数学卷·2018届天津市红桥区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届天津市红桥区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎1．圆心为O（﹣1，3），半径为2的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y+3）2=2 B．（x+1）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣1）2+（y+3）2=4 D．（x+1）2+（y﹣3）2=2‎ ‎2．若抛物线y2=2mx的准线方程为x=﹣3，则实数m的值为（　　）‎ A．﹣6 B．﹣ C． D．6‎ ‎3．已知圆的一般方程为x2+y2﹣2x+4y=0，则该圆的半径长为（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎4．双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x ‎5．已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，则点N的坐标为（　　）‎ A．（0，0，﹣） B．（0，0，﹣） C．（0，0，） D．（0，0，）‎ ‎6．观察下列一组数据 a1=1，‎ a2=3+5，‎ a3=7+9+11，‎ a4=13+15+17+19，‎ ‎…‎ 则a10从左到右第一个数是（　　）‎ A．91 B．89 C．55 D．45‎ ‎7．已知抛物线C：y2=﹣2x的焦点为F，点A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=，则x0=（　　）‎ A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎8．已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎9．若圆C1：（x﹣a）2+y2=4（a＞0）与圆C2：x2+（y﹣）2=9相外切，则实数a的值为　　．‎ ‎10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线　　上．‎ ‎11．以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为　　．‎ ‎12．如图，棱长为1的正方体OABC﹣D′A′B′C′中，G为侧面正方形BCC′B′的中心，以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点G的坐标为　　．‎ ‎13．已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与左支相交于A，B两点，如果|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB|=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，满分48分）‎ ‎14．（Ⅰ）△‎ ABC的三个顶点分别为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，﹣5），求其外接圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）求经过点（﹣5，2），焦点为（，0）的双曲线方程．‎ ‎15．已知两点A（﹣1，5），B（3，7），圆C以线段AB为直径．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．‎ ‎16．已知抛物线C：y2=﹣4x．‎ ‎（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．‎ ‎17．已知椭圆C： +y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；‎ ‎（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年天津市红桥区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎1．圆心为O（﹣1，3），半径为2的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y+3）2=2 B．（x+1）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣1）2+（y+3）2=4 D．（x+1）2+（y﹣3）2=2‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】以（a，b）为圆心，r为半径的圆是：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，结合题意，将圆心坐标，半径值代入即可得答案．‎ ‎【解答】解：∵圆的圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，‎ ‎∴圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣3）2=4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．若抛物线y2=2mx的准线方程为x=﹣3，则实数m的值为（　　）‎ A．﹣6 B．﹣ C． D．6‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线的y2=2px的准线方程为x=﹣，结合题意即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：∵y2=2px的准线方程为x=﹣，‎ ‎∴由y2=2mx的准线方程为x=﹣3得：2m=﹣4×（﹣3）=12，‎ ‎∴m=6．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．已知圆的一般方程为x2+y2﹣2x+4y=0，则该圆的半径长为（　　）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】利用配方法化圆的一般方程为标准方程，从而求得圆的圆心坐标和半径．‎ ‎【解答】解：由x2+y2﹣2x+4y=0，配方得（x﹣1）2+（y+2）2=5．‎ ‎∴y圆的圆心坐标为C（1，﹣2），半径为，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】渐近线方程是﹣=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线标准方程为﹣=1，‎ 其渐近线方程是﹣=0，‎ 整理得y=±x．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知z轴上一点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，则点N的坐标为（　　）‎ A．（0，0，﹣） B．（0，0，﹣） C．（0，0，） D．（0，0，）‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】根据点N在z轴上，设出点N的坐标，再根据N到A与到B的距离相等，由空间中两点间的距离公式求得AN，BN，解方程即可求得N的坐标．‎ ‎【解答】解：设N（0，0，z）‎ 由点N到点A（1，0，3）与点B（﹣1，1，﹣2）的距离相等，得：‎ ‎12+02+（z﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（1﹣0）2+（﹣2﹣z）2‎ 解得z=，故N（0，0，）‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．观察下列一组数据 a1=1，‎ a2=3+5，‎ a3=7+9+11，‎ a4=13+15+17+19，‎ ‎…‎ 则a10从左到右第一个数是（　　）‎ A．91 B．89 C．55 D．45‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察数列{an} 中，各组和式的第一个数：1，3，7，13，…找出其规律，从而得出a10的第一个加数为91．‎ ‎【解答】解：观察数列{an} 中，a1=1，a2=3+5，a3=7+9+11，a4=13+15+17+19，…，‎ 各组和式的第一个数为：1，3，7，13，…‎ 即1，1+2，1+2+2×2，1+2+2×2+2×3，…，‎ 其第n项为：1+2+2×2+2×3+…+2×（n﹣1）．‎ ‎∴第10项为：1+2+2×2+2×3+…+2×9=1+2×=91．‎ 从而a10的第一个加数为91．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线C：y2=﹣2x的焦点为F，点A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=，则x0=（　　）‎ A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x0的值．‎ ‎【解答】解：根据抛物线定义可知﹣x0=，解得x0=﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，可得c=5， =，结合c2=a2+b2，即可求出双曲线离心率．‎ ‎【解答】解：∵双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，‎ ‎∴c=5， =，c2=a2+b2‎ 解得：a=4，b=3，e=‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎9．若圆C1：（x﹣a）2+y2=4（a＞0）与圆C2：x2+（y﹣）2=9相外切，则实数a的值为　　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】利用两圆外切，圆心距等于半径之和，建立方程，即可求得实数a的值．‎ ‎【解答】解：∵圆C1：（x﹣a）2+y2=4（a＞0）与圆C2：x2+（y﹣）2=9相外切，‎ ‎∴（0+a）2+（﹣﹣0）2=（2+3）2，‎ ‎∴a=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线　　上．