数学卷·2018届河北省保定市徐水一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届河北省保定市徐水一中高二上学期期中数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省保定市徐水一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（　　）‎ A．50 B．60 C．70 D．80‎ ‎2．同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（　　）‎ A．恰好有1枚正面和恰有2枚正面 B．至少有1每正面和恰好有1枚正面 C．至少有2枚正面和恰有1枚正面 D．最多有1枚正面和恰有2枚正面 ‎3．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　　）‎ A．命题p一定是真命题 B．命题q一定是真命题 C．命题q可以是真命题也可以是假命题 D．命题q一定是假命题 ‎4．已知命题P：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p是（　　）‎ A．∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．∀x∈R，x2+2x+2≤0‎ C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≥0‎ ‎5．椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎6．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+4=0，则的最小值是（　　）‎ A．2+3 B．﹣3 C． +3 D．﹣3‎ ‎7．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．两圆x2+y2﹣6x+16y﹣48=0与x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切线条数为（　　）‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 ‎9．已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎12．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交双曲线于A，B两点，若AB的中点坐标为N（﹣12，﹣15），则E的方程为（　　）‎ A． B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎　‎ 二、填空题样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为　　．‎ ‎14．已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k=　　．‎ ‎15．已知点，点P（x0，y0）为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为　　．‎ ‎16．方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．‎ ‎18．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在=×10=2‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了样本数据平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．‎ ‎　‎ ‎14．已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k=　4　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，‎ ‎∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，‎ ‎∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．已知点，点P（x0，y0）为抛物线y=上的动点，则y0+|PQ|的最小值为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的定义得到y0+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=2，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：用抛物线的定义：‎ 焦点F（0，1），准线 y=﹣1，设P到准线的距离为d y0+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=2‎ ‎（当且仅当F、Q、P共线时取等号）‎ 故y0+|PQ|的最小值是2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义，抛物线的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎16．方程=kx+2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为　．　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】将问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图象，结合图象，从而求出k的范围．‎ ‎【解答】解：解：设y=f（x）=，（y≥0，﹣1≤x≤1）；即x2+y2=1 （半圆），‎ y=h（x）=kx+2 （x∈R） 即y﹣2=kx，直线恒过点M（0，2），‎ ‎∵方程f（x）=h（x）有两个不同的实数根，（k＞0）即y=f（x）和y=h（x）有两个不同的交点，‎ 画出f（x），h（x）的图象，如图示：‎ ‎，‎ 当直线与圆相切时，k=±，‎ 当直线过（0，2），（﹣1，0）时，k=±2，‎ ‎∴﹣2≤k＜﹣或＜k≤2，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了函数的零点问题，考查了转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2016秋•徐水县校级期中）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程（k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示双曲线．若p∨q为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据椭圆和双曲线的方程求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：当p为真时，k＞4﹣k＞0，即 2＜k＜4； …（2分）‎ 当q为真时，（k﹣1）（k﹣3）＜0，即 1＜k＜3；…‎ 若p∨q为真，p∧q为假，‎ 则p和q有且只有一个为真命题，则 ‎（1）若p为真q为假，‎ 则，‎ 即3≤k＜4；…（7分）‎ ‎（2）q为真p为假，‎ 则，‎ 即1＜k≤2；…（9分）‎ ‎∴综上所述，若p∨q为真，p∧q为假，则k的取值范围是1＜k≤2或3≤k＜4．…（10分）‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ 分数段 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ ‎【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；‎ ‎（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；‎ ‎（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；‎ ‎（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；‎ ‎（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，‎ 数学成绩在[60，70）的人数为：，‎ 数学成绩在[70，80）的人数为：，‎ 数学成绩在[80，90）的人数为：，‎ 所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．‎ ‎【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2010春•海淀区期末）已知圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，求圆c的方程．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径．‎ ‎【解答】解：设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2 ‎ ‎∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）‎ ‎∴1+a2=r2 ①‎ 又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，‎ 可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；‎ ‎∴②‎ 解①、②得a=±1，r2=2 ‎ ‎∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=2‎ ‎【点评】本题考查求圆的标准方程，在题目中有一个条件一定要注意，即圆c关于y轴对称，这说明圆心在y轴上，设方程的时候，要引起注意．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015秋•咸阳期末）在平面直角坐标系中，已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且过D（2，0）．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若P是椭圆上的动点，点A（1，0），求线段PA中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b=．即可得出．‎ ‎（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），利用中点坐标公式可得，即由于点P在椭圆上，代入椭圆方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距，则半短轴b==1．‎ 又椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），‎ 由，得 ‎∵点P在椭圆上，得，‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、“代点法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015秋•高安市校级期末）如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y﹣3=0．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）将圆的方程化为标准方程：，若为圆，须有，解出即可；‎ ‎（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即kOP•kOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可；‎ ‎【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为：，‎ 依题意得：，即m＜，‎ 故m的取值范围为（﹣∞，）；‎ ‎（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则kOP•kOQ=﹣1，即，‎ 所以x1x2+y1y2=0，‎ 又因为x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，‎ 所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，‎ 将直线l的方程：x=3﹣2y代入圆的方程得：5y2﹣20y+12+m=0，‎ 所以y1+y2=4，，‎ 代入①式得：，解得m=3，‎ 故实数m的值为3．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，属中档题，解决本题（2）问的关键是正确理解“以PQ为直径的圆恰过坐标原点”的含义并准确转化．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014•河西区三模）已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．‎ ‎（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．‎ ‎【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，‎ 其中△=4p2k2+16p＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，‎ ‎∴===﹣4p+4，‎ 由已知，﹣4p+4=2，解得p=，‎ ‎∴抛物线E的方程为x2=y．‎ ‎（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，‎ ‎===x1﹣x2，‎ 同理k2=x2﹣x1，‎ ‎∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力．‎ ‎　‎