数学卷·2018届湖北省荆州市公安县车胤中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省荆州市公安县车胤中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖北省荆州市公安县车胤中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）‎ ‎1．荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等 D．无法确定 ‎2．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（　　）‎ A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2‎ ‎3．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（　　）‎ A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T ‎4．同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（　　）‎ A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3‎ ‎6．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（　　）‎ A．588 B．480 C．450 D．120‎ ‎7．如图，程序框图的输出结果为﹣18，那么判断框①表示的“条件”应该是（　　）‎ A．i＞10？ B．i＞9？ C．i＞8？ D．i＞7？‎ ‎8．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎10．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎12．若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（　　）‎ A．（x+2）2+（y﹣6）2=1 B．（x﹣6）2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．（x+1）2+（y+3）2=1‎ ‎　‎ 二、填空题（共20分，每小题5分）‎ ‎13．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　　．‎ ‎14．已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程必过定点　　．‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5﹣m ‎7+m ‎15．过点M（3，﹣4），且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为　　．‎ ‎16．某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：‎ 序号i 分组 ‎（睡眠时间）‎ 组中值（Gi）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率（Fi）‎ ‎1‎ ‎[4，5）‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5，6）‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6，7）‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7，8）‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8，9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．‎ ‎18．已知直线l的方程为x+2y﹣1=0，点P的坐标为（1，﹣2）．‎ ‎（Ⅰ）求过P点且与直线l平行的直线方程；‎ ‎（Ⅱ）求过P点且与直线l垂直的直线方程．‎ ‎19．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩xn ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．‎ ‎20．已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆N的方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．‎ ‎（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．‎ ‎21．在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2+y2=1内的概率．‎ ‎22．已知△ABC中，A（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x﹣2y+1=0和y﹣1=0，求△ABC各边所在直线方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省荆州市公安县车胤中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）‎ ‎1．荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等 D．无法确定 ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，每个个体被抽到包括两个过程，这两个过程是相互独立的．‎ ‎【解答】解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，‎ 在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，‎ ‎∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，‎ ‎∴每人入选的概率P===，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（　　）‎ A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣2‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x的方程，求方程的解即可．‎ ‎【解答】解：∵点A（x，1，2）和点B（2，3，4），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴x2﹣4x﹣12=0‎ ‎∴x=6，x=﹣2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（　　）‎ A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T ‎【考点】设计程序框图解决实际问题．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．‎ ‎【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，‎ 因此A＞0时应累加到月收入S，‎ 故判断框内填：A＞0‎ 又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，‎ 但月支出用负数表示 因此月盈利V=S+T 故处理框中应填：V=S+T 故选A＞0，V=S+T ‎　‎ ‎4．同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】利用列举法得到同时向上掷两枚骰子，向上的点数之和共有36种结果，而向上的点数之和为5的结果有4种情况，由此能求出向上的点数之和等于5的概率．为．‎ ‎【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36‎ 事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种 故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（　　）‎ A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值．‎ ‎【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：‎ 平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，‎ 由得，即A（3，4），‎ 代入目标函数z=2x﹣3y，‎ 得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．‎ ‎∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（　　）‎ A．588 B．480 C．450 D．120‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．‎ ‎【解答】解：根据频率分布直方图，‎ 成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8． ‎ 由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．如图，程序框图的输出结果为﹣18，那么判断框①表示的“条件”应该是（　　）‎ A．i＞10？ B．i＞9？ C．i＞8？ D．i＞7？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的m，s，i的值，当s=﹣18时i=9根据题意，此时应该满足条件，退出执行循环体，输出s的值为﹣18，故判断框①表示的“条件”应该是i＞8？‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有 s=6，i=1‎ 第1次执行循环体，有m=4，s=10，i=2‎ 不满足条件，第2次执行循环体，有m=2，s=12，i=3‎ 不满足条件，第3次执行循环体，有m=0，s=12，i=4‎ 不满足条件，第4次执行循环体，有m=﹣2，s=10，i=5‎ 不满足条件，第5次执行循环体，有m=﹣4，s=6，i=6‎ 不满足条件，第6次执行循环体，有m=﹣6，s=0，i=7‎ 不满足条件，第7次执行循环体，有m=﹣8，s=﹣8，i=8‎ 不满足条件，第8次执行循环体，有m=﹣10，s=﹣18，i=9‎ 根据题意，此时应该满足条件，退出执行循环体，输出s的值为﹣18．‎ 故判断框①表示的“条件”应该是i＞8？‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．‎ ‎【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，‎ 由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；‎ 若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）‎ A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）‎ ‎∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP 因此，PQ的斜率k===1‎ 可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，求出直线l的斜率k的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB 或 k≤kPA，‎ 即 k≥=，或 k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，‎ 即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，‎ 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，‎ 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，‎ 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．