- 2021-06-01 发布 |
- 37.5 KB |
- 51页
申明敬告： 本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
高考系列圆锥曲线综合题解答与训练
一、动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设M（x，y），直线MN切圆C于N， 则有 ， 即 ， ． 整理得，这就是动点M的轨迹方程． 若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线； 若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、代入法 若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 （1986年全国）已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 解：设，由题设，P分线段AB的比， ∴ 解得. 又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程， ∴ 整理得点P的轨迹方程为 其轨迹为抛物线． 例3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（—，1）、B（，1），S△ABC=（平方单位），动点P在曲线E（y≥1）上运动，若曲线E过点C且满足|PA|+|PB|的值为常数.（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E有两个不同的交点P、Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程. （Ⅰ）解：∵|AB|=2，S△ABC=|AC|·|AB|=，∴|AC|=1.但|BC|2=|AC|2+|AB|2，从而|BC|=3 .又|PA|+|PB|=|AC|+|BC|=4>2，∴P点在以A、B为焦点，半长轴为a=2，半焦距为c=,半短轴为b=的椭圆E（y≥1）上. ∴曲线E的方程为 （Ⅱ）设直线l：y=x+m ,代入E的方程，消x ,可得3y2-2(m+2)y +m2-2 =0 .令f(x)= 3y2-2(m+2)y +m2-2 .方程f(y)=0，有两个不小于1，且不相等的实根时，有 解之，得. 设PQ的中点为M（x ,y ），P、Q两点的坐标分别为P（x1 ,y1）,Q（x2 ,y2）, 将m=3y-2代入y=x+m得 y =即为M点的轨迹方程. 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例4 （1986年广东）若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （A） （B） （C） （D） 解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B）． 例5 （1993年全国）一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为 （A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆 解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有 动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）． 四、参数法 若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程． 例6（1994年上海）设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t． （A）求椭圆的方程； （2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 解：（1）设所求椭圆方程为 由题意得 解得 所以椭圆方程为 ． (2)设点解方程组 得 由和得 其中t＞1． 消去t，得点P轨迹方程为 和． 其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分． 五、交轨法 一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程． 例7 （1985年全国）已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程． 解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则 PA： QB： 消去t，得 当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是 以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围． 试题练习 1已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。 解：设MN切圆C于N，则。设,则 化简得 （1） 当时，方程为，表示一条直线。 当时，方程化为表示一个圆。1．