数学(理)卷·2019届吉林省长春市十一高中等九校高二下学期期初考试(2018-03)

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数学(理)卷·2019届吉林省长春市十一高中等九校高二下学期期初考试(2018-03)

长春市第九教育联盟2017-2018学年度高二下学期期初考试 ‎ 数学(理科)试题 ‎ 第Ⅰ卷(共 60 分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知命题的否定是,命题双曲线的离心率为2,则下列命题中为真命题的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.命题“”是命题“直线与直线平行”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎5.函数f(x)=x2-lnx的最小值为( )‎ A. B. 1 C. 0 D. 不存在 ‎6.已知双曲线 的离心率为,则的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )‎ A.64 B. 32 ‎ C. 96 D. 48‎ 8. 将5个不同的球放入4个不同的盒 子中,每个盒子至少放一个球,则 不同放法共有( )种 A.480 B.360 ‎ ‎ C.240 D.120‎ ‎9.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯,假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则2人在不同层离开的概率是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”,四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是 ( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎11.已知抛物线: 经过点,过焦点的直线与抛物线交于, 两点, ,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若函数与的图像有两个不同交点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 第 Ⅱ卷(共 90 分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知,则=_____.‎ ‎14.若直线l:与抛物线:相切于点,则以点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的标准方程为_______________.‎ ‎15.已知函数在处取得极大值,则的值为___.‎ ‎16.在三棱锥中,正三角形中心为,边长为, 面,垂足为的中点, 与平面所成的角为45°.若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为__________.‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分,解答时要写出必要的文字说明,推理过程和演算步骤 ‎17.(本题满分12分)已知二项式 的展开式.‎ ‎(1)求展开式中含项的系数;‎ ‎(2)如果第项和第项的二项式系数相等,求的值.‎ ‎18.(本题满分12分)某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩,分组为[50, 60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示:‎ (1) 试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1);‎ ‎ ‎ ‎(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在 [70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?‎ ‎(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率.‎ ‎ ‎ ‎19.(本题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.‎ ‎(1)求证:AA1⊥平面ABC;‎ ‎(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;‎ ‎(3)求点C到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎20.(本题满分12分)椭圆离心率为,,是椭圆的左、右焦点,以为圆心,为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎ (2)设椭圆的下顶点为,直线与椭圆交于两个不同的点,是否存在实数使得以为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(本题满分12分)已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(3)当 时,若函数 有两个极值点,求 的最大值.‎ ‎22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数, ),以原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线与的直角坐标方程;‎ ‎(2)当与有两个公共点时,求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ 长春市第九教育联盟第一学程高二数学(理科)参考答案 选择题 B 2.A 3.A 4.C 5.A 6.C 7.A 8.C9.A 10.C 11.B 12.C 二、填空题 ‎13.180 14. 15. 16.‎ ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)设第k+1项为Tk+1=————————————2分 令10-k=4,解得k=4,‎ 故展开式中含x4项的系数为3 360. ———————— ————6分 ‎(2)∵第3r项的二项式系数为,第r+2项的二项式系数为,‎ ‎∵ =,故3r-1=r+1或3r-1+r+1=10,‎ 解得r=1或r=2.5(不合题意,舍去),∴r=1. ———————— ——12分 ‎18.解:(1)由频率分布直方图得:众数为:=65.‎ 成绩在[50,70)内的频率为:(0.005+0.035)×10=0.4,‎ 成绩在[70,80)内的频率为:0.03×10=0.3,‎ ‎∴中位数为:70+×10≈73.3.——————————————————4分 ‎(2)成绩为[70,80)、[80,90)、[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,‎ ‎∴[70,80)、[80,90)、[90,100]这三组抽取的人数分别为3人,2人,1人.‎ ‎————————————————8分 ‎(3)由(2)知抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种,‎ 记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q,‎ 则事件Q包含的基本事件有18种,‎ ‎∴成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率 P(Q)=. ———————————————————————12分 解:(1)因为为正方形,所以.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且平面ABC平面AA1C1C ,‎ 所以⊥平面ABC. ——————————————————————4分 ‎(2)由(1)知, ⊥AC, ⊥AB.‎ 由题意知,所以.‎ 如图,以A为原点建立空间直角坐标系,‎ 则.‎ 设平面的法向量为,则即 令,则,所以.‎ 同理可得,平面的法向量为.‎ 所以.‎ 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. ————8分 ‎ ‎ ‎(3)由(2)知平面的法向量为, ‎ 所以点C到平面距离. ————————————12分 解:(1)由题意可得, ‎ 解得, 所以, ‎ 所以椭圆的方程为;———————— ———————— ——4分 ‎ ‎(2)由题意知,‎ 联立方程,整理得 , ‎ ‎(化简可得),①‎ 设,则,‎ ‎, ———— —— ——6分 ‎ 设中点为,由,‎ 知,‎ 所以点的坐标为, ‎ 因为,所以,‎ 又直线斜率均存在,所以.—— ————————8分 于是 , ‎ ‎ 解得,即, —————————— —— ———— ——10分 ‎ 将代入①,均满足.‎ 故存在,使得以为邻边的平行四边形可以是菱形,值为.————12分 ‎ 解:(1)由已知得, ‎ 当时,,在内单调递减.—————————————1分 当时,若,有,若,有,则在上内单调递增,在内单调递减. —— ——3分 ‎ ‎(2)令,由 当时,,在内单调递减,则有 ,符合题意. ‎ 当时,,得,当,有,若,有,则在上内单调递增,在内单调递减.又,‎ 因此,即 ;‎ 综上实数的取值范围为. —————————————————7分 ‎(3),则,‎ 由已知,可得,即方程有2个不相等的实数根,‎ 则, 解得 ,其中,‎ 而 ‎ ——————9分 由可得,又,所以, ‎ 设, ‎ ‎,由,则,故 所以在单调递增, ‎ 当时,取得最大值,最大值为. —— ——————12分 ‎22.解:(1)∵曲线的参数方程为(为参数, ),‎ ‎∴曲线的普通方程为: (, ),‎ ‎∵曲线的极坐标方程为,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为. —— ————5分 ‎(2)∵曲线的普通方程为: (, )为半圆弧,由曲线于有两个公共点,则当与相切时,得,整理得,∴或(舍去),‎ 当过点时, ,所以t=-1.‎ ‎∴当与有两个公共点时, . ——————10分 ‎ ‎ ‎ ‎
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