，f（n）≤n” 的否定形式： ∃ n ∈ N*，f（n）＞n． 故选：C． 2．设 a，b ∈ R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解． 【解答】解：∵a，b ∈ R，则（a﹣b）a2＜0， ∴a＜b 成立， 由 a＜b，则 a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0， 所以根据充分必要条件的定义可的判断： a，b ∈ R，则“（a﹣b）a2＜0”是 a＜b 的充分不必要条件， 故选：A 3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，若 a= ，b= ，B=45°， 则角 A=（ ） A．30° B．30°或 105° C．60° D．60°或 120° 【考点】解三角形． 【分析】由 B 的度数求出 sinB 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理求出 sinA 的值，由 a 大于 b，根据大边对大角，得到 A 大于 B，由 B 的度数及三角形内角 可得出角 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到 A 的度数． 【解答】解：由 a= ，b= ，B=45°， 根 据 正 弦 定 理 = 得 ： sinA= = = ， 由 a= ＞b= ，得到 A ∈ （45°，180°）， 则角 A=60°或 120°． 故选 D 4．以双曲线 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为 F（4，0），也是抛物线的焦点．由 此设出抛物线方程为 y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得 p=8， 从而得出该抛物线的标准方程． 【解答】解析 由双曲线方程 ﹣ =1，可知其焦点在 x 轴上，由 a2=16， 得 a=4，∴该双曲 线右顶点的坐标是（4，0），∴抛物线的焦点为 F（4，0）．设抛物线的标准方程 为 y2= 2px（p＞0），则由 =4，得 p=8，故所求抛物线的标准方程为 y2=16x． 故选 A． 5．设等比数列{an}的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】等比数列的前 n 项和． 【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得． 【解答】解：等比数列{an}的公比 q=2，前 n 项和为 Sn， ∴a2=a1q=2a1，S4= =15a1， ∴ = ， 故选：B 由 S1+S2+…+Sn= n（n+1）a1+ n（n﹣1）b1， 当 n=1 时，a1=a1， 当 n=2 时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即 3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*）， 若 a1＜a3＜a2， 6．已知 a＞0，b＞0，a+b=2，则 的最小值是（ ） A． B．4 C． D．5 【考点】基本不等式． 【分析】利用题设中的等式，把 y 的表达式转化成（ ）（ ）展 开后，利用基本不等式求得 y 的最小值． 【解答】解：∵a+b=2， ∴ =1 ∴ =（ ）（ ）= + + ≥ +2= （当 且仅当 b=2a 时等号成立） 故选 C 7．函数 f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数 f′（x）在（a，b）内的图象 如图所示，则函数 f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】函数在某点取得极值的条件． 【分析】根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上 的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值 的情况． 【解答】解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为 x1，x2，x3，x4． 由导函数的图象可知： 当 x ∈ （a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当 x ∈ （x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数， 当 x ∈ （x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当 x ∈ （x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当 x ∈ （x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数， 由此可知，函数 f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点， 是当 x=x1，x=x4 时函数取得极大值． 故选 B． 8．若双曲线 ﹣ =1 的焦点为 F1（﹣5，0），F2（5，0），则双曲线的渐 近线方程为（ ） A．3x±4y=0 B．4x±3y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】依题意，9+b2=25，b＞0，从而可求得 b，于是可求该双曲线的渐近线 方程． 【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（b＞0）的焦点为 F1（﹣5，0），F2（5， 0）， ∴9+b2=25，又 b＞0， ∴b=4， ∴该双曲线的渐近线方程为 y=± x，整理得：4x±3y=0． 故选：B． 9．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则 y=f（x）的 图象最有可能的是（ ） A． B． C ． D． 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围， 进而根据当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减 确定原函数的单调增减区间． 【解答】解：由 y=f'（x）的图象易得当 x＜0 或 x＞2 时，f'（x）＞0， 故函数 y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增； 当 0＜x＜2 时，f'（x）＜0，故函数 y=f（x）在区间（0，2）上单调递减； 故选 C． 10．曲线 y=﹣x3+3x2 在点（1，2）处的切线方程为（ ） A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】根据导数的几何意义求出函数 f（x）在 x=1 处的导数，从而求出切线的 斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可． 