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 2.如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。 解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1） 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0 ② 由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0 3如图,圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM=2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程. 解：作直线O1O2，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴， 连结O1M、O2N，设P点坐标为(x,y). ∵PM、PN分别为⊙O1、⊙O2的切线，∴O1M⊥PM,O2N⊥PN. ∴△PO1M，△PO2N为直角三角形. ∴PO12=PM2+O1M2=PM2+1, PO22=PN2+O2N2=PN2+1. ∵PM=PN,∴PM2=2PN2. ∴PO12=2PN2+1, ① 2PO22=2(PN2+1)=2PN2+2. ② 由②-①得2PO22-PO12=1. ∵PO22=(x-2)2+y2,PO12=(x+2)2+y2, ∴2［(x-2)2+y2］-［(x+2)2+y2］=1. ∴2x2-8x+8+2y2-x2-4x-4-y2-1=0.∴x2-12x+y2+3=0. ∴(x-6)2+y2=33. 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 解：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆方程分别配方得：，， 当与相切时，有 ① 当与相切时，有 ②将①②两式的两边分别相加，得，即 ③ 移项再两边分别平方得： ④ 两边再平方得：，整理得， 所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆. （法二）由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，∴，，∴，，∴，∴圆心轨迹方程为。 点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法. 5经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。 解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。 6.已知两定点Ａ、Ｂ，且｜ＡＢ｜＝2ａ（ａ∈Ｒ＋）． （1）若动点Ｍ与A、Ｂ构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程； （2）若动点M满足条件∠ＭＢＡ＝2∠ＭＡＢ，求点M的轨迹方程． 讲解：题设条件中没有给出坐标系，故应先考虑选择适当的坐标系，再用动点满足的几何条件用直译法求解． 因Ａ、Ｂ为两个定点，故取ＡＢ所在的直线为ｘ轴，注意到对称性，取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图8-6所示．于是Ａ、Ｂ两点的坐标分别为（－ａ，0）、（ａ，0）． 图8-6 （1）设点M的坐标为（ｘ，ｙ），则动点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜ＡＭ⊥ＭＢ，且M不在直线ＡＢ上｝． 由ＡＭ⊥ＭＢ，得｜ＡＭ｜2＋｜ＭＢ｜2＝｜ＡＢ｜2，即 ＝（2ａ）2，且ｙ≠0． ① 化简，得ｘ2＋ｙ2＝ａ2（ｙ≠0）． ② 或者由ＡＭ⊥ＭＢｋＭＡ·ｋＭＢ＝－1，得 ｙ／（ｘ＋ａ）·ｙ／（ｘ－ａ）＝－1， ③ 化简，得ｘ2＋ｙ2＝ａ2（ｘ≠±ａ）． ④ （2）设∠ＭＡＢ＝α，∠ＭＢＡ＝β，则点M属于集合Ｐ＝｛Ｍ｜β＝2α｝． ⑤ 考虑到ｔｇβ的存在性，以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论． Ⅰ．∵当β≠（π／2）时，有ｔｇβ＝ｔｇ2α． ⑥ 而0≤α＋β＜π，β＝2α，∴ 0≤α＜（π／3）． 又由α＜β知ｘ＞－ａ． ⑦ 根据点M与ｘ轴的相对位置，以下又可分为（ｉ）、（ｉｉ）两种情形： （ｉ）当ｙ≥0时，ｔｇα＝ｋＭＡ＝ｙ／（ｘ＋ａ）（ｘ≠－ａ）， ｔｇβ＝－ｔｇ（π－∠ｘＢＭ）＝－ｋＭＢ＝ｙ／（ａ－ｘ）（ｘ≠ａ）． 由ｔｇβ＝ｔｇ2α，得ｙ／（ａ－ｘ）＝（2·（ｙ／（ｘ＋ａ）／1－（（ｙ／ｘ＋ａ））2）， ⑧ 整理得ｙ（3ｘ2－ｙ2＋2ａｘ－ａ2）＝0． ⑨ （ｉｉ）当ｙ＜0时，同理可得上式． Ⅱ．又ｘ＝ａ时，ｔｇβ不存在，但β＝（π／2），依题意只要α＝（π／4），Ｍ仍为所求轨迹上的点． ∵ 1＝ｔｇ（π／4）＝ｔｇα＝±ｙ／（ｘ＋ａ）＝±（ｙ／2ａ）， ∴ ｙ＝±2ａ， ∴点（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上． 容易验证点（ａ，2ａ）与（ａ，－2ａ）的坐标都满足方程⑨，故所求点M的轨迹方程为 ｙ＝0（－ａ＜ｘ＜ａ）或3ｘ2－ｙ2＋2ａｘ－ａ2 ＝0（ｘ＞－ａ）． 