数学（理）卷·2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学（理）卷·2019届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试（2018-01）

牡一中2016级高二学年上学期期末考试 数学（理） 试 题 第Ⅰ卷（选择题） ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）‎ ‎1、两个整数和的最大公约数是（ ）‎ A. 53 B. 43 C.51 D. 67 ‎ ‎2、要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　)‎ A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6‎ B. 统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分 C. 播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒 D. 检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70% ‎ ‎4、 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5、执行如右图的程序框图，那么输出的值是（ ）‎ A. 54 B. 56 C. 90 D. 180‎ ‎6、某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ）‎ A. 5种 B. 6种 C. 63种 D. 64种 ‎ ‎7、随机调查某校个学生在学校的午餐费，结果如下表：‎ 餐费（元）‎ 人数 这个学生的午餐费的平均值和方差分别是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎8、一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为 A. 4种 B. 12种 C. 24种 D. 120种 ‎9、把十进制的23化成二进制数是　(　　)‎ A. 00 110(2) B. 10 111(2) C. 10 111(2) D. 11 101(2) ‎ ‎10、某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：‎ 收入（亿元）‎ 支出（亿元）‎ ‎.‎ 根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2018年该公司收入为亿元时的支出为 （ ）‎ A.亿元 B.亿元 C. 亿元 D. 亿元 ‎11、右图所示，为某次考试三个评阅人对同一道题的 独立评分， 为该题的最终得分，当，，时，‎ 等于（ ） ‎ ‎ A. 11 B. 10 C. 7 D. 8 ‎ ‎12、甲、乙两枚骰子先后各抛一次，分别表示抛掷甲、乙 两枚骰子所出现的点数，当点落在直线 ‎(为常数)上的概率最大时，则的值为 (　　)‎ A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13、某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为____.‎ ‎①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标 ‎②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%‎ ‎14、在数轴上0和4之间任取一个实数，则使“”的概率为__________.‎ ‎15、张明与张华两人做游戏，下列游戏中不公平的是____.‎ ‎①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则张华获胜 ‎②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则张华获胜 ‎③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则张华获胜 ‎④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否则张华获胜 ‎16、用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1,3不相邻，数字2,5相邻，则这样的五位数的个数是__________．（用数字作答）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17、(10分)如图，正方形内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色部分的概率。‎ ‎18、（12分）为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：)的数据如下：‎ 甲 ‎27‎ ‎38‎ ‎30‎ ‎37‎ ‎35‎ ‎31‎ 乙 ‎33‎ ‎29‎ ‎38‎ ‎34‎ ‎28‎ ‎36‎ ‎(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息；‎ ‎(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，请从发挥稳定并争取好成绩的角度判断谁参加比赛更合适．‎ ‎19、（12分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值．假如统计结果是，请计算此时的估计值。‎ ‎20、（12分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示. ‎ ‎(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如图)；‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[160,165)‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎[165,170)‎ ‎①‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎[170,175)‎ ‎30‎ ‎②‎ 第4组 ‎[175,180)‎ ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎[180,185]‎ ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.000‎ ‎(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试．‎ ‎(3)在(2)的前提下，学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受考官进行面试，求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率．‎ ‎21、（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.‎ ‎（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.‎ ‎22、（12分）已知抛物线，点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. ‎ ‎(1) 若，且直线的斜率为，求以为直径的圆的方程；‎ ‎(2) 是否存在定点，使得不论直线绕点如何转动，‎ ‎ 恒为定值？‎ 牡一中2016级高二学年上学期期末考试数学（理）答案 选择 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C D C C A C B B D C 填空 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎②‎ ‎②‎ ‎24‎ ‎17、设正方形的边长为，则黑色部分的面积为： ，‎ 结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为： .‎ ‎18、(1)画茎叶图如图，可以看出，甲、乙两人的最大速度都是均匀分布的，只是甲的最大速度的中位数是33，乙的最大速度的中位数是33. 5，因此从中位数看乙的情况比甲好．‎ ‎(2) 甲，乙，‎ 所以他们的最大速度的平均数相同，再看方差， ，则，故乙的最大速度比甲稳定，所以派乙参加比赛更合适 ‎19、由题意，200对都小于1的正实数对，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对满足且，区域面积为，由已知，‎ 解得．‎ ‎20、(1)由题可知，第2组的频数为0. 35×100＝35(人)，第3组的频率为＝0. 300，频率分布直方图如下图．‎ ‎(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为第3组：×6＝3(人)，第4组：×6＝2(人)，第5组：×6＝1(人)，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．‎ ‎(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，‎ ‎(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，‎ ‎(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．‎ 第4组至少有一位同学入选的有：‎ ‎(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(B1，B2)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．共9种可能．所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为＝．‎ ‎21、（1）证明：设中点为，连结，， ‎ 因为，所以.‎ 又，所以. ‎ 所以就是二面角的平面角. ‎ 又由已知，，‎ 所以，. ‎ 又为正三角形，且，‎ 所以. ‎ 因为，所以. ‎ 所以.‎ 所以平面平面 ‎（2）由（1）知，，两两垂直. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易知，，，.‎ 所以，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则 即 令，则，.‎ 所以平面的一个法向量为. ‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 所以. ‎ 由图可知，二面角为锐角.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎22、（1）当m=1时，M(1，0)，此时，点M为抛物线C的焦点，‎ 直线的方程为y=x-1，设，联立，‎ 消去y得， ，∴， ，‎ ‎∴圆心坐标为(3, 2). ‎ 又，∴圆的半径为4，‎ ‎∴圆的方程为. ‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为，则直线的方程与抛物线联立，‎ 消去x得： ，则， ， ‎ ‎ ‎ 对任意恒为定值，‎ 于是m=2，此时. ‎ ‎∴存在定点M(2, 0)，满足题意.‎