高考数学专题复习：课时达标检测（三十一） 等比数列及其前n项和

高考数学专题复习：课时达标检测（三十一） 等比数列及其前n项和

课时达标检测（三十一） 等比数列及其前n项和 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．(2017·湖北华师一附中月考)在等比数列{an}中，a‎2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)‎ A．1 B．±1 ‎ C．2 D．±2‎ 解析：选A　因为数列{an}是等比数列，所以a‎2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.‎ ‎2．(2017·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)‎ A．32 B．64 ‎ C．128 D．256‎ 解析：选C　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)①，又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7②，则联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，∵an>0，∴q＝2，∴a1＝＝1，∴a8＝27＝128.‎ ‎3．等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A.(4n－1) B.(2n－1)‎ C．4n－1 D．(2n－1)2‎ 解析：选A　由题知a1＝1，公比q＝2，故数列{a}是首项为1，公比为4的等比数列，故a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)，故选A.‎ ‎4．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋‎2a2＝3，a＝‎4a3a7，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q>0.由a＝a‎3a7得a＝‎4a3a7＝‎4a＝‎4aq2，所以q2＝，q＝.又a1＋‎2a2＝a1＋‎2a1q＝3，即‎2a1＝3，所以a1＝，所以an＝a1qn－1＝×n－1＝.‎ 答案： ‎5．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝________.‎ 解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.‎ 答案： ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a‎2a3a4，则公比q的值为(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　由a9＝a‎2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.‎ ‎2．(2016·杭州质检)在等比数列{an}中，a‎5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)‎ A．3 B．－ C．3或 D．－3或－ 解析：选C　根据等比数列的性质得化简得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.‎ ‎3．(2017·长沙模拟)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)‎ A．7 B．5 ‎ C．－5 D．－7‎ 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，由解得或所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.‎ ‎4．(2016·衡阳三模)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝(　　)‎ A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1‎ 解析：选C　因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则an＝2qn－1，因为数列{an＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，则an＋an＋2＝2an＋1，即an(1＋q2－2q)＝0，所以q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n ‎，故选C.‎ ‎5．(2017·福州质检)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn，若a‎3a4a8＝8，则Ⅱ9＝(　　)‎ A．512 B．256 ‎ C．81 D．16‎ 解析：选A　由题意知，a‎3a4a7q＝a‎3a7(a4q)＝a‎3a7a5＝a＝8，Ⅱ9＝a‎1a2a3…a9＝(a‎1a9)(a‎2a8)(a‎3a7)(a‎4a6)a5＝a，所以Ⅱ9＝83＝512.‎ ‎6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192 里 B．96 里 ‎ C．48 里 D．24 里 解析：选B　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96 里，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为________．‎ 解析：因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以＝.‎ 答案： ‎8．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.‎ 解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝‎3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.‎ 答案：3n－1‎ ‎9．在等比数列中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.‎ 解析：∵S99＝30，∴a1(299－1)＝30.又∵数列a3，a6，a9，…，a99‎ 也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…a99＝＝＝×30＝.‎ 答案： ‎10．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．‎ 解析：由题可知a‎1a2a3·…·a2 016＝a2 016，‎ 故a‎1a2a3·…·a2 015＝1，‎ 由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，‎ 所以a1 008＝1，公比0＜q＜1，‎ 所以a1 007＞1且0＜a1 009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 007或1 008.‎ 答案：1 007或1 008‎ 三、解答题 ‎11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.‎ 解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1.‎ 又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.‎ 当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝ ‎(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，‎ ‎∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.‎ ‎∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.‎ ‎12．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．‎ ‎(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解：(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．‎ ‎∵a1＝5，a2＝5，‎ ‎∴a2＋‎2a1＝15，‎ ‎∴an＋2an－1≠0(n≥2)，‎ ‎∴＝3(n≥2)，‎ ‎∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，‎ 则an＋1＝－2an＋5×3n，‎ ‎∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．‎ 又∵a1－3＝2，‎ ‎∴an－3n≠0，‎ ‎∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．‎ ‎∴an－3n＝2×(－2)n－1，‎ 即an＝2×(－2)n－1＋3n.‎