从本题的解答过程可以看到，用直译法求曲线（轨迹）方程时，其步骤中的第（5）步可以省略不写，但要下结论“最简方程就是所求曲线（轨迹）方程”，仍需验证曲线的方程定义中的两条，以保证轨迹的纯粹性与完备性．如在本题的解答过程中的①和②是同解变形，所得到的最简方程就是所求轨迹的方程．而从⑧到⑨中，若约去ｙ，则将会丢掉线段AB（不含端点），则轨迹就不完备．又如从方程③到④不是同解变形，这时需对ｘ的范围加以限制，即ｘ≠±ａ，去掉增解，以保证轨迹的纯粹性．又如从⑤到⑥，当β＝（π／2）时，不能得到⑥，故应对β＝（π／2）加以验证，经检验当β＝（π／2）时所对应的点A（ａ，±2ａ）在所求的轨迹上已包含在方程⑨中．解题中不可忽视题目隐含的条件，如本例（1）中的M与A、Ｂ构成三角形，M不在AB上，须加限制条件ｙ≠0，又如（2）中的限制条件⑦．否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性． 7.椭圆的方程为（ｘ2／ａ2）＋（ｙ2／ｂ2）＝1，Ａ1、Ａ2分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任一点，引Ａ1Ｑ⊥Ａ1Ｐ，Ａ2Ｑ⊥Ａ2Ｐ. 设Ａ1Ｑ与Ａ2Ｑ相交于点Q，求Q点的轨迹方程． 讲解：因Q点随P点的运动而运动，而P点在已知椭圆上，故可用动点转移法求解． 思路1．设Ｑ（ｘ，ｙ）、Ｐ（ｘ1，ｙ1），如图8-4，A1的坐标为（－ａ，0），Ａ2的坐标为（ａ，0）． 图8-4 ∵点P（ｘ1，ｙ1）在椭圆（ｘ2／ａ2）＋（ｙ2／ｂ2）＝1上， ∴ （ｘ12／ａ2）＋（ｙ12／ｂ2）＝1． ① 欲求Q点的轨迹方程，只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此， 须寻求ｘ1、ｙ1与ｘ、ｙ之间的关系． ∵Ａ１Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ1＋ａ）／ｙ1（ｘ＋ａ）， ② Ａ２Ｑ的方程为ｙ＝－（ｘ1－ａ）／ｙ1（ｘ－ａ）， ③ 即ｙ1ｙ＝－ｘ1ｘ－ａｘ－ａｘ1－ａ２， ④ ｙ1ｙ＝－ｘ1ｘ＋ａｘ＋ａｘ1－ａ２， ⑤ 联立④⑤，解得 ｘ1＝－ｘ． ⑥ 由①得ｘ12＝ａ2（1－（ｙ12／ｂ2））． ⑦ 将④⑤代入Ａ1Ｑ的方程，得 ｙ＝（ｘ12－ａ2）／ｙ1＝（－（ａ2／ｂ2）ｙ12）／ｙ1＝－（ａ2／ｂ2）ｙ1 ∴ ｙ1＝－（ｂ2／ａ2）ｙ． ⑧ 将⑥⑧代入①，并整理，得 （ｘ2／ａ2）＋（ｂ2ｙ2）／ａ4＝1． 这就是Q点的轨迹方程． 以上是将两个参数ｘ1、ｙ1逐一消去，实际上还可整体消参.②×③，得 ｙ2＝（（ｘ12－ａ2）／ｙ12）（ｘ2－ａ2）． 把ｙ１2＝（ｂ2／ａ2）（ａ2－ｘ１2）代入便可将参数一次消去． 思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定，而动点P的位置与其对应的离心角有关，故可选点P的离心角θ为参数，建立点θ的轨迹的参数方程． 设点P的坐标为（Ａｃｏｓθ，Ｂｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｘ，ｙ），则 直线Ａ1 Ｑ的方程为 ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ＋1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ＋ａ）， ① 直线Ａ２Ｑ的方程为 ｙ＝－（ａ（ｃｏｓθ－1）／Ｂｓｉｎθ）（ｘ－ａ）. ② ①×②，消去θ，得 ｙ２＝（ａ2（ｃｏｓ2θ－1）／（ｂ2ｓｉｎ2θ）（ｘ2－ａ2） ＝－（ａ2／ｂ2）（ｘ2－ａ2）， 即（ｘ2／ａ2）＋（ｂ2ｙ2）／ａ4＝1． 这就是所求Q点的轨迹方程． 思路2用参数法求Q点的轨迹方程， 在消参数时，整体处理，化繁为简， 8、（满分14分）设分别为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量，，，，，； （1） 求动点P（x，y）的轨迹方程； （2） 已知点，与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数的值；若不存在，试说明理由。 、解：（1）由，………2分 记，； 而，故P 的轨迹为椭圆的一部分，其中， 动点的轨迹方程为。…………………………7分 （2）将 整理得： （1） 设，则由(1)式得 (2) ……………(9分) 依设， 即， 将代入上式得 ，再将(2)式代入并整理得 ……(12分) ……(14分) 二、 圆锥曲线简单的几何性质(略) 〖要重视与离心率、渐近线相关的一些问题及焦半径公式的应用〗 〖焦半径、焦点弦问题〗 （1） 椭圆焦半径公式：在椭圆＝１中，F１、F２分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则： ①|PF1|=a+ex0 ② |PF2|=a-ex0 .