高考数学专题复习：“杨辉三角”与二项式系数的性质

高考数学专题复习：“杨辉三角”与二项式系数的性质

‎1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 一、选择题 ‎1、(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)‎ A．－1 B．‎0 C．1 D．2‎ ‎2、满足C＋C＋C＋…＋C＋C>1 000的最小偶数n为(　　)‎ A．8 B．‎10 ‎ C．12 D．14‎ ‎3、5310被8除的余数是(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．7‎ ‎4、若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋…＋a2 009x2 009(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)‎ A．2 B．‎0 ‎ C．－1 D．－2‎ ‎5、(x－)10的展开式中，系数最大的项是(　　)‎ A．第3项 B．第6项 C．第3、6项 D．第5、7项 ‎6、在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(　　)‎ A．第＋1项 B．第n项 C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 二、填空题 ‎7、已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝29－n，则n＝________.‎ ‎8、如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第______行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.‎ ‎9、在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第________项．‎ 三、解答题 ‎10、已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ ‎11、求0.9986的近似值，使误差小于0.001.‎ ‎12、在(x－y)11的展开式中，求：‎ ‎(1)通项Tk＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[展开式的通项公式Tr＋1＝C·28－r·(－)r，则含x4的项的系数为1，令x＝1，得展开式所有项系数和为(2－)8＝1，因此展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0，故选B.]‎ ‎2、C　[∵2n－1>1 000，∴n≥11(n∈N*)．]‎ ‎3、A　[5310＝(56－3)10＝5610＋C569×(－3)＋C568×(－3)2＋…＋C56×(－3)9＋(－3)10.‎ ‎∴5310被8除的余数等于310被8除的余数．‎ 又310＝95＝(8＋1)5＝85＋C84＋…＋C×8＋1.‎ ‎∴所求余数为1.]‎ ‎4、C　[本题主要考查赋值法在二项展开式中的应用，令x＝0，得a0＝1.‎ 令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.]‎ ‎5、D　[根据二项展开式中系数的关系，注意到第6项的系数为－C，实际上最小，所以系数最大的项为第5、7项．]‎ ‎6、C　[因为2n为偶数，且x的系数为1，‎ ‎∴系数最大的项即为二项式系数最大的项且为中间一项，即第(n＋1)项．]‎ 二、填空题 ‎7、4‎ 解析　令x＝1，解a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2；令x＝0，‎ 得a0＝n，又an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝29－n，所以2n＋1＝32，‎ 所以n＝4.‎ ‎8、34‎ 解析　假设满足条件的是第n行，则从左至右第14个数和第15个数分别是C，C，由题意可知＝，解之得n＝34.‎ ‎9、6‎ 解析　由题意，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，‎ ‎∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.‎ ‎∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．‎ 三、解答题 ‎10、解　令x＝1，‎ 则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. ①‎ 令x＝－1，‎ 则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，‎ 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，‎ 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6都大于零，‎ 而a1、a3、a5、a7都小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|‎ ‎＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，‎ ‎∴由(2)、(3)即可得其值为2 187.‎ ‎11、解　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，‎ ‎∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00 006<0.001.‎ 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，‎ ‎∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，‎ 即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.‎ ‎12、解　(1)Tk＋1＝(－1)kCx11－kyk.‎ ‎(2)二项式系数最大的项为中间两项：‎ T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.‎ ‎(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：‎ T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.‎ ‎(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝Cx5y6.‎ ‎(5)项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.‎ ‎(6)二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.‎ ‎(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.‎