浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题5平面向量+第36练平面向量的应用

浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题5平面向量+第36练平面向量的应用

第36练 平面向量的应用 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·杭州模拟)已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为(　　)‎ A.－1B.－2C.－D.－ ‎2.点P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　)‎ A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 ‎3.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值是(　　)‎ A.1B.2C.D. ‎4.(2019·嘉兴模拟)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点D，E分别在边BC和AC上，且＝，＝λ，若·＝－，则实数λ的值为(　　)‎ A.B.C.D. ‎5.若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝|a－b|，则|ta＋(1－t)b|(t∈R)的最小值为(　　)‎ A.B.C.D. ‎6.(2019·温州模拟)在矩形ABCD中，AB＝3AD＝3，E为CD上一点，AE交BD于点F，若·＝0，则·等于(　　)‎ A.B.C.D. ‎7.设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则O为△ABC的(　　)‎ A.内心B.外心C.重心D.垂心 ‎8.(2019·台州模拟)如图，等腰梯形ABCD的高为1，DC＝2，AB＝4，E，F 分别为两腰上的点，且·＝－8，则·的值为(　　)‎ A.－10B.－8C.－6D.－4‎ ‎9.(2019·金华一中模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC.若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y的值为________.‎ ‎10.在△ABC中，D为边BC的中点，动点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则s＝λ·μ的最大值为________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.设点G为△ABC的重心，·＝0，且||＝，则△ABC面积的最大值是(　　)‎ A.2B.C.D.1‎ ‎2.(2019·宁波“十校”联考)记max{a，b}＝在△AOB中，∠AOB＝90°，P为斜边AB上一动点.设M＝max{·，·}，则当M取最小值时，等于(　　)‎ A.B.C.2D.3‎ ‎3.△ABC中，已知·＝0，且·＝－，则△ABC是(　　)‎ A.三边互不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 ‎4.(2019·学军中学模拟)已知动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，且满足＝，若M是线段AB的中点，则·的值为(　　)‎ A.3B.2C.2D.－3‎ ‎5.如图直角梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AB∥CD，AD⊥AB.点P 是直角梯形区域内任意一点，·≤0.点P所在区域的面积是________.‎ ‎6.(2019·嵊州模拟)已知扇环如图所示，∠AOB＝120°，OA＝2，OA′＝，P是扇环边界上一动点，且满足＝x＋y，则2x＋y的取值范围为______________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1.D　2.B　3.C　4.C　5.B　6.B　7.B　8.D　9.－1　10. 能力提升练 ‎1.B　[由·＝0，可得BG⊥CG，‎ 取BC的中点D，则GD＝，GA＝，‎ 设GC＝2x，GB＝2y，所以三角形的面积为 S＝2x·2y·＋2x··sin∠CGA·＋2y··sin∠BGA·，且∠CGA＋∠BGA＝270°，‎ 所以S＝2xy＋x·sin∠CGA－y·cos∠CGA ‎＝2xy＋sin(∠CGA＋φ).‎ 而BG⊥CG，故直角三角形BCG中4x2＋4y2＝2，即x2＋y2＝，‎ 所以S＝2xy＋sin(∠CGA＋φ)‎ 又x2＋y2＝≥2xy，‎ 所以S＝2xy＋sin(∠CGA＋φ)≤＋1＝，故选B.]‎ ‎2.C　[M取最小值时，·＝·，即·＝0，亦即OP⊥AB.根据直角三角形的射影定理，可得＝＝2＝2，故选C.]‎ ‎3.C　[∵·＝0，，分别为单位向量，‎ ‎∴∠A的角平分线与BC垂直，∴AB＝AC，‎ ‎∵cosB＝＝－·＝，∴B＝，‎ ‎∴三角形为等腰直角三角形.故选C.]‎ ‎4.A　[方法一　动直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接OA，OB.因为|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形，于是不妨设动直线l为y＝(x＋2)，如图所示，根据题意可得B(－2,0)，A(－1，)，‎ 因为M是线段AB的中点，‎ 所以M.设C(x，y)，‎ 因为＝，‎ 所以(－2－x，－y)＝(－1－x，－y)，‎ 所以 解得 所以C，所以·＝·＝＋＝3.故选A.‎ 方法二　连接OA，OB，因为直线l与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，且|AB|＝2，所以△AOB为等边三角形.‎ 因为＝，所以＝＋＝＋＝＋－＝－，又M为AB的中点，所以＝＋，且与的夹角为60°，则·＝·＝2－2＋||||cos60°＝×4－×4＋×2×2×＝3，故选A.]‎ ‎5.＋ 解析　如图所示，△ABE中，AB＝2，∠ABE＝60°，∠BAE＝90°，D，C分别为边AE，BE的中点，则梯形ABCD即为满足题意的图形，以AB为直径的圆G及其内部的点满足·≤0，则图中的阴影部分为满足题意的点P所在区域.‎ 其中△BFG为边长为1的等边三角形，其面积S1＝×1×1×sin 60°＝，扇形AGF是半径为1，圆心角为120°的扇形，其面积为S2＝×(π×12)＝，综上可得点P所在区域的面积是S ‎1＋S2＝＋.‎ ‎6. 解析　以O为坐标原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，易知A(2,0)，B(－1，)，‎ ‎(1)当点P在AA′上运动时，向量与共线，显然y＝0，此时＝x＝(2x,0)，≤2x≤2，所以≤2x＋y≤2；‎ ‎(2)当点P在BB′上运动时，向量与共线，显然x＝0，此时＝y＝(－y，y)，－2cos60°≤－y≤－cos60°，‎ 即≤y≤1，所以≤2x＋y≤1；‎ ‎(3)当点P在上运动时，设P(2cosα，2sinα)，α∈，由＝x＋y，‎ 得(2cosα，2sinα)＝x(2,0)＋y(－1，)，即2cosα＝2x－y,2sinα＝y，可得2x＋y＝sinα＋2cosα，变形可得2x＋y＝sin(α＋φ)，其中tanφ＝，因为P是扇环边界上一动点，且满足＝x＋y，所以x，y均为非负实数，φ∈(k∈Z)，因为α∈，φ∈，所以当α＋φ＝时，2x＋y取得最大值，2x＋y的最大值为，由α＋φ∈，所以当α＝时，2x＋y取得最小值，2x＋y的最小值为1；‎ ‎(4)同理可得当点P在上运动时，因为＝＝，故2x＋y的最大值为×＝，最小值为×1＝.综上所述，2x＋y∈.‎