过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦. （2）双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c，0)，F2(c，0),则：①当P点在右支上时，； ②当P点在左支上时，；（e为离心率） （3）抛物线焦半径公式：设P（x0，y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px （p<0）上任意一点，F为焦点，则； 抛物线y2=2px （p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2)，则有如下结论：①＝x1+x2+p；②y1y2=－p2，x1x2=. （4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p； 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b. 1.设曲线C的方程是y＝x3－x，将C沿x轴、y轴正方向分别平行移动t、s单位长度后得到曲线C1， ①写出曲线C1的方程; ②证明曲线C与C1关于点A()对称. ③如果曲线C与C’有且仅有一个公共点，证明:s＝－t且t≠0. .①解:曲线C’的方程为 y＝(x－t)3－(x－t)＋s ②证明:在曲线C上任取一点B’(x’，y’)，设B"(x"，y")使B’关于A的对称点，则有 (x’＋x")/2＝t/2 (y’＋y")/2＝s/2 ∴x’＝t－x" y’＝s－y" 代入曲线C的方程，得x"和y"满足方程: s－y"＝(t－x")3－(t－x") 即 y"＝(x"－t)3－(x"－t)＋s 可知点B’(x"，y")在曲线C’上. 反过来，同样可以证明，在曲线C’上的点关于点A的对称点在曲线C上. 因此，曲线C与C’关于点A对称. ③证明:因为曲线C与C’有且仅有一个公共点，所以方程组 y＝x3－x y＝(x－t)3－(x－t)＋s 有且仅有一组解，消去y，整理得 3tx2－3t2x＋(t3－t－s)＝0 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t≠0并且其根的判别式 △＝9t4－12t(t3－t－s)＝0 解得 s＝t3/4－t且t≠0. 2.直线Ａｘ＋Ｂｘ＋Ｃ＝0（Ａ·Ｂ·Ｃ≠0）与椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２相交于P和Q两点，O为坐标原点，且OP⊥ＯＱ，求证：ａ２ｂ２／ｃ２＝（ａ２＋ｂ２）／（Ａ２＋Ｂ２）． 将Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝0， 变形为1＝－（Ａｘ＋Ｂｙ）／Ｃ代入椭圆方程，得 ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（－（Ａｘ＋Ｂｙ）／Ｃ）２， 整理得（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）ｙ２＋2ＡＢａ２ｂ２ｘｙ＋（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）ｘ２ ＝0， （1）当ｘ＝0时，显然成立； （2）当ｘ≠0时，同除以ｘ2得 （ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）（（ｙ／ｘ）２＋2ＡＢａ２ｂ２（ｙ／ｘ）＋（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）＝0， 则方程的两根为ＯＰ、OQ的斜率． 因为ＯＰ⊥ＯＱ，所以－1＝（ａ２ｂ２Ａ２－ｂ２Ｃ２）／（ａ２ｂ２Ｂ２－ａ２Ｃ２）， 即 ａ２ｂ２／Ｃ２＝（ａ２＋ｂ２）／（Ａ２＋Ｂ２）． 3.过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，求点Q的轨迹的离心率的取值范围 解：设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。 4．设点P在双曲线过P点的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于P1、P2两点， ，求此双曲线的方程. 解：由双曲线方程知渐近线方程为 由 代入双曲线方程得 圆锥曲线训练 1．（本大题满分14分）双曲线的两焦点分别是F1、F2，其中F1是抛物线的焦点，两点A（－3，2）、B（1，2）都在该双曲线上.（1）求点F1的坐标；（2）求点F2的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线；（3）若直线与F2的轨迹有且只有一个公共点，求实数t 的取值范围. （1）由 （2）∵A、B在双曲线上，∴||AF1|－|AF2||=||BF1|－|BF2||，若，点F2的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当y=0时，F1与F2重合，当y=4时，A、B均在双曲线的虚轴上，故此时F2的轨迹方程为若，则 此时，F2的轨迹是以A、B为焦点，，中心为（－1，2）的椭圆，其方程为 故F2的轨迹是直线，除去两点（－1，0）、（－1，4）. （3）由 又直线过点（－1，0）、（－1，4）时，t=1或t=5，∴t的范围为 2．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆方程为(1分) 由2c=4得c=2,又，故(2分) ,∴所求椭圆方程为(3分) （Ⅱ）M坐标为（0，2），设A点在B点的左方，且,由,故有 (5分)即①,又M相应的准线方程是，A到准线距离 ，B到准线距离(6分)，由及(7分) 于是,∴得② ②与①联立解得(8分) 代入椭圆方程得，∴直线AB的斜率 (9分)，AB的方程为 (10分)，如果点在B的右方时根据对称性，则所求直线AB的方程为.