若圆C与圆D：（x+2）2+（y﹣6）2=1关于直线l：x﹣y+5=0对称，则圆C的方程为（　　）‎ A．（x+2）2+（y﹣6）2=1 B．（x﹣6）2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．（x+1）2+（y+3）2=1‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】设圆心（﹣2，6）关于直线x﹣y+5=0对称的点的坐标为（m，n），利用垂直以及中点在轴上，求得m，n的值，可得对称圆的方程．‎ ‎【解答】解：设圆心（﹣2，6）关于直线x﹣y+5=0对称的点的坐标为（m，n），‎ 则由求得m=1，n=3，故对称圆的圆心为（1，3），对称圆的半径和原来的圆一样，‎ 故对称圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（共20分，每小题5分）‎ ‎13．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．‎ ‎【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，‎ ‎∵=＜2，∴（3，1）在圆内，‎ ‎∵圆心到此点的距离d=，r=2，‎ ‎∴最短的弦长为2=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．已知x与y之间的一组数据如表所示，当m变化时，y与x的回归直线方程必过定点　　．‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5﹣m ‎7+m ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】直接求出回归直线方程的经过的样本中心即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得： =， =4．‎ 可得样本中心（）．‎ y与x的回归直线方程必过定点：（）．‎ ‎　‎ ‎15．过点M（3，﹣4），且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为　4x+3y=0或x+y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】分直线过原点和不过原点设出直线方程，然后把点M（3，﹣4）代入直线方程，求出斜率后直线方程可求．‎ ‎【解答】解：当直线过原点时，设方程为y=kx，因为直线过点M（3，﹣4），‎ 则﹣4=3k，所以k=﹣，则直线方程为，即4x+3y=0；‎ 当直线l不过原点时，设直线方程为x+y=a，‎ 则3﹣4=a，所以a=﹣1．直线方程为x+y+1=0．‎ 故答案为4x+3y=0或x+y+1=0．‎ ‎　‎ ‎16．某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：‎ 序号i 分组 ‎（睡眠时间）‎ 组中值（Gi）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率（Fi）‎ ‎1‎ ‎[4，5）‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5，6）‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6，7）‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7，8）‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8，9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为　6.42　．‎ ‎【考点】频率分布表；工序流程图（即统筹图）．‎ ‎【分析】观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合流程图中数据即可求解．‎ ‎【解答】解：由流程图知：‎ S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5‎ ‎=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08‎ ‎=6.42，‎ 故填：6.42．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；‎ ‎（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．‎ ‎（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．‎ ‎【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，‎ 整理可得：2=1.4+2a，‎ ‎∴解得：a=0.3．‎ ‎（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：‎ 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，‎ 又样本容量为30万，‎ 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．‎ ‎（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；‎ ‎0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，‎ ‎0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，‎ ‎∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，‎ 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，‎ 解得x=0.04；‎ ‎∴中位数是2+0.04=2.04．‎ ‎　‎ ‎18．已知直线l的方程为x+2y﹣1=0，点P的坐标为（1，﹣2）．‎ ‎（Ⅰ）求过P点且与直线l平行的直线方程；‎ ‎（Ⅱ）求过P点且与直线l垂直的直线方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）设过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+k=0，把P点坐标代入求得k值得答案；‎ ‎（2）设过P点且与直线l垂直的直线方程为2x﹣y+b=0，把P点坐标代入求得b值得答案．‎ ‎【解答】解：（1）设过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+k=0，…‎ 则1+2×（﹣2）+k=0，即k=3，…‎ ‎∴过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+3=0…；‎ ‎（2）设过P点且与直线l垂直的直线方程为2x﹣y+b=0，…‎ 则2×1﹣（﹣2）+b=0，即b=﹣4，…‎ ‎∴过P点且与直线l垂直的直线方程为2x﹣y﹣4=0．…‎ ‎　‎ ‎19．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩xn ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．‎ ‎（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，‎ ‎∴x6=90，‎ 这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，‎ ‎∴这六位同学的标准差是7‎ ‎（2）由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，‎ 满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，‎ 根据古典概型概率个数得到P==0.4．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上．‎ ‎（Ⅰ）求圆N的方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．‎ ‎（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；‎ ‎（Ⅱ）求出N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），即可得到圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程；‎ ‎（Ⅲ）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，‎ 从而有=，解得：a=2．‎ 于是圆N的圆心N（2，4），半径r=．‎ 所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10；‎ ‎（Ⅱ）设N（2，4）关于直线x﹣y+3=0对称点的坐标为（m，n），‎ 则，‎ ‎∴m=1，n=5，‎ ‎∴圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2=10；‎ ‎（Ⅲ）设M（x，y），D（x1，y1），‎ 则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：．‎ 又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，‎ 化简得：．‎ 故所求的轨迹方程为．‎ ‎　‎ ‎21．在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2+y2=1内的概率．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，求出面积，然后求解概率即可．‎ ‎【解答】解：区域为△ABC内部（含边界）如图：‎ 由，解得C（0，），可得A（﹣，0），解得B（，0）．‎ 单位圆x2+y2=1，半圆的面积为：；三角形的面积为： =2‎ 点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为：P==．‎ ‎　‎ ‎22．已知△ABC中，A（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x﹣2y+1=0和y﹣1=0，求△ABC各边所在直线方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】B点应满足的两个条件是：①B在直线y﹣1=0上；②BA的中点D在直线x﹣2y+1=0上．由①可设B（xB，1），进而由②确定xB值，得到B点坐标；同理设出点C的纵坐标，根据中点坐标公式和C在x﹣2y+1=0上可求出C点坐标，然后利用两点式分别求出三边所在的直线方程即可．‎ ‎【解答】解：设B（xB，1）则AB的中点 ‎∵D在中线CD：x﹣2y+1=0上 ‎∴，‎ 解得xB=5，故B（5，1）．‎ 同样，因点C在直线x﹣2y+1=0上，可以设C为（2yC﹣1，yC），‎ 根据=1，解出yC=﹣1，‎ 所以C（﹣3，﹣1）．‎ 根据两点式，得直线AB的方程为y﹣3=（x﹣1）；‎ 直线BC的方程为y﹣1=（x﹣5）；‎ 直线AC的方程为y﹣3=（x﹣1）‎ 化简得△ABC中直线AB：x+2y﹣7=0，‎ 直线BC：x﹣4y﹣1=0，‎ 直线AC：x﹣y+2=0．‎ ‎　‎ ‎2017年1月2日