2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第16章 选讲内容

2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第16章 选讲内容

第十六章 选讲内容 第1节 极坐标与参数方程（选修4-4）‎ 题型160 极坐标方程化直角坐标方程 ‎1. (2013安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.‎ A. 和 B. 和 ‎ C. 和 D. 和 ‎2.(2013天津理11）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则 ‎ .‎ ‎3. (2013重庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则 .‎ ‎4.（2013湖北理16）‎ 在直角坐标系中，椭圆的参数方程为 ‎ ‎(为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）与．若直线经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎5.（2013福建理21）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．‎ ‎ （1）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎ （2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.‎ ‎6.（2014 重庆理 15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.‎ ‎7.（2014 天津理 13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若 是等边三角形，则的值为___________.‎ ‎8.（2014 陕西理 15）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是 .‎ ‎9.（2014 湖北理 16）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________.‎ ‎10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为 .‎ ‎11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.‎ ‎ （1）求的参数方程； ‎ ‎ （2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.‎ ‎13.（2015陕西理23）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以 原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎(1)写出的直角坐标方程；‎ ‎(2)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ ‎13.解析 （1）由，‎ 从而有.‎ ‎(2) ，‎ 所以当时，取得最小值，此时点的直角坐标为.‎ ‎14.（2015北京理11）在极坐标中，点到直线的距离 为 .‎ ‎14. 解析 极坐标中的点对应直角坐标系中的点为，极坐标方程 对应的直角坐标系方程为，根据点到直线的距离公 式 .‎ ‎15.（2015广东理14）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ‎，则点到直线的距离为 ．‎ ‎15.解析 依题已知直线和点可化为直线 和点，所以点与直线的距离为：‎ ‎．故应填．‎ ‎16.（2015湖北理16）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标 系. 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C相交于AB两点，则 .‎ ‎16．解析 因为，所以，‎ 所以，即；由消去得.联立方程组，‎ 解得或，即，，‎ 故 ‎17.（2015湖南理16（Ⅱ））已知直线（为参数），以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线 的交点为，，求的值.‎ ‎17.解析 2. ()等价于 . ①‎ 将 ，代入①式即得曲线的直角坐标方程是 ‎. ②‎ ‎() 将代入②，得.‎ 设这个方程的两个实根分别为，‎ 则由参数的几何意义即知＝‎ ‎18.（2015江苏21（C））已知圆的极坐标方程为，求圆 的半径．‎ ‎18.解析 由题意得，‎ 所以，即，‎ 从而，即，故圆的半径为．‎ ‎19.（2016北京理11）在极坐标系中，直线圆交于两点， 则 __________.‎ ‎19. 解析 解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是 ‎.可得两点的坐标，即为方程组的解，‎ 用代入法可求得两点的坐标分别为，‎ 所以由两点的距离公式可求得.‎ 解法二：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.‎ 圆心在直线上，因此为圆的直径，所以.‎ ‎20.（2016全国丙卷23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎20. 分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点坐标即可.‎ 解析 （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ ‎21.（2017天津理11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎21.解析 直线化直角坐标方程为，由，得其直角坐标方程为，即，则圆心到直线的距离，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为.‎ ‎22.（2017北京理11）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为___________.‎ ‎22. 解析 由，化为普通方程为，‎ 即，由圆心为，为，则最小值为1.故选D.‎ ‎23.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎23．解析 （1）设，则．‎ 由，解得，化直角坐标方程为.‎ ‎（2）联结，易知为正三角形，为定值．所以当高最大时，的面积最大，如图所示，过圆心作垂线，交于点，交圆于点，此时最大，‎ ‎.‎ 题型161 直角坐标方程化为极坐标方程 ‎1.(2013广东理14）已知曲线的参数方程为(为参数)，在点 处的切线为，以 坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 ．