2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中数学文试题（解析版）

2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中数学文试题（解析版）

绝密 ★ 启用前 试卷类型A ‎2017-2018学年山东师范大学附属中学高二下学期期中数学文试题（解析版）‎ ‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分为120分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。‎ 第I卷 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 原命题为“若，互为共轭复数，则”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 A. 真，假，真 B. 假，假，真 C. 真，真，假 D. 假，假，假 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设复数，则，所以，故原命题为真；逆命题：若，则互为共轭复数；如，，且，但此时不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若不互为共轭复数，则；如，，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.‎ 考点：命题以及命题的真假.‎ ‎2. 已知变量，负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据得到的线性回归方程可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】变量与负相关，则AB选项错误，回归方程过样本中心点，当时：‎ 符合题意，‎ ‎，不合题意，‎ 本题选择C选项.‎ ‎3. 已知复数为纯虚数，则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:先化简复数，再利用纯虚数的概念得到a满足的条件，解方程即得a的值.‎ 详解:由题得=,‎ ‎∵复数为纯虚数,‎ ‎∴a-6=0且2a+3≠0，‎ ‎∴a=6.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算和纯虚数的概念，属于基础题.‎ ‎4. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是 ‎　　　 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题得到关于a,b,c的方程，解方程即得椭圆C的方程.‎ 详解：由题得，‎ 解之得.‎ 所以C的方程为 .‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程的求法，属于基础题.‎ ‎5. 点的直角坐标是，则它的极坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵点M的直角坐标是，‎ ‎∴在ρ⩾0，0⩽θ<2π的条件下，，‎ 又点M是第四象限的角，∴θ=.‎ 故选A.‎ ‎6. 已知，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用作差法比较每一个选项的两个式子，即可找到答案.‎ 详解：对于A选项，，因为，所以a-b<0,,所以.所以选项A错误.‎ 对于B选项，，符号不确定.所以选项B错误.‎ 对于C选项，，所以选项C正确.‎ 对于D选项，，所以选项D错误.‎ 故选C.‎ 点睛：比较实数的大小，一般利用作差法比较.‎ ‎7. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：令切点坐标为，且，，，∴.‎ 考点：利用导数求切线斜率.‎ ‎8. 已知曲线的参数方程为（为参数），则该曲线离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先把曲线C化成普通方程，再求曲线的离心率.‎ 详解：由题得曲线C的普通方程为，‎ 所以曲线C是椭圆，a=4,.‎ 所以椭圆的离心率为.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查参数方程与普通方程的互化和椭圆的离心率的计算，属于基础题.‎ ‎9. 若不等式的解集为空集，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：原题等价于不等式恒成立，再求出左边函数的最小值即得a的取值范围.‎ 详解：原题等价于不等式恒成立，‎ ‎∵≥|（x-2）-(x+3)|=5,‎ ‎∴的最小值为5.‎ ‎∴5≥a.‎ ‎∴a≤5.‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查绝对值三角不等式，属于基础题.‎ ‎10. 圆与直线的位置关系是 A. 相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D. 相离 ‎【答案】B ‎【解析】解：因为表示圆，而曲线 表示的为直线，利用圆心到直线的距离和圆的半径的关系可知，位置关系为相离。‎ ‎11. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则弦的长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标，由倾斜角求出直线的斜率，写出直线的点斜式方程后和抛物线联立，然后直接利用弦长公式求弦长．‎ 详解：由y2=8x得其焦点F（2，0）．‎ 则过抛物线y2=8x的焦点F且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣1×（x﹣2），‎ 即x+y﹣2=0．‎ 由，得x2﹣12x+4=0．‎ 设A（x1，y1），（x2，y2），‎ 则x1+x2=12，x1x2=4．‎ 所以|AB|=‎ 故选D．‎ 点睛：本题主要考查抛物线的弦长公式，属于基础题.‎ ‎12. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”它体现了一种无限与有限的转化过程。比如在表达式中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得．类比上述过程，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意结合所给的例子类比推理可得：，‎ 整理得：，则，‎ 即.‎ 本题选择A选项.‎ 第II卷 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 已知，取值如表：‎ 画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．‎ 详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，‎ ‎=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（3，），‎ 又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，‎ ‎∴=1×3+1，‎ 解得m=.‎ 故填.‎ 点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．‎ ‎14. 