天津市静海区第一中学2020届高三3月学生学业能力调研考试数学试题

天津市静海区第一中学2020届高三3月学生学业能力调研考试数学试题

天津市静海区第一中学2020届 高三3月学生学业能力调研考试试题 知 识 与 技 能 学习能力（学法）‎ 内容 函数与导数 三角函数与解三角形 数列 集合与简易逻辑 易混易错 方法归类 一题多变 分数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ 第Ⅰ卷 基础题（共130分）‎ 一、选择题: （每小题6分，共42分,每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的部分图像大致为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎6．将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若函数，有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题6分共42分）‎ ‎8．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为______‎ ‎9．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)‎ ‎10．过点作直线，与圆交于两点, 若，则直线的方程为______________.‎ ‎11．若实数满足，且，则的最大值为______.‎ ‎12．三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________‎ ‎13．已知四边形中，，，为中点且，则______‎ ‎14．已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为___________.‎ 三、解答题（46分）‎ ‎15．（13分）在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.‎ ‎16．（16分）如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影在棱上，，，，为的中点。（1）求证： （2）求二面角的余弦值；（3）已知是平面内一点，点为中点，且平面，求线段的长 ‎17．（17分）已知数列满足.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，求数列的前项和.‎ 第Ⅱ卷 提高题（共20分）‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.‎ 参考答案 ‎1．B2．A3．A4．B5．B6．C7．C ‎8．09．10．‎ ‎11．12．‎ ‎13.已知四边形中，，，为中点且，则 ‎14．‎ ‎15．（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解析：（Ⅰ）解：由，及，得........................................................................................2分 由，及余弦定理，得................................................................................5分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.............................................................................7分 由（Ⅰ）知，A为钝角，................................................................................8分 所以.于是，................................................................................10分 ‎，................................................................................11分 ‎.................................................13分 ‎16．（Ⅰ）见解析；‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵顶点在底面上的射影在棱上，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∵，∴，................................................................................2分 ‎∵平面平面，∴平面，面，∴，‎ 由，，得，∴，‎ ‎∵，∴平面．.............................................................................2分 ‎（Ⅱ）连结，分别以、、为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，................................................................................5分 ‎，，，，，，‎ ‎，，，................................................................................6分 设为平面的一个法向量，则，‎ 取，得，................................................................................9分 ‎，，‎ 设平面的法向量，则，‎ 取，则，................................................................................11分 设二面角的平面角为，则．...............................................................................12分 ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）设，，‎ 因为平面，所以.............................................................14分 所以，，所以．..........................................................................16分 ‎17．（1）（2）（3）‎ 解析：（1）由得，得；................................................................................3分 ‎（2）易得，................................................................................4分 ‎ ..........................5分 错位相减得.................................7分 所以其前项和；..................................................9分 ‎（3）‎ ‎，........ 11分 ‎ 或写成.........................................17分 ‎18(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.‎ 解析：‎ ‎（1）由得.................................2分 由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，.................................................4分 即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，‎ 所以实数a的取值范围.................................................................................6分 ‎（2）由可得 当时， ，所以函数的增区间为；........................8分 当时，若， ，若， ，‎ 所以此时函数的增区间为，减区间为..........................10分 ‎（3）由及题设得，................................................................................12分 由可得，由（2）可知函数在上递增，‎ 所以，取，显然，.................................................................14分 ‎，................................................................................16分 所以存在满足，即存在满足，................................................................................17分 所以， 在区间（1，+∞）上的情况如下：‎ ‎ ‎ ‎ － 0 +‎ ‎ ↘ 极小 ↗‎ 所以当-1

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