‎ ‎2. (2013安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）.‎ A. 和 B. 和 ‎ C. 和 D. 和 ‎3.（2014 湖南理 11）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于，两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.‎ ‎4.（2014 江西理 11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标方程为（ ）.‎ ‎ A.， B. ，‎ C.， D. ，‎ ‎5.（2015全国Ⅰ理23）在直角坐标系中，直线，‎ 圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标为，设与的交点为，，求的 面积.‎ ‎5.解析 （1）因为，，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为．‎ ‎（2）解法一：的直角坐标系方程为，所以的圆心到直线的距离 ‎，所以，所以．‎ 解法二：将代入，得，‎ 解得，，所以，即．由于的半径为1，‎ 所以的面积为．‎ ‎6.（2016全国甲理23）在直角坐标系中，圆的方程为.‎ ‎（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，，求的斜率.‎ ‎6.解析（1）整理圆的方程得，‎ 由可知圆的极坐标方程为．‎ ‎（2）解法一：将直线的参数方程代入圆:化简得，，设两点处的参数分别为，则，所以，‎ 解得，的斜率.‎ 解法二：设，其中，如图所示，圆心到到的距离，‎ 故.‎ 题型162 参数方程化普通方程 ‎1. (2013重庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则 .‎ ‎2. (2013湖南理9） 在平面直角坐标系中，若过椭圆，（ 为参数）的右顶点，则常数 .‎ ‎3.（2013湖北理16）‎ 在直角坐标系中，椭圆的参数方程为 ‎ ‎(为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）与．若直线 经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎4.(2013福建理21）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上．‎ ‎ （1）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎ （2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.‎ ‎5.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎ （1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎ （2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎6.（2014 江苏理 21）[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），直线与抛物线相交于，两点，求线段的长．‎ ‎7.（2014 福建理 21）B.（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.‎ ‎ （1）求直线和圆的普通方程；‎ ‎ （2）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎8.（2014 重庆理 15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.‎ ‎9.（2014 湖北理 16）（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________.‎ ‎10.（2014 北京理 3）曲线（为参数）的对称中心（ ）.‎ A.在直线上 B.在直线上 C.在直线上 D.在直线上 ‎11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.（2015重庆理15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极 点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎，则直线与曲线的交点的极坐标为_______.‎ ‎12.解析 由直线的参数方程为参数），‎ 得直线方程为 ①‎ 由，得，‎ 故 ②‎ 联立式①，式②，解得交点坐标为，所以交点的极坐标为．‎ ‎13.（2015全国Ⅱ23）在直角坐标系中，曲线（为参数，），‎ 其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值.‎ ‎13.分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；. ‎ ‎（2）先确定曲线的极坐标方程，进一步求出点的极坐标为，点 的极坐标为，由此可得：‎ ‎．‎ 解析 （1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为：‎ ‎．联立解得或．‎ 所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，其中．‎ 因此得到极坐标为，的极坐标为．‎ 所以，‎ 当时，取得最大值，最大值为．‎ 命题意图 考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，并能求出距离的最值.‎ ‎14.（2015福建理21（2））在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 ‎（为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，‎ 以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．‎ ‎(1)求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆心到直线的距离等于2，求的值．‎ ‎14.分析 本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．‎ 解析 （1）消去参数，得到圆的普通方程为．‎ 由，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得．‎ ‎15.（2016江苏‎21 C）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．‎ ‎15. 解析 解法一（求点）：直线方程化为普通方程为，‎ 椭圆方程化为普通方程为，‎ 联立，解得或，‎ 因此．