高考数学复习专题练习第5讲 数列的综合应用

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高考数学复习专题练习第5讲 数列的综合应用

第5讲 数列的综合应用 一、选择题 ‎1.已知数列{an}的前n项和为Sn,过点P(n,Sn)和Q(n+1,Sn+1)(n∈N+)的直线的斜率为3n-2,则a2+a4+a5+a9的值等于(  )‎ A.52          B.40‎ C.26 D.20‎ 解析 由题意,知=3n-2,‎ ‎∴Sn+1-Sn=3n-2,即an+1=3n-2.∴an=3n-5.‎ 因此数列{an}是等差数列,a5=10.‎ ‎∴a2+a4+a5+a9=2(a3+a7)=‎4a5=40.‎ 答案 B[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎2.数列{an}满足a1+‎3a2+‎32a3+…+3n-1an=,则an=(  )‎ A. B. C. D. 解析 令n=1,得a1=,排除A、D;再令n=2,得a2=,排除C,故选B.‎ 答案 B ‎3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=(  )‎ A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+n ln n D.1+n+ln n 解析 a2=a1+ln,‎ a3=a2+ln,…,‎ an=an-1+ln ‎⇒an=a1+ln=2+ln n.‎ 答案 A ‎4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(  ).‎ A.5年 B.6年 C.7年 D.8年 解析 由已知可得第n年的产量an=f(n)-f(n-1)=3n2.当n=1时也适合,据题意令an≥150⇒n≥5,即数列从第8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.‎ 答案 C ‎5.在等差数列{an}中,满足‎3a4=‎7a7,且a1>0,Sn是数列{an}前n项的和,若Sn取得最大值,则n=(  ).‎ A.7 B.‎8 ‎ C.9 D.10‎ 解析 设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),‎ 所以d=-a1<0.‎ 解不等式an>0,即a1+(n-1)>0,‎ 所以n<,则n≤9,‎ 当n≤9时,an>0,同理可得n≥10时,an<0.‎ 故当n=9时,Sn取得最大值.‎ 答案 C ‎6.设函数f(x)=2x-cos x,{an}是公差为的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a‎1a5= (  ).‎ A.0 B.π‎2 ‎ C.π2 D.π2‎ 解析 设g(x)=2x+sin x,由已知等式得g+g+…+g=0,则必有a3-=0,即a3=(否则若a3->0,则有+=+=2>0,注意到g(x)是递增的奇函数,g>0,g>g=-g,g+g>0,同理g+g>0,g+g+…+g>0,这与“g+g+…+g=‎0”‎相矛盾,因此a3->0不可能;同理a3-<0也不可能);又{an}是公差为的等差数列,a1+2×=,a1=,a5=,f(a3)=f=π-cos=π,[f(a3)]2-a‎1a5=π2,选D.‎ 答案 D 二、填空题 ‎7.已知a,b,c成等比数列,如果a,x,b和b,y,c都成等差数列,则+=________.‎ 解析 赋值法.如令a,b,c分别为2,4,8,可求出x==3,y==6,+=2.‎ 答案 2‎ ‎8.设{an}是等比数列,公比q=,Sn为{an}的前n项和.记Tn=,n∈N+.设Tn0为数列{Tn}的最大项,则n0=________.‎ 解析 根据等比数列的前n项和公式Sn=,‎ 则Tn===,令qn=(‎ )n=t,则函数g(t)=t+,当t=4时函数g(t)取得最小值,此时n=4,而=<0,故此时Tn最大,所以n0=4.‎ 答案 4‎ ‎9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部资金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出________万元资金进行奖励.[来源:‎ 解析 设第十名到第一名得到的资金分别是a1,a2,…,a10,则an=Sn+1,‎ ‎∴a1=2,又an-1=Sn-1+1(n≥2),‎ 故an-an-1=an.‎ ‎∴an=2an-1则每人所得资金数组成一个以2为首项,公比为2的等比数列,所以S10==2 046.‎ 答案 2 046‎ ‎10.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:‎ ,,,,,,,,,,…,,,…,,…,有如下运算和结论:‎ ‎①a24=;‎ ‎②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;‎ ‎③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=;‎ ‎④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=.