2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高二上学期10月月考数学试题 解析版

2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高二上学期10月月考数学试题 解析版

杭西高 2019 年 10 月高二数学试题卷 一.选择题（共 40 分，每题 4 分，请从 A、B、C、D 四个选项中选出最符合题 意的一个） 1.下列多面体是五面体的是( ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( ) A. 3∶1 B. 3∶2 C．2∶ 3 D. 3∶3 3.如图所示，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为 ( ) A．48 B．64 C．80 D．120 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BB1， BC 的中点， 则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的正投影为( ) 6. 设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命 题：①若 P∈a，P∈α，则 a ⊂ α；②若 a∩b＝P，b ⊂ β，则 a ⊂ β；③若 a∥b，a ⊂ α，P∈b，P∈α，则 b ⊂ α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则 P∈b. 其 中真命题是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 7. 如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为 O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面 PCD；③OM∥平面 PDA； ④OM∥平面 PBA；⑤OM∥平面 PBC. 其中，正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图所示，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C，D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( ) A．AH⊥平面 EFH B．AG⊥平面 EFH C．HF⊥平面 AEF D．HG⊥ 平面 AEF 9.如图所示，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论 中不正确的是( ) A．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 10.如图所示，在正四棱锥 SABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点， 动点 P 在线段 MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC； ②EP∥BD；③EP∥平面 SBD；④EP⊥平面 SAC. 其中，恒成立的为( ) A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ 二.填空题（共 36 分，双空题每空 3 分，单空题每空 4 分） 11.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 PA⊥平面 ABCD， PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线 PC 与 BD 所成的角为________，直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为________. 12.如图所示，设 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，则 与平面 PAB 垂直的平面有 和 . 13.如图 223 所示，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点，O为AC，BD的交点，则与 EO 平行的平面有________和________. 14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个 几何体不可能是 ，可能是也可能不是的几何体是 . A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台 15.如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、 PC 的中点． 若在 PB 上存在一点 Q，使平面 MNQ∥平面 PAD，则 PQ∶QB＝________． 16.下列叙述不正确的是________． ①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都 和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为 锐角或直角；④直线 a 与 b 异面，b 与 c 也异面，则直线 a 与 c 必异面． 17.如图所示，已知边长为 2 的等边三角形 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，且 BC＝2 2，M 为 BC 的中点，则二面角 P AM D 的大小为 ________． 三.解答题（共 74 分，请写出必要的解题过程和步骤） 18.（14 分）如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别是 AB，PC 的中点． (1)求证：MN∥平面 PAD； (2)若 MN＝BC＝4，PA＝4 3，求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小． 19. （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD＝AC＝1，PO⊥平面 ABCD，O 点在 AC 上，PO＝2，M 为 PD 中点． (1)证明：AD⊥平面 PAC； (2)求三棱锥 MACP 的体积． 