2017-2018学年黑龙江省大庆第一中学高二下学期第三次阶段检测数学（文）试题-解析版

2017-2018学年黑龙江省大庆第一中学高二下学期第三次阶段检测数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 黑龙江省大庆第一中学2017-2018学年高二下学期第三次阶段检测数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出中不等式的解集的自然数解，确定集合，找出与的交集即可.‎ 详解：由题意，可得集合，‎ 因为，所以，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合和交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎2．复数(为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用复数的运算法则，共轭复数的定义和几何意义即可求解.‎ 详解：由题意，复数的共轭复数为，‎ 又由在复平面内对应的点在第三象限，所以，解得，‎ 即实数的取值范围是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了复数的运算及复数的表示，其中熟记复数的运算法则，正确化简求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎3．在梯形中，，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据几何图形得出，注意向量的化简运算.‎ 详解：因为在梯形中，，‎ 所以，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了平面向量的运算、以及平面向量的基本定理其中熟记平面向量的基本定理和向量的线性运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点( )‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先由导函数的图像分析、判断得出原函数的单调性，在由此得到函数在区间内极小值点的个数．‎ 详解：由导函数的图像可知：原函数先增再减再增再减，所以由此可知函数在区间内有1个极小值点.‎ 点睛：本题考查导数在研究函数极值中的作用，解决本题的关键是由导函数的图像得到原函数的单调性，进而判断出函数的极值，意在考查学生的分析、判断能力．‎ ‎5．已知满足约束条件，则目标函数的最大值为( )‎ A. 2 B. 6 C. 5 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：画出约束条件表示的平面区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义转化求解即可.‎ 详解：由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ 目标函数，目标函数的几何意义是可行域内的点与斜率的4倍，‎ 由题意可知的斜率最大，‎ 由，可得，则目标函数的最大值为，故选C.‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划的应用，其中解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义，着重考查了考生的数形结合思想和推理、计算能力. ‎ ‎6．在中，，，，则的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.‎ 详解：由题意，在中，‎ 利用三角形的面积公式可得，‎ 解得，‎ 又由余弦定理得，解得，‎ 由正弦定理得，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎7．若为等比数列的前项积，则“”是”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】因为圆心半径分别为，所以圆心到直线的距离，由弦心距、半径、弦长之间的关系可得弦长：，应选答案B。‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是矩形与梯形且等高的两个棱柱的组合体， ，应选答案C。‎ ‎9．我国古代名著《九章算术》用“辗转相除法”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，其程序框图如图，当输入，时，输出的( )‎ A. 17 B. 57 C. 27 D. 19‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：模拟程序框图的运行过程，逐一循环，即可求解运算的结果.‎ 详解：模拟程序框图的运行过程，如下：，‎ 执行循环体，，‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，‎ 不满足退出循环的条件，执行循环体，‎ 满足退出循环的条件，执行循环体，退出循环，输出的值为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，把握判断框的条件，逐一循环是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎10．在极坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为轴正方向建立直角坐标系。设分别是上的动点，则的最小值是( )‎ A. 2 B. 4 C. 5 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.‎ 详解：由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式，‎ 可得曲线，表示以为圆心，以1为半径的圆，‎ 曲线表示直线，‎ 则圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及点到直线的距离公式的应用问题，其中熟记直角坐标与极坐标的互化公式和合理的转化圆的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎11．若函数对任意都有，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：确定函数在上是增函数，函数在上为减函数，由题意 设，则等价于函数在上是减函数，从而可求得答案.‎ 详解：由题意，当时，恒成立，此时函数在上是增函数，‎ 有函数在上为减函数，‎ 不妨设，则，‎ 所以，即为，‎ 令，‎ 则等价于函数在上是减函数，‎ 因为，所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，即不小于在内的最大值，‎ 而函数在内是增函数，所以的最大值为，‎ 所以 ，又，所以实数的取值范围是，故选D.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎12．过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的准线的交点为，点在抛物线在准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设抛物线的准线与轴的交点为，依题意，为线段的中点，故 ，‎ 解得，所以抛物线的方程为 考点：抛物线的简单性质 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的单调递增区间为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,令 ，解得，所以增区间为. ‎ ‎14．已知函数在处取得最小值，则______________.‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】分析：把函数的解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值，此时可得的值.‎ 详解：由题意，函数，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 因为处取得最小值，所以.‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，其中根据题意构造基本不等式的形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎15．