‎ 解法二（弦长）：直线方程化为普通方程为，‎ 椭圆方程化为普通方程为，不妨设，，‎ 联立得，消得，恒成立，‎ 故，所以．‎ 解法三（几何意义）：椭圆方程化为普通方程为，‎ 直线恒过点，该点在椭圆上，将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，‎ 得，整理得，故，，因此．‎ ‎16.（2017江苏‎21 C）在平面坐标系中，已知直线的参数方程为 （为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．‎ ‎16.解析 直线的普通方程为．‎ 因为点在曲线上，设，‎ 从而点到直线的距离，‎ 当时，．‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值为．‎ ‎17.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.‎ ‎（1）若，求与的交点坐标；‎ ‎（2）若上的点到的距离的最大值为，求.‎ ‎17.解析 （1）当时，直线的方程为，曲线的标准方程为.‎ 联立方程，解得或，则与交点坐标是和.‎ ‎（2）直线一般式方程为，设曲线上点．‎ 则点到的距离，其中．‎ 依题意得，解得或. ‎ ‎18.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．‎ ‎（1）写出的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．‎ ‎18．解析 ⑴将参数方程转化为一般方程 ①‎ ‎ ②‎ ‎，消可得，即点的轨迹方程为.‎ ⑵将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得.‎ 由，解得，即的极半径是．‎ 题型163 普通方程化参数方程——暂无 ‎1. (2013陕西理‎15C）‎ C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆 的参数方程为 . ‎ ‎ ‎ ‎2. (2013全国新课标卷理23）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与 （），为的中点.‎ ‎（1）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎3. (2013辽宁理23）选修4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.‎ ‎（1）求与交点的极坐标； ‎ ‎（2）设为的圆心，为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为（为参数），求的值.‎ ‎4.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎ （1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎ （2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎5.（2014 辽宁理 23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.‎ ‎ （1）写出的参数方程；‎ ‎ （2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ 题型164 参数方程与极坐标方程的互化 ‎1.（2013江西理15）‎ ‎(1)（坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 ．‎ ‎2.（2016全国乙理23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.‎ ‎2.解析 （1）将化为直角坐标方程为，从而可知其表示圆．‎ 令，，代入得极坐标方程．‎ ‎（2）将，化为直角坐标方程为，．‎ 两式相减可得它们的公共弦所在直线为.‎ 又公共点都在上，故的方程即为公共弦.‎ 又为，，即为，从而可知．‎ 第2节 不等式选讲（选修4-5）‎ 题型165 含绝对值的不等式 ‎1.（2013江西理15）‎ ‎(2)（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为 ．‎ ‎2.(2013福建理21）‎ ‎ 设不等式的解集为，且.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求函数的最小值.‎ ‎3.（2014 重庆理 16）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.‎ ‎4.（2014 湖南理 13）若关于的不等式的解集为，则________.‎ ‎5.（2014 江西理 11）（1）（不等式选做题）对任意，的最小值为（ ）.‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.（2014 陕西理 15）（不等式选做题）设，且，则的最小值为 .‎ ‎7.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数.‎ ‎ （1）证明：； ‎ ‎ （2）若，求的取值范围.‎ ‎8.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数，，记的解集为，的解集为.‎ ‎ （1）求；‎ ‎ （2）当时，证明：.‎ ‎9.（2014 福建理 21）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知定义在上的函数的最小值为.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）若为正实数，且，求证：.‎ ‎10.（2015重庆理16）若函数的最小值为5，则实数_______.‎ ‎10.解析 当时，端点值为 ．‎ ‎（1）当时，；‎ ‎（2）当时，；‎ ‎（3）当时，；‎ 如图所示：‎ 由图易知：，解得（舍）或，所以．‎ 当 时，端点值为 .‎ ‎（1）当时，；‎ ‎（2）当时，；‎ ‎（3）当 时，；‎ 如图所示：‎ 由图易知： ，解得（舍）或，即.‎ 当时，，，与题意不符，舍.‎ 综上所述：或.‎ ‎11.（2015陕西理24）已知关于的不等式的解集为．‎ ‎(1)求实数，的值；‎ ‎(2)求的最大值．‎ ‎11.解析 （1）由 所以解得.‎ ‎（2），‎ 所以，即的最大值为4，当时取等号.‎ ‎12.（2015山东理5） 不等式的解集是( ) ．‎ A. 　　 B． 　　 C． D．‎ ‎12.解析 令，则，‎ 所以原不等式同解于如下三个不等式组的解集的并集：‎ ① ‎；②③，‎ 解①得：，解②得：；解③得：．‎ 综上所述，原不等式的解集为．故选A．‎ 评注 本题也可数形结合，而快捷的方法则是取特殊值验证．‎ ‎13.（2015全国Ⅰ24）已知函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.‎ ‎13.解析 （1）当时，，即．