‎ 其中正确的结论有________.(将你认为正确的结论序号都填上)‎ 解析 依题意,将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n ‎+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=.‎ 对于①,注意到21=<24<=28,因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=,因此①正确.‎ 对于②、③,设bn为②、③中的数列的通项,则bn=‎ =,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于×=,因此②不正确,③正确.‎ 对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=,因此④正确.‎ 综上所述,其中正确的结论有①③④.‎ 答案 ①③④‎ 三、解答题 ‎11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为13.‎ ‎(1)求an及Sn;‎ ‎(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 因为S5=‎5a3=35,a5+a7=26,‎ 所以解得a1=3,d=2,‎ 所以an=3+2(n-1)=2n+1,‎ Sn=3n+×2=n2+2n.‎ ‎(2)由(1)知an=2n+1,‎ 所以bn===-,‎ 所以Tn=++…+ ‎=1-=.‎ ‎12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)设bn=a2n-2,n∈N+,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(3)已知cn=log|bn|,求证:++…+<1.‎ 解 (1)由数列{an}的递推关系易知:‎ a2=,a3=-.‎ ‎(2)证明:bn+1=a2n+2-2=a2n+1+(2n+1)-2[来源 ‎=a2n+1+(2n-1)=(a2n-4n)+(2n-1)‎ ‎=a2n-1=(a2n-2)=bn.‎ 又b1=a2-2=-,∴bn≠0,∴=,‎ 即数列{bn}是公比为,首项为-的等比数列,‎ bn=-n-1=-n.‎ ‎(3)证明:由(2)有cn=log|bn|=logn=n.‎ ‎∵=-(n≥2).‎ ‎∴++…+ ‎=++…+ ‎=1-+-+…+-=1-<1.‎ ‎13.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14,且a1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前三项.‎ ‎(1)分别求数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn;‎ ‎(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn,设cn=,求证:cn+1>cn(n∈N*).‎ ‎(1)解 设公差为d,则 解得d=1或d=0(舍去),a1=2,‎ 所以an=n+1,Sn=.‎ 又a1=2,d=1,所以a3=4,即b2=4.‎ 所以数列{bn}的首项为b1=2,公比q==2,‎ 所以bn=2n,Tn=2n+1-2.‎ ‎(2)证明 因为Kn=2·21+3·22+…+(n+1)·2n, ①‎ 故2Kn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1, ②‎ ‎①-②得-Kn=2·21+22+23+…+2n-(n+1)·2n+1,‎ ‎∴Kn=n·2n+1,则cn==.‎ cn+1-cn=- ‎=>0,‎ 所以cn+1>cn(n∈N*).‎ ‎14.某商店投入38万元经销某种纪念品,经销时间共60天,为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天的利润an=(单位:万元,n∈N+),记第n天的利润率bn=,例如b3=.‎ ‎(1)求b1,b2的值;‎ ‎(2)求第n天的利润率bn;‎ ‎(3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天的利润率.‎ 解 (1)当n=1时,b1=;当n=2时,b2=.‎ ‎(2)当1≤n≤25时,a1=a2=…=an-1=an=1.‎ ‎∴bn===.‎ 当26≤n≤60时,‎ bn= ‎==,‎ ‎∴第n天的利润率bn=(n∈N+).‎ ‎(3)当1≤n≤25时,‎ bn=是递减数列,此时bn的最大值为b1=;[来源:Z。xx。k.Com]‎ 当26≤n≤60时,‎ bn==≤= .‎ 又∵>,∴n=1时,(bn)max=.‎ ‎∴该商店经销此纪念品期间,第1天的利润率最大,且该天的利润率为.‎
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