2018-2019学年天津市耀华中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年天津市耀华中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年天津市耀华中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设，其中是实数，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据复数相等的充要条件，求得，再由复数模的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，复数满足，可得，解得，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数相等的充要条件，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数相等的充要条件和复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：‎ 要使复数对应的点在第四象限,应满足，解得，故选A.‎ ‎【考点】 复数的几何意义 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．‎ 复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．‎ 复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量.‎ ‎3．已知，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出，令，求出后，导函数即可确定，再求．‎ ‎【详解】‎ ‎，令，得，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出是关键步骤．‎ ‎4．已知，等于（ ）‎ A．1 B．-1 C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据导数概念，得到，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎5．函数，则（　　）‎ A．为函数的极大值点 B．为函数的极小值点 C．为函数的极大值点 D．为函数的极小值点 ‎【答案】A ‎【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点．‎ ‎6．函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对函数求导可得，根据导数的几何意义，，即 ‎==()·)=+5≥2+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件 ‎7．若函数在上是单调函数，则a的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，‎ 因为在上是单调函数，‎ 所以或在上恒成立，‎ 当时，则在上恒成立，‎ 即，‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 当时，取到最大值为0，‎ 所以；‎ 当时，则在上恒成立，‎ 即，‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 当时，取到最小值为，‎ 所以，‎ 综上可得，或，‎ 所以数a的取值范围是．‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8．设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求导后通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，求出倾斜角的取值范围 ‎【详解】‎ 或 则角的取值范围为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义，求导后解得直线的倾斜角与斜率，属于基础题。‎ ‎9．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将函数在区间内存在单调递增区间，转化为在区间上有解，再转化为，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在区间内存在单调递增区间，‎ 所以在区间上成立，‎ 即在区间上有解，‎ 因此，只需，解得.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查由导数在某区间内的单调性求参数的问题，只需对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎10．用数学归纳法证明：“”.从“到”左端需增乘的代数式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别写出当和当时，左端的式子，两式相除即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，左端；‎ 当时，左端，‎ 所以左端增乘的代数式.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查数学归纳法，会分析式子的增量即可，属于常考题型.‎ ‎11．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（ ）‎ A．144 B．192 C．216 D．240‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；‎ 当个位数字是0时，共有种可能；‎ 当个位数字是5时，共有种情况；‎ 因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.‎ ‎12．已知函数，则的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，排除B选项.由于，，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．复数（为虚数单位）的共轭复数是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由复数的除法运算化简，再根据共轭复数的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，其共轭复数为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法运算，以及共轭复数，熟记除法运算法则，与共轭复数的概念，即可求解，属于常考题型.‎ ‎14．若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.‎ 详解：因为，则，则的实部为.‎ 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.‎ ‎15．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 选择两门理科学科，一门文科学科，有种；选择三门理科学科，有1种，‎ 故共有10种．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎16．定义在上的函数满足，，则不等式 的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，设，则.故函数在上单调递增，又，故的解集为，即的解集为.‎ 点睛：由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中只需构造函数，求导得到单调性，进而将不等式转化为求解即可.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再按导函数零点讨论：若，无零点，单调；若，一个零点，先减后增；若，一个零点，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若，满足；若，最小值为，即；若，最小值为，即，综合可得的取值范围为.‎ 试题解析：（1）函数的定义域为，，‎ ‎①若，则，在单调递增. ‎ ‎②若，则由得. ‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. ‎ ‎③若，则由得.‎ 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增. ‎ ‎（2）①若，则，所以. ‎ ‎②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为 ‎.从而当且仅当，即时，. ‎ ‎③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎18．己知函数的图象在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)用表示出；‎ ‎(Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)证明: ．‎ ‎【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）；（III）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）通过函数的导数，利用导数数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出即可；（2）利用，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；（3）由（1）可知时，在上恒成立，则当时，在上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．‎ 试题解析：（1），则有，解得，‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 令，‎ 则，‎ ‎①当时，，‎ 若，则是减函数，所以，‎ 即，故在上不恒成立．‎ ‎②当时，．‎ 若，则是增函数，所以，‎ 即，故当时，．‎ 综上所述，所求的取值范围为．‎ ‎（3）解法一：由（2）知：当时，有，‎ 令，有，且当时，．‎ 令，有，‎ 即．‎ 将上述个不等式依次相加得，‎ 整理得．‎ 解法二：用数学归纳法证明．‎ ‎（1）当时，左边=1，右边=，不等式成立．‎ ‎（2）假设时，不等式成立，就是、‎ ‎．‎ 那么．‎ 由（2）知：当时，有，‎ 令，有．‎ 令，得：，‎ ‎∴，∴．‎ 这就是说，当时，不等式也成立．‎ 根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立．‎ ‎【考点】函数的恒成立；利用导数在闭区间上函数的最值；领用导数研究曲线上某点切线方程；数学归纳法及数列求和．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数与导数的关系、曲线切线方程的求解、函数恒成立问题的应用、同时涉及到累加法与裂项法的应用、数学归纳法的应用等知识，知识综合能力较强，方法多样、思维量与运算大，属于难题，需要仔细审题、认真解答，同时着重考查了转化与化归思想及分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用 ‎，构造函数，问题可转化为在上恒成立，利用导数求出函数上最小值大于，即可求出的取值范围；第三问中可对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证的结论；或利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．‎