(12分) 3．（本小题满分14分）在直角坐标系中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点F（c,0）（c为常数，且c>0），过F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，射线OM交椭圆C于点N，四边形AOBN是平行四边形.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断椭圆C与线段是否有公共点? 本小题主要考查椭圆与直线的基础知识，考查综合运用所学知识解决问题的能力.满分14分. 解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程 将 ①(2分) 记 、、，则是方程①的两个不同的根， （5分） 又四边形AOBN是平行四边形，则N （8分）即 故所求椭圆C的方程 （10分） （Ⅱ）将中，并整理得 则椭圆C与线段有公共点时，15c2取值范围等价于函数的值域. 椭圆与线段有公共点. （14分） 4．如图，已知线段|AB|=4，动圆O与线段AB切于点C，且|AC|－|BC|=2，过点A，B分别作⊙O的切线，两切线相交于P，且P、O均在AB的同侧.（Ⅰ ）建立适当坐标系，当O位置变化时，求动点P的轨迹E的方程； （Ⅱ）过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN的面积的最小值. （本小题满分13分）（Ⅰ）以AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴，建立如图所示的直角坐标，并设点P坐标为P（、），设PA、PB分别切⊙O′于E、F，则|PE|=|PF|，|AE|=|AC|，|BC|=|BF| ∵|PA|－|PB|=|AC|－|BC|=2故点P 的轨迹为以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线右支（除去与轴交点）由题意， 故P点轨迹E的方程为： （Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线方程为及=2，注意到≠0， ∴直线方程可写成 由直线与E交于M、N两点知 由 由||2=得：S△AMN= 由，知∵函数在区间（0，－∞）上为增函数. ∴,即时,(S△AMN)min=4 5．（本小题满分12分）设正方形ABCD的外接圆方程为C、D点所在直线的斜率.（Ⅰ）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率； （Ⅱ）如果在轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程. （Ⅰ）解：由可知圆心M的坐标为（3，0）,依题意： ∠ABM =∠BAM = MA，MB的斜率k满足： 解得：. （Ⅱ）设MB、MA的倾斜角分别为 可以推出： 再设 设抛物线方程为由于A，B两点在抛物线上， 得抛物线方程为 可知A点坐标为（1，1），且A点关于M（3，0）的对称点C的坐标是（5，－1） 直线的方程为 6．如图，已知双曲线C的方程为，离心率为.（1）求双曲线C的渐近线方程.（2）若AB是夹在渐近线位于一、四象限部分间的动弦，△AOB面积为定值，且 双曲线C过AB的一个三等分点P，试确定双曲线C的方程. （1）由题意知双曲线实轴在x轴上，由 ………………………………5分 ∴所求双曲线渐近线方程为.……………………………………………7分 （2）由 设A （*）…………………………………………………………………10分 设P（x，y），由定比分点公式： 代入（*）得：即为双曲线C的方程.……………………………14分 7．（本小题满分14分）已知：如图，过椭圆作垂直于长轴A1A2的直线与椭圆c交于P、Q两点，l为左准线.（Ⅰ）求证：直线PA2、A1Q、l共点；（Ⅱ）若过椭圆c左焦点F（－c，0）的直线斜率为k，与椭圆c交于P、Q两点，直线PA2、A1Q、l是否共点，若共点请证明，若不共点请说明理由. 解：（Ⅰ）由方程组 则点P……………………2分 直线PA2的方程为…4分 由方程组…………………………6分 因为左准线l的方程为，所以直线PA2与A1Q的交点在l上. 故直线PA2，A1Q，l相交于一点.………………………………………8分 （Ⅱ）设点P、Q的坐标分别为（. 直线PA2，A1Q的斜率分别为k1,k2，则 直线PA2的方程为 直线A1Q的方程为 解得交点的横坐标为 即…………………………………………10分 直线PQ的方程为 消去（*） 设M=方程（*）的二根为 由韦达定理得：…………………12分 点P，Q在直线PQ上， 因为左准线l的方程为，所以直线PA2与A1Q的交点在l上.故直线PA2，A1Q，l 相交于一点.…………………………14分 8．（12分）如图，线段AB（AB不与x轴垂直）过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>0）端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线. （1）求抛物线方程；（2）若的取值范围. （1）当AB不垂直x轴时，设AB方程为 由| 故所求抛物线方程为 （2）设 ①，平方后化简得 又由①知 的取值范围为 9．