已知双曲线的左顶点为，点.若线段的垂直平分线过右焦点，则双曲线的离心率为____________________.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】分析：运用平面几何的性质可得，由的关系和离心率的公式，计算即可求得答案.‎ 详解：因为线段的垂直平分线过右焦点，所以，‎ 则，整理得，‎ 即，解得或（舍去），‎ 所以双曲线的离心率为.‎ 点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．‎ ‎16．正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球的表面积是________________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：三棱锥的三条侧棱，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的点中心连线的中点到顶点的距离，就是求的半径，然后求球的表面积即可.‎ 详解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，‎ 底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，‎ 求出正三棱柱的点中心连线的中点到顶点的距离，即为球的半径，‎ 正三棱柱中，底面边长为1，棱柱的高为，‎ 由题意可得，三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，‎ 所以正三棱柱的外接球的球心为，外接球的半径为，表面积为，‎ 球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为，‎ 所以球的半径为，‎ 所以外接球的表面积为.‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设数列的前项和为，已知.‎ ‎(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（I）Sn=2n+1﹣n﹣2（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；（Ⅱ）由第一问可得到通项，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ 详解：‎ ‎（I）∵Sn=2n+1﹣n﹣2（n∈N*），∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣n﹣2﹣[2n﹣（n﹣1）﹣2]=2n﹣1，n=1时也成立．∴an=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）bn===，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+，‎ ‎∴=+…++，‎ ‎∴=+…+﹣=﹣，‎ 可得：Tn=2﹣．‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎18．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获得利润500元，未售出的产品，每亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示，经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以(单位：)表示下一个销售季度内的市场需求量，(单位：元)，表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。‎ ‎(1)将表示为的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润不少于57000元的概率；‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，先分段写出，当时，当时，和利润的值，最后用分段函数的形式进行综合即可；‎ ‎（2）由（1）可知，利润不少于元，当且仅当，再由直方图知需求量的频率为，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润不少于元的概率的估计值.‎ 详解：(1)当时，，‎ 当时，.‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)知利润不少于57000元当且仅当.‎ 由直方图知需求量 的频率为，所以下一个销售季度内的利润不少于57000元的概率的估计值为.‎ 点睛：本题主要考查利用频率分布直方图总体估计及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解能力，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎19．在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意及图可得，现有条件证得及，再由线面垂直的判定定理，即可证得线面垂直；‎ ‎（2）设点到平面的距离为，利用等积法即得到关于 的方程，求得的值，进而求得线面角的正弦值.‎ 详解：（1）证明：在等腰梯形中，,‎ ‎,即 ‎（2）令点到平面的距离为 则 ‎，解得 又因为FB=，所以线面角sin为；另(过B作DC的垂线)‎ 点睛：本题主要考查了线面垂直的证明、点到平面的距离和线面角的求解，其中熟练掌握线面垂直的判定定理和等积法求点到平面的距离是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及数形结合思想的应用.‎ ‎20．已知.‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.‎ 视频 ‎21．已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)圆是以为直径的圆，一直线与之相切，并与椭圆交于不同的两点、，当且满足时，求的面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）由圆与直线相切，和，联立方程组，利用一元二次方程的根与系数的关系及韦达定理，求得的取值范围，进而得到三角形面积的表达式，求解面积的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ）因为，所以是线段的中点，所以是的中位线，又所以,所以又因为，‎ 解得，所以椭圆的标准方程为. ‎ ‎（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即 联立得.‎ 设 因为直线与椭圆交于不同的两点、，‎ 所以， ‎ ‎，‎ ‎，又因为，所以 解得.‎ ‎， ‎ 设，则单调递增，‎ 所以，即 ‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，抛物线的方程为.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎(2)直线的参数方程是(为参数)，与交于两点，，求的斜率.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎（2）的斜率为或．‎ ‎【解析】试题分析：(1)把抛物线的方程可利用公式化成极坐标方程；（2）由直线的参数方程求出直线的极坐标方程，再将的极坐标方程代入的极坐标方程，根据即可求出直线的斜率.‎ 试题解析：（1）由可得，‎ 抛物线的极坐标方程；‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 设所对应的极径分别为，将的极坐标方程代入的极坐标方程得 ‎,‎ ‎∵（否则，直线与抛物线没有两个公共点）‎ 于是，‎ ‎，‎ 由得，‎ 所以的斜率为1或-1．‎ ‎23．已知函数，.‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)若的定义域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）原不等式等价于 不等式的解集为；（2）由于的定义域为 在上无解.又 的最小值为 .‎ 试题解析：（1）原不等式等价于,因此不等式的解集为.‎ ‎（2）由于的定义域为,则在上无解.又,即的最小值为,所以，即.‎ 考点：不等式选讲.‎