已知整数对序列如下：，，，，，，，，，，，，则第个数对是_________．‎ ‎【答案】(5,7)‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，数列的排布规律是：①两个数之和为的整数对共有个；②在两个数之和为的个整数对中，排列顺序为，第个数由起越来越大，第个数列由起越来越小，设两个数之和为的数对为第组，数对个数为；两个数之和为的数对为第二组，数对个数；，两个数之和为的数对为第组，数对个数为，又因为，所以第个数对在第组之中的第个数，从而两数之和为，应为.‎ 考点：数列的应用；归纳推理.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了归纳推理及数列的应用，体现了数列知识的拓展及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力和推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，把握数列的排布规律是：①两个数之和为的整数对共有个；②在两个数之和为的个整数对中，排列顺序为，第个数由起越来越大，第个数列由 起越来越小是解答关键.‎ ‎15. 已知，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先化简集合B,再根据“”是“”的必要不充分条件求出实数a的取值范围.‎ 详解：由题得，‎ 由于“”是“”的必要不充分条件，‎ 所以a≤0.‎ 故填.‎ 点睛：本题主要考查必要不充分条件，属于基础题.‎ ‎16. 已知，函数，若在上是单调减函数，则实数的取值范围是_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求导，得到在上恒成立，再列出a满足的不等式组，解不等式组即可.‎ 详解：由题得，‎ 因为在上是单调减函数，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴且，‎ ‎∴‎ 故填.‎ 点睛：本题考查了导数研究函数的性质，考查了二次函数的图像和性质，属于中档题.‎ 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. 已知．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）求的最小值及相应的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），此时x=‎ ‎【解析】分析：（1）利用分类讨论解双绝对值不等式. (2)先化简函数得到一个分段函数，再根据分段函数的图像和性质得到的最小值及相应的值.‎ 详解：（1）①时，，； ‎ ‎②时，，； ‎ ‎③时，， .‎ 综上可知：不等式的解集为 ‎ 由（1）知 ‎ 知：在和单调递减，在单增， ‎ ‎ ‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法和分段函数的最值，属于基础题.‎ ‎18. 平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于，两点，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用消参得到直线l的普通方程，利用极坐标公式得到曲线的直角坐标方程. （2）利用解三角形求弦长|AB|.‎ 详解：（1）直线的普通方程为； ‎ ‎，‎ 曲线的直角坐标方程为； ‎ ‎（2）曲线 ‎ 圆心到直线的距离； ‎ 圆的半径； ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 本题主要考查参数方程、极坐标和直角坐标的互化，考查圆的弦长的计算，属于基础题.‎ ‎19. 某学校高二年级有学生名，经调查，其中名同学经常参加体育锻炼（称为类同学），另外名同学不经常参加体育锻炼（称为类同学），现用分层抽样方法（按类、类分两层）从该年级的学生中共抽取名同学，如果以cm作为身高达标的标准，由抽取的名学生，得到以下的列联表：‎ 分类 身高达标 身高不达标 总计 类同学 类同学 总计 ‎(1)请将上表补充完整；‎ ‎(2)是否有的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关．‎ 附：‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）有的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关 ‎【解析】分析：（1）根据已知补充完整2×2列联表. （2）先计算出的值，再判断是否有的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关．‎ 详解：（1）‎ 分类 身高达标 身高不达标 总计 类同学 类同学 总计 ‎（2） ‎ 又 ‎ 有的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关.‎ 点睛：本题主要考查2×2列联表和独立性检验，属于基础题.‎ ‎20. 已知．‎ ‎(1)求不等式的解集；‎ ‎(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用分类讨论解绝对值不等式. （2）先求，再解不等式得到a的取值范围.‎ 详解：（1）‎ ‎ 的解集为 .‎ ‎（2）只需 ‎ 由（1）知： ‎ ‎.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法和分段函数的最值的求法，属于基础题.‎ ‎21. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(1)求曲线的的普通方程和曲线的的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线与交于，两点，点的极坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】分析：（1）消参把参数方程得到曲线的普通方程，利用极坐标公式得到曲线的的直角坐标方程.(2)利用直线参数方程的参数t的几何意义求的值．‎ 详解：（1），的普通方程为 ‎ ‎，‎ ‎∴的直角坐标方程为； ‎ ‎（2），为直线所过定点 将曲线的参数方程（为参数）代入 得 ‎ ‎，， ‎ 点睛：本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标的互化，考查直线的参数方程的t的几何意义，属于基础题.‎ ‎22. 保险公司统计的资料表明：居民住宅距最近消防站的距离（单位：千米）和火灾所造成的损失数额（单位：千元）有如下的统计资料：‎ 距消防站的距离（千米）‎ 火灾损失数额（千元）‎ ‎(1)请用相关系数（精确到）说明与之间具有线性相关关系；‎ ‎(2)求关于的线性回归方程（精确到）；‎ ‎(3)若发生火灾的某居民区距最近的消防站千米，请评估一下火灾损失（精确到）．‎ 参考数据：，，，，‎ 参考公式：；‎ 回归直线方程为，其中， ‎ ‎【答案】（1）与之间具有很强的线性相关关系；（2）；（3）千元．‎ ‎【解析】分析：（1）先求相关系数，再利用相关系数判断与之间具有很强的线性相关关系.(2)利用最小二乘法求线性回归方程. (3)把x=10代入回归方程即得解.‎ 详解：（1）‎ ‎ ‎ 所以与之间具有很强的线性相关关系； ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 与的线性回归方程为 ‎ ‎（3）当时，，所以火灾损失大约为千元．‎ 点睛：本题主要考查相关系数的意义和回归方程的求法，属于基础题.‎