直线交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）. （Ⅰ）若，且四边形OAPB为矩形，求a的值；（Ⅱ）若，当k变化时（k∈R），求点P的轨迹方程. 解（Ⅰ）设…………2分 ，………………………………4分 ……………………………………6分 （Ⅱ）设 因为A、B在椭圆 相减得……………………………………9分 所以…………………………………………11分 ……………12分 10．在周长为定值的△ABC中，已知AB=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为（Ⅰ）建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程；（Ⅱ）过点A作直线与（Ⅰ）中的曲线交于M， N两点，求|BM|·|BN|的最小值的集合. 解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设PA+PB=2a(a>0)为定值，所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， ∴焦距2c=AB=6 ……1分 ……2分 又此时，由题意得 ∴=25 ∴C点的轨迹方程为……3分 （注：没写扣1分：文科（Ⅰ）分别为2，3，3分，共8分） （Ⅱ）（理）设M（x1, y1）， N(x2, y2 )，当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简得显然有△≥0∴x1+x2=—， x1,x2=而由椭圆第二定义可得 |BM|·|BN|=（5—）（5—）=25－3（x1+x2） …2分 =25+ 只考虑的最小值， 即考虑1—的最小值，易知当k=0时，1—取最小值 此时|BM|·|BN|取最小值16…2分 当直线MN的倾斜角为90°时，x1=x2=－3得|BM|·|BN|=（）2 ＞16；……1分 但，故这样的M，N不存在，即|BM|·|BN|的最小值集合为空集……1分 11．已知直线经过椭圆的右焦点F2，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，试求椭圆C的方程. 设椭圆焦距为2c，则………1分 ，代入y=x+k 得k=－1……2分 将y=x－1代入椭圆方程整理得：…………4分 ∵A、B点在直线l上，设 ∵AF1⊥BF1 又F1（－1，0） …………7分 由韦达定理， 解得……10分 为所求方程.…………12分 12、(本小题满分14分)已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）,（1）求点（x，y）的轨迹C的方程；（2）若直线L：y=kx+m(m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m的取值范围。 解：（1）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y) –=（x, 0）-(1,y)= (x-,– y)(+)(-) (+)·(-)=0(x+)( x-)+y·(-)=0 得- y2=1P点的轨迹方程为- y2=1 ………………（7分）（2）考虑方程组消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0(*)显然1-3k20 =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0 …………………………（9分）设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=x0= y0=kx0+m=故AB中点M的坐标为（，）线段AB的垂直平分线方程为y-=（-）（x-） 将D（0，–1）坐标代入，化简得：4=3k2-1 ………………………(11分)故m、k满足 ，x消去k2得：m2-4m>0 解得：m<0或m>4 ……………………（13） 又4m=3k2-1>-1 m>故 m(-,0)(4,+) ……………………（14） 13.已知半圆动圆与此半圆相切且与x轴相切.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；Ⅱ）是否存在斜率为的直线l，它与（Ⅰ）中所得轨迹的曲线由左至右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设动圆圆心M（作MN⊥轴于N.……1分 ①若两圆外切，|MO|=|MN|+2， 化简得……4分 ②若两圆内切，|MO|=2－|MN| 综上，动圆圆心的轨迹方程是 及 其图像为两条抛物线位于轴上方的部分……7分 作简图如上……8分 （Ⅱ）假设直线存在，可设方程依题意，它与曲线交于A，D. 与曲线交于B，C 即 与 ① ②……9分 |AD|= |BC|= ∵|AD|=2|BC| ∴ 即 解得 ……11分 将代入方程①得 ……12分 ∵曲线中横坐标范围为∴这样的直线不存在.……14分 14．