【解答】解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x， ∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3， ∴曲线 y=﹣x3+3x2 在点（1，2）处的切线方程为 y﹣2=3（x﹣1）， 即 y=3x﹣1， 故选 A． 11．已知椭圆方程为 =1（a＞0，b＞0），其右焦点为 F（4，0）， 过点 F 的直线交椭圆与 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方 程为（ ） A． =1 B． =1 C． + =1 D． =1 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得 ， ．两式相减可得： + =0．把 x1+x2=2，y1+y2=﹣2， = = ，代入上式可得：a2=3b2．又 c=4，c2=a2﹣b2，联立解得即可． 【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得 ， ． 两 式 相 减 可 得 ： + =0． 由 x1+x2=2，y1+y2=﹣2， = = ，代入上式可得： =0，化为 a2=3b2． 又 c=4，c2=a2﹣b2，联立解得 a2=24，b2=8． ∴椭圆的方程为： ． 故选：C． 12．若点 P 是曲线 y=x2﹣lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为 （ ） A． B．1 C． D．2 【考点】点到直线的距离公式． 【分析】由题意知，当曲线上过点 P 的切线和直线 y=x﹣2 平行时，点 P 到直线 y=x﹣2 的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于 1，可得切点的 坐标，此切点到直线 y=x﹣2 的距离即为所求． 【解答】解：点 P 是曲线 y=x2﹣lnx 上任意一点， 当过点 P 的切线和直线 y=x﹣2 平行时， 点 P 到直线 y=x﹣2 的距离最小． 直线 y=x﹣2 的斜率等于 1， 令 y=x2﹣lnx，得 y′=2x﹣ =1，解得 x=1，或 x=﹣ （舍去）， 故曲线 y=x2﹣lnx 上和直线 y=x﹣2 平行的切线经过的切点坐标为（1，1）， 点（1，1）到直线 y=x﹣2 的距离等于 ， ∴点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为 ， 故选：C． 二．填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．设实数 x，y 满足 ，则 的最大值是 ． 【考点】基本不等式． 【分析】先画出不等式组所表示的平面区域，然后根据 的几何意义是区域内 一点与坐标原点连线的斜率，从而可求出 的最大值． 【解答】解：根据实数 x，y 满足 ，画出约束条件，如右 图中阴影部分而 的几何意义是区域内一点与坐标原点连线的斜率 当过点 A（1， ）时斜率最大，最大值为 故答案为： 14．如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米．水位 下降 1 米后，水面宽为 2 米． 【考点】抛物线的应用． 【分析】先建立直角坐标系，将 A 点代入抛物线方程求得 m，得到抛物线方程， 再把 y=﹣3 代入抛物线方程求得 x0 进而得到答案． 【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 x2=my， 将 A（2，﹣2）代入 x2=my， 得 m=﹣2 ∴x2=﹣2y，代入 B（x0，﹣3）得 x0= ， 故水面宽为 2 m． 故答案为：2 ． 15．已知 F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭 圆中心并且交椭圆于点 M、N，若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线，则椭圆的离 心率为 ﹣1 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】如图所示，由题意可得：MF1⊥MF2，|MF2|=c，|MF1|=2a﹣c，|F1F2|=2c， 利用勾股定理可得 c2+（2a﹣c）2=4c2，即可得出． 【解答】解：如图所示， 由题意可得：MF1⊥MF2， |MF2|=c，|MF1|=2a﹣c，|F1F2|=2c， ∴c2+（2a﹣c）2=4c2， 化为 c2+2ac﹣2a2=0，即 e2+2e﹣2=0，e ∈ （0，1）． 解得 e= ﹣1． 故答案为： ． 16．已知函数 f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1 在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数 a 的取值范围是 ． 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】先求函数的导数，因为函数 f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所 以在（﹣∞，+∞）上 f′（x）≤0 恒成立，再利用一元二次不等式的解得到 a 的 取值范围即可． 【解答】解：f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1 的导数为 f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1， ∵函数 f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴在（﹣∞，+∞）上 f′（x）≤0 恒成立， 即﹣3x2+2ax﹣1≤0 恒成立，∴△=4a2﹣12≤0，解得﹣ ≤a≤ ∴实数 a 的取值范围是 故答案为 三．解答题 17．设 f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|． （1）解不等式 f（x）≤2； （2）若存在实数 x 满足 f（x）≤ax﹣1，试求实数 a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）化简绝对值不等式，通过两个函数的图象求出不等式的解集． （2）利用（1）的图象直接求出满足 f（x）≤ax﹣1 实数 a 的取值范围即可． 【 解 答 】 解 （ 1 ） ， 由图象可得 f（x）≤2 的解集为 ﹣ （2）函数 y=ax﹣1，的图象是经过点（0，﹣1）的直线， 由图象可得 ﹣﹣﹣﹣﹣ 18．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos = ， bccosA=3． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）若 ，求 a 的值． 