2018届高三数学一轮复习： 第8章 第2节 课时分层训练46
课时分层训练(四十六)
两条直线的位置关系
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B.－7
C.3 D.1
C [因为线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]
2．(2016·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1 B.2
C. D.2
C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为＝＝.]
3．(2017·山西长治模拟)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为( )
A. B.－
C.2 D.－
A [依题设，直线l的斜率k＝2，
∴tan α＝2，且α∈[0，π)，
则sin α＝，cos α＝，
则cos＝cos＝sin 2α
＝2sin αcos α＝.]
4．(2017·合肥模拟)当0
0，
即x<0，y>0，从而两直线的交点在第二象限．]
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )
【导学号：01772290】
A．(0,4) B.(0,2)
C．(－2,4) D.(4，－2)
B [直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．]
二、填空题
6．(2017·深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．
【导学号：01772291】
(0,3) [因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2.
又直线l2过点(－1,1)，
所以l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3.
令x＝0，得y＝3，
所以P点坐标为(0,3)．]
7．l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l1与l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
x＋2y－3＝0 [当AB⊥l1时，两直线l1与l2间的距离最大，由kAB＝＝2，知l1的斜率k＝－，
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.]
8．(2017·石家庄模拟)已知b>0，直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，则ab的最小值等于________．
2 [由题意知b2＋1－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，
又b>0，则ab＝b＋≥2(当且仅当b＝1时等号成立)，
∴ab的最小值为2.]
三、解答题
9．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【导学号：01772292】
[解] 由方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2).5分
∵l3的斜率为，∴l的斜率为－，8分
则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.12分
10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得2分
∴直线l恒过定点(－2,3).5分
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.7分
又直线PA的斜率kPA＝＝，
∴直线l的斜率kl＝－5.10分
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
D [∵切线平行于直线2x＋y＋1＝0.
设切线方程为2x＋y＋c＝0.
依题意，得＝，则c＝±5.]
2．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为________．
10 [由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，
∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上．
∵|PQ|＝＝，
∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.]
3．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
[解] (1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.
∵点A(5,0)到l的距离为3，
∴＝3，3分
则2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝，
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. 5分
(2)由
解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，10分
∴dmax＝PA＝＝. 12分