已知平行四边形ABCD，A（－2，0），B（2，0）且|AD|=2（1）求平行四边形对角线AC，BD交点E的轨迹方程，并说明轨迹的形状; （2）过A作直线交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，且|MN|=，MN的中点P的横坐标为，求椭圆方程. 解（1）由中位线定理可得： ∴E的方程是 （2）设椭圆方程为： 椭圆：，又： 15．已知圆C1的方程为椭圆C2的方程为，（a>b>0），C2离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，M是圆C1上的一点，且求直线AB的方程和椭圆C2的方程. （Ⅰ） （Ⅱ） 又 17．已知椭圆C：的焦点在x轴上，A为右顶点，射线y = x（x≥0）与椭圆C的交点为B.（1）写出以R（m，0）为顶点，A为焦点，开口向左的抛物线的方程；（2）当点B在抛物线上，且椭圆的离心率满足 时，求m的取值范围. 解：（1）依题意A（1,0），设抛物线方程为 ∴抛物线的方程为……4分 （2）在椭圆C中， ∴ ∴……6分 由解得在抛物线上 ……7分 将B点坐标代入抛物线方程并整理得关于sinα的方程 …① 由m＞1，上是增函数，因此要方程①在内有解的充要条件为 故实数m的取值范围是 …12分 18．如图：A、B是两个定点，且|AB|=2，动点M到A点的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，直线k垂直于直线AB，且B点到直线k的距离为3.（Ⅰ）建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）求证：点P到点B的距离与点P至直线k的距离之比为定值；（Ⅲ）若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求P点的坐标. （1）解：以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则点A，B的坐标分别是（－1，0）， （1，0）.∵l为MB的垂直平分线，∴|PM|=|PB|，|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=4.∴P点的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程是：+=1, （Ⅱ）证明：∵椭圆的右准线方程是x=4恰为直线k的方程. 根据椭圆的定义知点P到点B 的距离与点P到直线k的 距离之比为离心率e= （Ⅲ）解：m=|PA|·|PB|≤=4当且仅当|PA|=|PB|时，m最大，这时点P在y轴上，故点P的坐标是：（0，）或（0，－）. 19.（设点O是直角坐标系的原点，点M在直线上移动，动点在线段MO的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|.（Ⅰ）求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）当p=1时，求|MN|的最小值. （Ⅰ）解；过点N作NN′⊥x轴于N′，设直线l与x轴交于M′. 设N（x,y），（x>0）,则N′(x,0),M′(-p,0), ∵M，O，N三点共线， 由 ∵x>0,p>0,将上式整理化简为： （p2-1）x2+p2y2-2px-p2=0(x>0).（9分） （Ⅱ）解：p=1时，N点轨迹为y2=2x+1(x>0).(10分) 设N（x,y）,M(-1,t).由M、O、N共线，得 当且仅当时，等式成立. ∴当x=1时，|MN|最小值为4.（16分） 20．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中在距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.（1）求S关于p的函数关系；（2）当p为何值时，抢救最及时. ．解：：（1）以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，则 设N（x0，y0）， ……2分 又B（p，0），∴直线BC的方程为： 由得C的纵坐标……4分 ∴…6分 （2）由（1）得 ∴ ∴当且仅当 时，上式取等号…11分 ∴当公里时，抢救最及时。……12分 21（1991高考）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．(本小题满分12分) 解法一：设双曲线的方程为=1． 依题意知，点P，Q的坐标满足方程组 ① ② 将②式代入①式，整理得 (5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③ ——3分 设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0． 根据根与系数的关系，有 ④ ⑤ ——6分 由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为 P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))． 由OP⊥OQ得·=－1， 整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0． ⑥ 将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0， (a2+3b2)(3a2－b2)=0． 