高中数学必修2同步练习：空间中直线与直线之间的位置关系

高中数学必修2同步练习：空间中直线与直线之间的位置关系

必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、选择题 ‎1、如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是(　　)‎ A．MN≥(AC＋BD)‎ B．MN≤(AC＋BD)‎ C．MN＝(AC＋BD)‎ D．MN<(AC＋BD)‎ ‎2、给出下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行；‎ ‎②平行于同一直线的两直线平行；‎ ‎③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；‎ ‎④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．‎ 其中假命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎3、空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)‎ A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ‎4、分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)‎ A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面 ‎5、若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)‎ A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 ‎6、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)‎ A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有可能 二、填空题 ‎7、如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．‎ ‎8、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎①AB⊥EF；‎ ‎②AB与CM所成的角为60°；‎ ‎③EF与MN是异面直线；‎ ‎④MN∥CD．‎ 以上结论中正确结论的序号为________．‎ ‎9、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：‎ ‎(1)BC′与CD′所成的角为________；‎ ‎(2)AD与BC′所成的角为________．‎ ‎10、空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．‎ 三、解答题 ‎11、正方体AC1中，E、F分别是面A1B‎1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是(　　)‎ A．60° B．45° C．30° D．90°‎ ‎12、已知棱长为a的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．‎ 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；‎ ‎(2)∠DNM＝∠D‎1A1C1．‎ ‎13、空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D ‎　[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝AC，‎ NE＝BD，‎ 所以ME＋NE＝(AC＋BD)．‎ 在△MNE中，有ME＋NE>MN，‎ 所以MN<(AC＋BD)．]‎ ‎2、B　[①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．‎ ‎④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；‎ 当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．‎ ‎]‎ ‎3、B　[‎ 易证四边形EFGH为平行四边形．‎ 又∵E，F分别为AB，BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，‎ 又FG∥BD，‎ ‎∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．‎ 而AC与BD所成的角为90°，‎ ‎∴∠EFG＝90°，‎ 故四边形EFGH为矩形．]‎ ‎4、D ‎5、D　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．]‎ ‎6、D 二、填空题 ‎7、②④‎ 解析　①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，‎ ‎∴HG、MN必相交．‎ ‎8、①③‎ 解析　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．‎ ‎9、(1)60°　(2)45°‎ 解析　‎ 连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．‎ 由△A′BC′为正三角形，‎ 知∠A′BC′＝60°，‎ 由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．‎ 易知∠C′BC＝45°．‎ ‎10、60°或120°‎ 三、解答题 ‎11、B　[‎ 连接B1D1，则E为B1D1中点，‎ 连接AB1，EF∥AB1，‎ 又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°．]‎ ‎12、证明　(1)如图，连接AC，‎ 在△ACD中，‎ ‎∵M、N分别是CD、AD的中点，‎ ‎∴MN是三角形的中位线，‎ ‎∴MN∥AC，MN＝AC．‎ 由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．‎ ‎∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，‎ ‎∴四边形MNA1C1是梯形．‎ ‎(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，‎ ‎∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．‎ 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，‎ ‎∴∠DNM＝∠D1A1C1．‎ ‎13、解　取AC的中点G，‎ 连接EG、FG，‎ 则EG∥AB，GF∥CD，‎ 且由AB＝CD知EG＝FG，‎ ‎∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．‎ ‎∵AB与CD所成的角为30°，‎ ‎∴∠EGF＝30°或150°．‎ 由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；‎ 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．‎ 故EF与AB所成的角为15°或75°．‎