2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-4 曲线与方程（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-4 曲线与方程（理科）

第4节 曲线与方程 题型123 求动点的轨迹方程 ‎1.（2013辽宁理20）如图，抛物线.点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）.当时，切线的斜率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（重合于时，中点为）.‎ ‎2.（2014 湖北理 21）（满分14分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹为的方程；‎ ‎（2）设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.‎ ‎3.（2014 广东理 20） （14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.‎ ‎4.（2016四川理15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：‎ ‎①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点.‎ ‎②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.‎ ‎③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称.‎ ‎④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.‎ 其中的真命题是 .‎ ‎4.②③ 解析 对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；‎ 对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；‎ 对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为 与的图像关于轴对称，所以③正确；对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的序号为②③.‎ ‎5.（2016全国乙理20（1））设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程.‎ ‎5.解析 (1)如图所示，圆的圆心为，半径，‎ 因为，所以.又因为，所以，‎ 于是 ，所以.故为定值.‎ 又，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 由，，得.故点的轨迹的方程为.‎ ‎6.（2016全国丙卷20）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于，两点，交的准线于，两点.‎ ‎（1）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎6.解析 (1)连接，，由，及，得，所以.因为是中点，，所以，所以， ，又，‎ 所以，所以（等角的余角相等），所以.‎ ‎(2)设，，准线为，，设直线与轴交点为，，因为，所以，得，即．‎ 设中点为，‎ 由，得，即.‎ 又，所以，即．‎ 易知当直线不存在时，点也满足此方程，‎ 所以中点轨迹方程为.‎ ‎7.（2017全国2卷理科20（1））设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎7．解析 （1）设点，易知，，又，‎ 所以点.又在椭圆上，所以，即．‎