因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2， 所以 c==2a． ——8分 由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42． 整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0． ⑦ 将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1． ——10分 将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3． 故所求双曲线方程为x2－=1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分 解方程③得x1=，x2= ④ ——6分 由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))． 由OP⊥OQ，得x1 x2＋(x1－c)·(x2－c)=0． ⑤ 将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0， 即 (a2+3b2)(3a2－b2)=0． 因a2+3b2≠0，解得b2=3a2． ——8分 由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42． 即 (x2－x1)2=10． ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b2－3a2)2－16a2b4=0． ——10分 将b2=3a2代入上式，得a2=1， 将a2=1代入b2=3a2得b2=3． 故所求双曲线方程为 x2－=1． ——12分 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力 22（本题满分13分）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于、. ⑴求证:△不是直角三角形； ⑵当的斜率为时，抛物线上是否存在点，使△为直角三角形且为直角？在轴下方）？ 若存在，求出所有的点；若不存在，说明理由. 解：（1）∵焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的所有直线可设为， 代入抛物线得：，则有，…………………（2分） 进而.…………………（4分） 又， 得为钝角，故△不是直角三角形。…………………（6分） （2）由题意得AB的方程为，代入抛物线 求得…………………（8分） 假设抛物线上存在点C（），使△为直角三角形且为直角， 此时，以为直径的圆的方程为，将A、B、C三点的坐标代入得： 整理得：…………………（10分） 解得对应点，对应点………………（12分） 则存在使△为直角三角形。 故满足条件的点C有一个：…………………（13分） 23（本小题满分12分） 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心， 为半径的圆交于两点； （1）若，的面积为；求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点， 求坐标原点到距离的比值。 解：（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为。 24．（本小题满分12分） 已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。 解：设，对求导得，故直线的斜率，当时，不合题意，所心 圆心为，的斜率 由知，即，解得，故 所以 设为上一点，则在该点处的切线方程为即 若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即 ，化简可得 求解可得 抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 ① ② ③ ②－③得，将代入②得，故 所以到直线的距离为。 25.（2011广东卷第21题）在平面直角坐标系上，给定抛物线：，实数、满足，，是方程的两根，记。 ⑴ 过点作的切线交轴于点。证明：对线段上的任一点，有； ⑵ 设是定点，其中、满足，，过作的两条切线，，切点分别为，，、与轴分别交于、，线段上异于两端点的点集记为。证明：； ⑶ 设，当点取遍时，求的最小值（记为）和最大值（记为）。 解：⑴ 证明：由已知知点在上，过点的的切线的斜率为 ∴直线的方程为： 设点 ∴ ∵为线段上的任一点 ∴ ∴方程，即方程的两根 ∴ ∵为线段上的任一点 当时， Ⅰ 当时 此时 ∴ Ⅱ当时 此时 ∴ 当时， Ⅰ 当时 此时 ∴ Ⅱ当时 此时 ∴ 综上所述，对线段上的任一点，有。 ⑵ 证明： 由已知有直线的方程为： 由已知有直线的方程为： ∴ 解得 当时， 由“⑴”有： 当时， 由“⑴”有： 综上所述， ⑶ 当时，设过点的的切线的斜率为，其中 为切点处的横坐标 ∴该切线方程为： ∵为该切线上的点 ∴ ∵ ∴ 当时， 即 当时， 又 ∴ ∴ 综上所述， 又由“⑴”有： ∴ 26. 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0查看更多