20. （15 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的正方形，侧 棱 PD＝a，PA＝PC＝ 2a，求证：(1)平面 PAC⊥平面 PBD； (2)二面角 PBCD 的大小为 45°. 21. （15 分）如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，该菱形的边长 为 1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面 AC. (1)设棱形 ABCD 的对角线的交点为 O，求证： A1O∥平面 B1D1C； (2)若四棱柱的体积 V＝ 3 2 ，求 C1C 与平面 B1D1C 所成角的正弦值． 22. （15 分）如图所示，PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点． (1)求证：MN∥平面 PAD； (2)求证：MN⊥CD； (3)若二面角 P-CD-A 的大小为 45°，求证：平面 BMN⊥平面 PCD. 杭西高 2019 年 10 月高二数学参考答案 一.选择题（共 40 分，每题 4 分，请从 A、B、C、D 四个选项中选出最符合题 意的一个） 1.下列多面体是五面体的是( ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 B [解析] 三棱柱有 3 个侧面，2 个底面，共 5 个面，所以三棱柱为五面体． 2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为( ) A.∶1 B.∶2 C．2∶ D.∶3 C [解析] 设正方体的棱长为 a，其外接球的半径为 R.易知(2R)2＝a2＋a2 ＋a2＝3a2，则 R＝32a，故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为 a∶32a＝2∶. 3.如图所示，矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观 图，其中 O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 C [解析] 如图，在原图形 OABC 中， 应有 OA＝O′A′＝6 cm，OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm，CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝＝＝6 cm， ∴OA＝OC. 故四边形 OABC 是菱形． 4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为 ( ) A．48 B．64 C．80 D．120 C [解析] 根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为 8)，直观 图如图，PE 为侧面△PAB 的边 AB 上的高，且 PE＝5.所以此几何体的侧面积是 S＝4S△PAB＝4× 12×8×5＝80. 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BB1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的正投影为( ) A [解析] 由正投影的定义可知，点 M 在平面 ADD1A1 上的正投影为 AA1 的 中点，点 N 在平面 ADD1A1 上的正投影为 AD 的中点，易知选 A. 6. 设 P 表示一个点，a，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个 命题： ①若 P∈a，P∈α，则 a ⊂ α；②若 a∩b＝P，b ⊂ β，则 a ⊂ β； ③若 a∥b，a ⊂ α，P∈b，P∈α，则 b ⊂ α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则 P∈b. 其中真命题是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ D [解析] 当 a∩α＝P 时，P∈a，P∈α，但 a⊄α，∴①错； 当 a∩β＝P 时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面α，又 a∥b，由 a 与 b 确定唯一平面β，但β经过直线 a 与点 P， ∴β与α重合，∴b ⊂ α，故③正确； 两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 7. 如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为 O，M 为 PB 的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面 PCD；③OM∥平面 PDA；④OM ∥平面 PBA；⑤OM∥平面 PBC. 其中，正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C [解析] 矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于 O 点，所以 O 为 BD 的中点．在 △PBD 中，M 是 PB 的中点，所以 OM∥PD，所以 OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA.因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA、平面 PBC 相交． 8.如图所示，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图 形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有( ) A．AH⊥平面 EFH B．AG⊥平面 EFH C．HF⊥平面 AEF D．HG⊥ 平面 AEF A [解析] 原图中 AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后 AH⊥FH，AH⊥EH，又 FH∩EH＝H，所以 AH⊥平面 EFH. 9.如图所示，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中 不正确的是( ) A．