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】观察所得的直线方程与椭圆的方程之间的关系，直线的方程有两个变化，即x，y的平方变化成x，y，等号右边的1变成0，根据这两个变化写出双曲线的斜率为1的中点所在的直线的方程．‎ ‎【解答】解：∵椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，‎ 观察所得的直线方程与椭圆的方程之间的关系，直线的方程有两个变化，‎ 即x，y的平方变化成x，y，等号右边的1变成0，‎ ‎∴双曲线上斜率为1的弦的中点在直线上，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎11．以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆的方程为　x2+（y﹣2）2=4　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得该圆的圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，由圆的圆坐标以及半径结合圆的标准方程形式即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，以点M（0，2）为圆心，并且与x轴相切的圆，‎ 其圆心到x轴的距离就是圆的半径，即该圆的半径r=2，‎ 则要求圆的方程为：x2+（y﹣2）2=4；‎ 故答案为：x2+（y﹣2）2=4．‎ ‎　‎ ‎12．如图，棱长为1的正方体OABC﹣D′A′B′C′中，G为侧面正方形BCC′B′的中心，以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则点G的坐标为　（，1，）　．‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】G是BC′的中点，由B（1，1，0），C′（0，1，1），利用中点坐标公式能求出点G的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，棱长为1的正方体OABC﹣D′A′B′C′中，G为侧面正方形BCC′B′的中心，‎ 以顶点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则G是BC′的中点，‎ ‎∵B（1，1，0），C′（0，1，1），‎ ‎∴点G的坐标为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知双曲线﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与左支相交于A，B两点，如果|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB|=　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意及双曲线的方程知a的值，再利用|AF2|+|BF2|=2|AB|，双曲线的定义得到|AB|．‎ ‎【解答】解：由题意可知a=，‎ ‎∵2|AB|=|AF2|+|BF2|，‎ ‎∴|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|，‎ 得|AB|=|AF2|﹣|AF1|+|BF2|﹣|BF1|=4a=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（共4小题，满分48分）‎ ‎14．（Ⅰ）△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，5），B（﹣2，﹣2），C（5，﹣5），求其外接圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）求经过点（﹣5，2），焦点为（，0）的双曲线方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）法一：利用待定系数法；法二：求出圆心与半径，即可求其外接圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0），利用经过点（﹣5，2），焦点为（，0），求出a，b，即可求出双曲线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题意有 解得 故所求圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 法二：由题意可求得线段AC的中垂线方程为x=2，线段BC的中垂线方程为x+y﹣3=0，∴圆心是两中垂线的交点（2，1），半径r==5．‎ 故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=25．‎ ‎（Ⅱ）∵焦点坐标为（，0），焦点在x轴上，‎ ‎∴可设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵双曲线过点（﹣5，2），∴﹣=1，得a2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 联立解得a2=5，b2=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（解对一个2分）‎ 故所求双曲线方程为﹣y2‎ ‎=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎15．已知两点A（﹣1，5），B（3，7），圆C以线段AB为直径．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标、半径，即可求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l：x+y﹣4=0与圆C相交于M，N两点，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求弦MN的长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，得圆心C的坐标为（1，6），﹣﹣﹣﹣﹣‎ 直径．半径﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣6）2=5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）设圆心C到直线l：x+y﹣4=0的距离为d，‎ 则有．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由垂径定理和勾股定理，有．﹣﹣﹣‎ 所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎16．已知抛物线C：y2=﹣4x．‎ ‎（Ⅰ）写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）直线l过定点P（1，2），斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；两个公共点；没有公共点．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据抛物线的方程，即可写出抛物线C的焦点坐标、准线方程、焦点到准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，直线与抛物线方程联立，利用判别式，即可求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线C焦点F（﹣1，0），准线方程x=1，焦点到准线距离为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）由题意设直线l的方程：y=kx﹣k+2‎ 由方程组可得：ky2+4y+4k﹣8=0﹣﹣﹣（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（1）当k=0时，由（1）得y=2带入y2=﹣4x（4），x=﹣1，‎ 此时直线与抛物线只有一个公共点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）当k≠0时，（1）的判别式△=16﹣4k（4k﹣8）=﹣16（k2﹣2k﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当△=0时，或，此时直线与抛物线只有一个公共点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当△＞0时，，此时直线与抛物线有两个公共点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当△＜0时，或，此时直线与抛物线没有公共点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎17．已知椭圆C： +y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；‎ ‎（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程及性质直接求解．‎ ‎（Ⅱ）由椭圆的定义知①，勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，得|PF1|•|PF2|即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆知a2=2，b2=1，则 ‎，故c=1﹣﹣﹣‎ 所以椭圆C的长轴，短轴2b=2，离心率，左焦点F1（﹣1，0）．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，b=1，c=1．‎ 由椭圆的定义知①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 在Rt△PF1F2中，由勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，‎ 得2|PF1|•|PF2|=8﹣4=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=2，∴S=|PF1|•|PF2|=×2=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