2018-2019学年河南省南阳一中高二下学期第一次月考数学（文）试题（Word版）
南阳市一中2019年春期高二年级第一次月考
文数试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理不属于合情推理的是（ ）
A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电
C．两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则
D．在数列中，，，猜想的通项公式
2．四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①与负相关且； ②与负相关；
③与正相关且； ④与正相关.
其中一定不正确的结论的序号是（ ）．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．先后掷一颗质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6）两次，落在水平桌面上后，记正面朝上的点数分别为，记事件为“为偶数”，事件为“中有偶数且”，则概率（ ）
A． B． C． D．
4．下列框图中，可作为流程图的是( )
A．→→
B．→→
C．→→→→→
D．→→
5．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有（ ）
A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab<<1 D．
0 C． f(x1)>0,f(x2)<0 D． f(x1)>0,f(x2)>0
12．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋（ ）
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．在一次活动中，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物在我这儿”，乙说：“礼物不在我这儿”，丙说：“礼物不在乙处”，如果三人中只有一人说的是假话，请问______获得了礼物填“甲”或“乙”或“丙”．
14．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是
。
15．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定，类似上述过程，则_______.
16．在平面几何中，△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比|AE|∶|EB|＝|AC|∶|CB|(如下图①)，把这个结论类比到空间，如图2②，在三棱锥A－BCD中，平面CDE平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，结论是__________________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若，，z是互不相等的实数，且，求证：．
18．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与，且各次投球相互之间没有影响.
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求这二次投球中恰好命中一次的概率.
(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少有一次命中的概率.
19（第一次周测变式）．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
参考数据（x＝145，y＝13 500，xiyi＝1 380.）
(1)求线性回归方程；(2)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
参考公式
20（第一次周测变式）．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高二年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表.
分数段
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
男
3
9
18
15
6
9
女
6
4
5
10
13
2
优分
非优分
合计
男生
女生
合计
100
（1）估计男、女生各自的平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；
（2）规定80分以上者为优分（含80分），请你根据已知条件作出列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.
附：列联表随机变量；
]
21．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图①，②，③，④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求的值．
22（2018秋期期末22题变式）．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.
南阳市一中2019年春期高二年级第一次考试
文数试题答案
1-5 CDACB 6-10BDADB 11-12BC
13、丙 14、(或） 15、3 16、S△ACD∶S△BCD＝AE：BE
17、证明：见课本P61例3
18.解：(1)依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
所以，甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为 .
(2)∵事件甲、乙两人在罚球线各投球二次全不命中的概
率是
∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
19.解(1) ＝＝5，＝＝50，x＝145，y＝13 500，xiyi＝1 380.
于是可得： ＝＝＝6.5；
＝－＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求线性回归方程为： ＝6.5x＋17.5.
(2) 根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时， ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．
20.解（1）男生的平均分为：
女生的平均分为：从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关.
（2） 由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得列联表如下：
优分
非优分
合计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合计
30
70
100
可得，.因为，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”
21、 (1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝，
∴＝1＋·
＝1＋＝－.
22解 (I)，由已知，，∴.
(II)由(I)知，.
设，则，即在上是减函数，
由知，当时，从而，
当时，从而.
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.
(III)由(II)可知，当时，≤0＜1+，故只需证明在时成立.
当时，＞1，且，∴.
设，，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值.
所以.
综上，对任意，.