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求 cosA，进而利用同角三角 函数基本关系式可求 sinA 的值，结合 bccosA=3，可求 bc=5，进而利用三角形面 积公式即可计算得解． （Ⅱ）由 bc=5，又 b+c= ，由余弦定理即可解得 a 的值． 【解答】（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）∵cos = ， ∴cos A=2cos2 ﹣1= ，sin A= ， 又 bccosA=3， ∴bc=5， ∴S△ABC= bcsinA=2．… （Ⅱ）由（Ⅰ）得 bc=5，又 b+c= ， 由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=16， ∴a=4． … 19．椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴一个端点到 右焦点的距离为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）根据题意先求出 a，由离心率求出 c、b，代入椭圆方程即可； （2）联立直线方程和椭圆方程消去 y 求出交点 A、B 的横坐标，代入直线方程求 出对应的纵坐标，代入两点间的距离公式求出|AB|． 【解答】解：（1）因为短轴一个端点到右焦点的距离为 ，则 ， 由 得 ，则 b2=a2﹣c2=1， 所以椭圆的方程为 ； （2）由 消去 y 得，2x2+3x=0， 解得 x1=0 或 x2= ，所以 y1=1、y2= ， 所以两个交点为：A（0，1）、B（ ， ）， 则 ． 20．已知数列{an}是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和． 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项 公式； （2）求出 bn= ，利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8． ∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8． 解得 a1=1，a4=8 或 a1=8，a4=1（舍）， 解得 q=2，即数列{an}的通项公式 an=2n﹣1； （2）Sn= =2n﹣1， ∴bn= = = ﹣ ， ∴ 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 Tn= +…+ ﹣ = ﹣ =1﹣ ． 21．已知函数 f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1 在 x=0，x=4 处取得极值． （1）求常数 k 的值； （2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研 究函数的极值． 【分析】（1）因为函数两个极值点已知，令 f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把 0 和 4 代入求出 k 即可． （2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x （x﹣4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为 0 点代到 f（x）中，判断极大极小值即可． 【解答】解：（1）f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在 x=0，x=4 处取得极值， ∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得 ． … （2）由（1）可知 ， f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4）， f'（x），f（x）随 x 的变化情况如下表： x （﹣∞， 0） 0 （0，4） 4 （4，+∞） f'（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 ∴当 x＜0 或 x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数； … ∴极大值为 ，极小值为 ．… 22．已知函数 ． （1）当 a=0 时，求函数 f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）令 g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数 g（x）的极值； （ 3 ） 若 a= ﹣ 2 ， 正 实 数 x1 ， x2 满 足 f （ x1 ） +f （ x2 ） +x1x2=0 ， 证 明 ： ． 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出 f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可； （2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性； （3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论． 【解答】解：（1）当 a=0 时，f（x）=lnx+x，则 f（1）=1，所以切点为（1，1）， 又 f′（x）= +1，则切线斜率 k=f′（1）=2， 故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即 2x﹣y﹣1=0； （2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ ax2+（1﹣a）x+1， 所以 g′（x）= ﹣ax+（1﹣a）= ， 当 a≤0 时，因为 x＞0，所以 g′（x）＞0． 所以 g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值； 当 a＞0 时，g′（x）= ， 令 g′（x）=0，得 x= ， 所以当 x ∈ （0， ）时，g′（x）＞0；当 x ∈ （ ，+∞）时，g′（x）＜0， 因此函数 g（x）在 x ∈ （0， ）是增函数，在（ ，+∞）是减函数， 当 a＞0 时，函数 g（x）的递增区间是（0， ），递减区间是（ ，+∞）， ∴x= 时，g（x）有极大值 g（ ）= ﹣lna， 综上，当 a≤0 时，函数 g（x）无极值； 当 a＞0 时，函数 g（x）有极大值 ﹣lna，无极小值； （3）由 x1＞0，x2＞0，即 x1+x2＞0． 令 t=x1x2，则由 x1＞0，x2＞0 得，φ′（t）= ，t＞0， 可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增． 所以φ（t）≥φ（1）=1， 所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得 x1+x2≥ 或 x1+x2≤ ， 又因为 x1＞0，x2＞0， 因此 x1+x2≥ 成立．