‎ 当时，不等式化为，无解；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，解得．‎ 综上所述，当时，的解集为．‎ ‎（2），，‎ 如图所示，函数的图像与轴所围成三角形的三 个顶点为，，，‎ ‎，即，解得，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎14. ( 2015福建理21（3）) 已知，，，函数 的最小值为4．‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的最小值．‎ ‎14.分析 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，‎ 考查化归与转化思想．‎ 解析 （1）因为，‎ 当且仅当时，等号成立．又，，所以，‎ 所以的最小值为．又已知的最小值为4，所以．‎ 当时，化简得，解得，故；‎ 当时，化简得，解得，故．‎ 故不等式的解集为.‎ ‎15.(2015江苏21（D）) 解不等式． ‎ ‎15. 解析 当时，化简得，解得，故；‎ 当时，化简得，解得，故．‎ 故不等式的解集为．‎ ‎16.（2016上海理1）设，则不等式的解集为 ．‎ ‎16. 解析 由题意，即，则解集为．故填．‎ ‎17.（2016全国甲理24（1））已知函数，为不等式的解集.求；‎ ‎17. 解析 （1）当时，，所以；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，所以．综上可得，．‎ ‎18.（2016全国乙理24）已知函数.‎ ‎（1）在如图所示的图形中，画出的图像；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎18. 解析 由题意得．其图像如图所示.‎ ‎（2）当时，，解得或，故；‎ 当时，，解得或，故或；‎ 当时，，解得或，故或．‎ 综上所述，该不等式的解集为．‎ 评注 或者可以由图形观察大致结果，但不能替代解题过程．‎ ‎19.（2016全国丙卷24）已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数当时，，求的取值范围.‎ ‎19. 解析 （1）当时，.解不等式，得.‎ 因此， 的解集为. ‎ ‎（2）当时，得，‎ 所以当时，等价于. ①‎ 当时，①等价于，无解；‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎20.（2017全国1卷理科23）已知函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.‎ ‎20.解析 （1）当时，为开口向下，对称轴为的二次函数，‎ ‎，‎ 当时，令，即，解得.‎ 当时，令，即，解得．‎ 当时，令，即，解得．‎ 综上所述，的解集为．‎ ‎（2）依题意得在上恒成立，即在恒成立，‎ 则只需，解得．‎ 故取值范围是．‎ ‎21.（2017全国3卷理科23）已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎21．解析 （1）可等价为.‎ 由，可得①当时显然不满足题意；‎ ② 当时，，解得；‎ ③ 当时，恒成立.综上，的解集为.‎ ⑵不等式等价于，‎ 令，则的解集非空只需要.‎ 而.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，；‎ ② 当时，.‎ 综上所述，，故.‎ 题型166 不等式的证明 ‎1. (2013全国新课标卷理22）选修4——5；不等式选讲 设均为正数，且，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎2.（2014 新课标1理24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 ‎ 若，，且.‎ ‎ （1）求的最小值；‎ ‎ （2）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎3.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设函数，，记的解集为，的解集为.‎ ‎ （1）求；‎ ‎ （2）当时，证明：.‎ ‎4.（2014江苏理）D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知，，证明：．‎ ‎5.（2014 福建理 21）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知定义在上的函数的最小值为.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎（2）若为正实数，且，求证：.‎ ‎6.（2016江苏21 D）设，，，求证：．‎ ‎6. 解析 证明：由可得，故.‎ ‎7.（2016全国甲理24）已知函数，为不等式的解集.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎7.解析 （1）当时，，所以；‎ 当时，恒成立；‎ 当时，，所以．‎ 综上可得，．‎ ‎（2）当时，有，即， 则，‎ 则，即.‎ ‎8.（2016浙江理8）已知实数（ ）.‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎8. D 解析 举反例排除法:对于选项A，可以令，例如令，‎ 则，但是，所以选项A不正确；‎ 对于选项B，可以令，例如令，则，‎ 但是，所以选项B不正确；对于选项C，可以令，例如令，则，但是，所以选项C不正确.故选D.‎ ‎9.（2016全国丙理21）设函数，其中，记 的最大值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）证明 ‎9. 解析 (1).‎ ‎（2）当时，.‎ 因此.当时，将变形为.‎ 令，则是在上的最大值，，‎ ‎，且当时，取得极小值，极小值为.‎ 令，解得且，所以.‎ ‎（i）当时，在内无极值点，，，，所以.（ii）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图像.‎ 由图，我们得到如下结论当时，.‎ 综上，.‎ ‎（3）由（1）得.‎ 当时，；‎ 当时，，所以；‎ 当时，.所以；‎ 综上所述有.‎ 题型167 函数单调性在证明不等式中的应用 ‎1.（2016全国甲理21（1））讨论函数的单调性，并证明当时， ‎ ‎1. 解析 证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， .‎ 因为，所以.‎ 因为当时，，所以在上单调递增，‎ 所以当时，，所以.‎ 题型168 柯西不等式在证明不等式中的应用——暂无 ‎1.（2017江苏21 D）已知为实数，且，，证明：．‎ ‎1.解析 由柯西不等式可得，‎ 因为，，所以，因此．‎ ‎2.（2107全国2卷理科23）已知，，，求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎2．解析 （1）由柯西不等式得，‎ 当且仅当，即时取等号．‎ ‎（2）因为，所以，即，当且仅当时等号成立．‎