2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题3 第11讲 等差数列与等比数列

2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题3 第11讲 等差数列与等比数列

专题3　数　列 第11讲　等差数列与等比数列 题型一| 数列的概念及其表示 ‎　(1)(2016·无锡期末)对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则an＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn.若Sn＋1＝2Sn＋1，则an＝________.‎ ‎[解题指导]　(1)bn＋1－bn＝1求bn求an ‎(2)Sn＋1＝2Sn＋1求Sn求an ‎(1)　(2)　‎ ‎[(1)∵a3＝1，a4＝－1，∴b3＝a4－a3＝－2.‎ 又bn＋1－bn＝1，∴{bn}是等差数列，‎ ‎∴bn＝b3＋(n－3)×1＝－2＋(n－3)×1＝n－5.‎ ‎∴an＋1－an＝n－5.‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a4－a3)＋a3‎ ‎＝(n－6)＋(n－7)＋…＋(－2)＋1‎ ‎＝＋1‎ ‎＝.‎ ‎(2)依题意得Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因此数列{Sn＋1}是以S1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列，Sn＋1＝3×2n－1，Sn＝3×2n－1－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·2n－2，又a1＝2，因此an＝]‎ ‎【名师点评】　1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝ ‎2．在形如“an＋1＝pan＋q”的数列中，通常用构造法求解，构造时可先设(an＋1＋x)＝p(an＋x)，再由等量关系求得x，实现构造．‎ ‎3．在形如“＝f(n)”的数列中，通常用累积法求an，即an＝··…··a1.‎ ‎4．在形如“an＋1－an＝f(n)”的数列中，通常用累加法求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.‎ ‎1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________.‎ ‎2n－1　[由Sn＝2an－n①，得Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2)②，①－②，得an＝2an－2an－1－1(n≥2)，‎ 即an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)，‎ ‎∴＝2，‎ 又a1＝1，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.]‎ ‎2．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足＝1(n≥2)．则an＝________.‎ 　[由已知，当n≥2时，‎ ＝1，‎ 所以＝1，‎ 即＝1，‎ 所以－＝.‎ 又S1＝a1＝1，‎ 所以数列是首项为1，公差为的等差数列，‎ 所以＝1＋(n－1)＝，‎ 即Sn＝.‎ 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－ ‎＝－.‎ 因此an＝]‎ 题型二| 等差、等比数列的基本运算 ‎　(1)(2014·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．‎ ‎(2)如图11－1，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.‎ 图11－1‎ ‎(3)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，则Sk＋2的值为________．‎ ‎(1)4　(2)　(3)129　[(1)因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.‎ ‎(2)根据题意易知a1＝2，a2＝，a3＝1，‎ 所以{an}构成以a1＝2为首项，以q＝为公比的等比数列，‎ 所以a7＝a1q6＝2×6＝.‎ ‎(3)设公比为q，由2a3＝a4＋a5，即2a3＝a3q＋a3q2，解得q＝－2或q＝1(舍去，因为Sk与Sk＋1异号)，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－96，ak＋2＝ak＋1q＝192，Sk＋2＝Sk＋1＋ak＋2＝－63＋192＝129.]‎ ‎【名师点评】　等差(比)数列基本运算中的关注点 ‎1．基本量．‎ 在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本量．‎ ‎2．解题思路．‎ ‎(1)求公差d(公比q)：常用公式an＝am＋(n－m)d(an＝amqn－m)；‎ ‎(2)列方程组：若条件与结论的联系不明显时，常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元及整体计算，以减少计算量．‎ ‎1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝________.‎ ‎3　[由a2＋a6＝a8，得a1＋d＋a1＋5d＝a1＋7d，即a1＝d，＝＝＝＝3.]‎ ‎2．(2016·苏州期中)等比数列{an}的公比大于1，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.‎ ‎4　[由得2q2－5q＋2＝0，‎ 即q＝2.代入a5－a1＝15得a1＝1.‎ ‎∴a3＝a1q2＝1×22＝4.]‎ ‎3．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．‎ 　[由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1；a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.‎ 故q≥，即q的最小值为.]‎ ‎4．已知数列{an}满足a1＝，2－an＋1＝(n∈N*)，则＝________.‎ ‎【导学号：19592035】‎ 　[由已知，2－an＋1＝，‎ 化简得(2－an＋1)(an＋6)＝12，‎ 即＝3×＋，‎ 令bn＝，则bn＋1＝3bn＋，得bn＋1＋＝3，‎ 所以数列是等比数列，b1＋＝1，公比为3，‎ 所以bn＋＝1×3n－1，故bn＝3n－1－，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝－n＝，‎ 所以＝.]‎ 题型三| 等差、等比数列的性质及应用 ‎　(1)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.‎ ‎(2)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．‎ ‎(3)等差数列{an}中，公差d≠0，且2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.‎ ‎(1)5　(2)　(3)16　[(1)由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝a＝4⇒a3＝2，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a＝5log22＝5.‎ ‎(2)由题意知d<0且即解得－10，递增；d<0，递减)．‎ ‎2．等差、等比数列的性质 类型 等差数列 等比数列 项的性质 ‎2ak＝am＋al(m，k，l∈N*且m，k，l成等差数列)‎ a＝am·al(m，k，l∈N*且m，k，l成等差数列)‎ am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q)‎ am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q)‎ 和的性质 当n为奇数时：Sn＝na 当n为偶数时：＝q(公比)‎ 依次每k项的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，构成等差数列 依次每k项的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，构成等比数列(k不为偶数且公比q≠－1)‎ ‎1．(2016·南通二调)在等比数列{an}中， a2＝1，公比q≠±1.若a1,4a3,7a5成等差数列，则a6的值是________．‎ 　[由题意可知 ‎8a3＝a1＋7a5，‎ ‎∴8q2＝1＋7q4，‎ 解得q2＝或q2＝1(舍去)．‎ 又a2＝1，故a6＝a2q4＝1×2＝.]‎ ‎2．若Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝1，＝4，则＝________.‎ 　[由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4，得＝3，则S6－S4＝5S2，所以＝.]‎ ‎3．已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，若A≤Sn－ ‎≤B对n∈N*恒成立，则B－A的最小值为________．‎ 　[易得Sn＝1－n∈，而y＝Sn－在上单调递增，‎ 所以y∈⊆[A，B]，‎ 因此B－A的最小值为－＝.]‎