2020届高三数学（理）“大题精练”3

2020届高三数学（理）“大题精练”3

‎2020届高三数学（理）“大题精练”3（答案解析）‎ ‎17．在中，内角的对边分别为，已知．‎ 求；‎ 若，且面积，求的值．‎ ‎18．在中，.‎ ‎(1) 求角的大小；‎ ‎(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.‎ ‎19．在中，内角的对边分别为，，三边 第 9 页 共 9 页 成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.‎ ‎20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．‎ ‎（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；‎ ‎（2）试问：当为多少时，年总收入最大？‎ 第 9 页 共 9 页 ‎21．已知函数.‎ ‎(1)当时求函数的最小值；‎ ‎(2)若函数在上恒成立求实数的取值范围.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.‎ ‎2020届高三数学（理）“大题精练”3（答案解析）‎ ‎17．在中，内角的对边分别为，已知．‎ 求；‎ 若，且面积，求的值．‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴b=2a（cosCcos+sinCsin），可得：b=acosC+asinC，‎ 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC，‎ 第 9 页 共 9 页 可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC，‎ 可得：cosA=sinA，可得：tanA=，‎ ‎∵A∈（0，π），∴A= ‎ ‎（2）∵，且△ABC面积=bcsinA=2c×c×，‎ ‎∴解得：c=2，b=4，‎ ‎∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：a=2‎ ‎18．在中，.‎ ‎(1) 求角的大小；‎ ‎(2)若，垂足为，且，求面积的最小值.‎ 解：（1）由，两边平方，‎ 即，得到，即。 ‎ 所以 . ‎ ‎（2）在直角中， ，‎ 在直角中， ， ‎ 又，所以， ‎ 所以 ， ‎ 第 9 页 共 9 页 由得，，故，‎ 当且仅当时，，从而 . ‎ ‎19．在中，内角的对边分别为，，三边成等比数列，且面积为1，在等差数列中，，公差为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，设为数列的前项和，求的取值范围.‎ 解：（1）∵，，，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎∵是关于n的增函数，‎ ‎∴.‎ ‎20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．‎ 第 9 页 共 9 页 ‎（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；‎ ‎（2）试问：当为多少时，年总收入最大？‎ 解：‎ ‎（1）∵，，，所以与全等.‎ 所以，观赏区的面积为 ‎，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.‎ ‎（2）种植区的面积为，‎ 正方形面积为，‎ 设年总收入为万元，则 ‎，‎ 其中，求导可得.‎ 当时，，递增；当时，，递增.‎ 所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.‎ 第 9 页 共 9 页 ‎21．已知函数.‎ ‎(1)当时求函数的最小值；‎ ‎(2)若函数在上恒成立求实数的取值范围.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由题意得在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，则在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎ 第 9 页 共 9 页 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）当 时，判断函数在区间上零点的个数.‎ 解：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 因为，所以，‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得当时，有极大值，且极大值为，‎ 当时，有极小值，且极小值为.‎ ‎（2）由（1）得。‎ ‎∵ ，∴.‎ ‎① 当时，在上单调递增，在上递减 又因为 第 9 页 共 9 页 所以在（0,1）和（1,2）上各有一个零点，‎ 所以上有两个零点。 ‎ ‎② 当，即时，在上单调递增，在上递减，在上递增，‎ 又因为 所以在上有且只有一个零点，在上没有零点，‎ 所以在上有且只有只有一个零点.‎ 综上：‎ 当时，在上有两个零点；‎ 当时，在上有且只有一个零点。‎ 第 9 页 共 9 页