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 D [解析] 由 AC⊥BD，AC⊥SD，且 BD∩SD＝D，得 AC⊥平面 SBD，∴AC ⊥SB，故 A 正确． 由 AB∥CD，得 AB∥平面 SCD，故 B 正确． 记 AC 与 BD 交于点 O，连接 SO，则∠ASO 为 SA 与平面 SBD 所成的角， ∠CSO 为 SC 与平面 SBD 所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确．显然 D 错误． 10.如图所示，在正四棱锥 SABCD 中，E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点， 动点 P 在线段 MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP ∥BD；③EP∥平面 SBD；④EP⊥平面 SAC. 其中，恒成立的为( ) A．①③ B．③④ C．①② D．②③④ A [解析] 设 AC，BD 交于点 O，连接 SO，EN，EM.①由 SABCD 是正四棱 锥，可得 SO⊥底面 ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.又∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面 SBD.∵E，M，N 分别是 BC，CD，SC 的中点，∴EM∥BD，MN∥SD.又 EM∩MN ＝N，SD∩BD＝D，∴平面 EMN∥平面 SBD，∴AC⊥平面 EMN，∴AC⊥EP，故① 正确．②由异面直线的定义可知 EP 与 BD 是异面直线，不可能有 EP∥BD，因此 ②不正确．③由①可知平面 EMN∥平面 SBD，∴EP∥平面 SBD，因此③正确．④ ∵BD⊥AC，EM∥BD，∴EM⊥AC.又 EM⊥SO，SO∩AC＝O，∴EM⊥平面 SAC.若 EP⊥平面 SAC，则 EP∥EM，与 EP∩EM＝E 矛盾，因此当 P 与 M 不重合时，EP 与平面 SAC 不垂直，故④不正确．故选 A. 二.填空题（共 36 分，双空题每空 3 分，单空题每空 4 分） 11.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 PA⊥平面 ABCD， PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线 PC 与 BD 所成的角为________，直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为________. 图 234 45° [解析] 连接 AC.因为 PA⊥平面 ABCD，则 AC 是 PC 在平面 ABCD 上 的射影， 所以∠PCA 是 PC 与平面 ABCD 所成的角． 在△PAC 中，PA⊥AC，且 PA＝5， AC＝＝＝5，所以∠PCA＝45°， 即异面直线 PC 与 BD 所成的角为 45°，直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45°. 12.如图所示，设 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，则与平面 PAB 垂直的平面有 和 . [解析] 平面 PBC、平面 PAD ∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BC. 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面 PAB. ∵BC ⊂ 平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 PAB. 由 AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得 AD⊥平面 PAB. ∵AD ⊂ 平面 PAD，∴平面 PAD⊥平面 PAB. 由已知易得平面 PBC 与平面 PAD 不垂直 13.如图 223 所示，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 为 PB 的中点，O 为 AC，BD 的交点，则与 EO 平行的平面有________和________. 图 223 平面 PAD、平面 PCD [解析] 在△DPB 中，∵O 为 BD 的中点，E 为 PB 的 中点，∴EO∥PD，又 EO 在平面 PAD、PCD 外，PD 在平面 PAD、PCD 内，所以 EO 与平面 PAD、平面 PCD 平行． 14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个 几何体不可能是 ，可能是也可能不是的几何体是 . A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 E.四棱柱 F.圆台 D、F； B、E. 15.如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC 的中点． 若在 PB 上存在一点 Q，使平面 MNQ∥平面 PAD，则 PQ∶QB＝ ________． 1∶1 [解析] 若平面 MNQ∥平面 PAD，则应有 MQ∥PA， ∵M 是 AB 的中点，∴Q 是 PB 的中点．所以 PQ∶QB＝1∶1. 16.下列叙述不正确的是________． ①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都 和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为 锐角或直角；④直线 a 与 b 异面，b 与 c 也异面，则直线 a 与 c 必异面． ①②④ [解析] ①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行， 故①②错误；对于④，异面直线不具有传递性，故④错误． 17.如图所示，已知边长为 2 的等边三角形 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，且BC＝2，M为BC的中点，则二面角P AM D的大小为________． 45° [解析] 如图所示，取 CD 的中点 E，连接 PE，EM，EA. ∵△PCD 为等边三角形，∴PE⊥CD，PE＝2sin 60°＝. 又∵平面 PCD⊥平面 ABCD，平面 PCD∩平面 ABCD＝CD，∴PE⊥平面 ABCD. ∵AM ⊂ 平面 ABCD，∴PE⊥AM. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴△ADE，△ECM，△ABM 均为直角三角形， 由勾股定理可求得 EM＝，AM＝，AE＝3， ∴EM2＋AM2＝AE2，∴AM⊥EM. 又 PE∩EM＝E，∴AM⊥平面 PEM，∴AM⊥PM， ∴∠PME 是二面角 PAMD 的平面角． ∵tan∠PME＝PEEM＝33＝1， ∴∠PME＝45°，∴二面角 PAMD 的大小为 45°. 三.解答题（共 74 分，请写出必要的解题过程和步骤） 18.（14 分）如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别是 AB，PC 的中点． (1)求证：MN∥平面 PAD；(2)若 MN＝BC＝4，PA＝4，求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小． 解： (1)证明：取 PD 的中点 H，连接 AH，NH. ∵N 是 PC 的中点， ∴NH// 12DC. ∵M 是 AB 的中点，且 DC//AB， ∴NH//AM，即四边形 AMNH 为平行四边形． ∴MN∥AH. ∵MN⊄平面 PAD，AH ⊂ 平面 PAD， ∴MN∥平面 PAD. (2)连接 AC 并取其中点 O，连接 OM，ON， ∴OM// 12BC，ON// 12PA. ∴∠ONM 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角． 由 MN＝BC＝4，PA＝4，得 OM＝2，ON＝2. ∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠MON＝90°，∠ONM＝30°， 即异面直线 PA 与 MN 成 30°的角． 19. （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC＝ 45°，AD＝AC＝1，PO⊥平面 ABCD，O 点在 AC 上，PO＝2，M 为 PD 中点． (1)证明：AD⊥平面 PAC； (2)求三棱锥 MACP 的体积． 图 236 解：(1)证明：∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AD⊥AC. ∵PO⊥平面 ABCD，AD ⊂ 平面 ABCD，∴PO⊥AD， 又∵AC∩PO＝O，且 AC ⊂ 平面 PAC，PO ⊂ 平面 PAC， ∴AD⊥平面 PAC. (2)∵M 是 PD 的中点，∴M 到平面 ABCD 的距离为 12PO＝1.由(1)知，S△ACD ＝12AD·AC＝12. ∴三棱锥 MACD 的体积 V＝13× 12×1＝16. 三棱锥 PACD 的体积 V＝13× 12×2＝ 13. ∴三棱锥 MACP 的体积 V＝13 -16 ＝16. 20. （15 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 a 的 正方形，侧棱 PD＝a，PA＝PC＝a，求证：(1)平面 PAC⊥平面 PBD；(2)二面 角 PBCD 的大小为 45°. 证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a， ∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD，又 AD∩DC＝D， ∴PD⊥平面 ABCD. ∴PD⊥AC. 又四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD. 又 BD∩PD＝D，∴AC⊥平面 PBD. 又 AC ⊂ 平面 PAC， ∴平面 PAC⊥平面 PBD. (2)由(1)知 PD⊥BC， 又 BC⊥DC，且 PD∩DC＝D， ∴BC⊥平面 PDC. ∴BC⊥PC. ∴∠PCD 为二面角 PBCD 的平面角． 在 Rt△PDC 中，PD＝DC＝a， ∴∠PCD＝45°. ∴二面角 PBCD 的大小为 45°. 21. （15 分）如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，该菱形的边长 为 1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面 AC. (1)设棱形 ABCD 的对角线的交点为 O，求证： A1O∥平面 B1D1C； (2)若四棱柱的体积 V＝32，求 C1C 与平面 B1D1C 所成角的正弦值． 解： (1)证明：连接 A1C1，与 B1D1 交于点 G，连接 GC，因为 A1G∥CO，A1G＝ CO，于是四边形 A1GCO 是平行四边形，故 A1O∥CG，又 CG ⊂ 平面 B1D1C，故 A1O ∥平面 B1D1C. (2)设 AA1＝h，因为 S 底＝AB·BC·sin∠ABC＝32，所以 V＝Sh＝32，所以 h ＝1. 因为 B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，所以 B1D1⊥平面 A1C， 所以平面 B1D1C⊥平面 A1C，过 C1 作 C1H⊥GC 于 H，于是 C1H⊥平面 B1D1C， 所以∠C1CG 为所求角，且 sin∠C1CG＝C1GGC ＝55. 22. （15 分）如图所示，PA⊥矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB、PC 的 中点． (1)求证：MN∥平面 PAD； (2)求证：MN⊥CD； (3)若二面角 P-CD-A 的大小为 45°，求证：平面 BMN⊥平面 PCD. 解：(1)证明：如图所示，取 PD 的中点 E，连接 AE、EN， 则有 EN// 12CD// 12AB//AM， 故 AMNE 是平行四边形，∴MN∥AE ， ∵AE ⊂ 平面 PAD，MN⊄平面 PAD， ∴MN∥平面 PAD. (2)证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥AB， 又 AD⊥AB，∴AB⊥平面 PAD， ∴AB⊥AE，即 AB⊥MN， 又 CD∥AB，∴MN⊥CD. (3)∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥AD， 又∠PDA＝45°，E 是 PD 的中点，∴AE⊥PD，即 MN⊥PD， 又 MN⊥CD，∴MN⊥平面 PCD， 又 MN ⊂ 平面 BMN，∴平面 BMN⊥平面 PCD.