专题43 电磁感应中的双杆问题-2019高考物理一轮复习专题详解

专题43 电磁感应中的双杆问题-2019高考物理一轮复习专题详解

知识回顾 ‎1．电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：‎ ‎(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．‎ ‎(2)用闭合电路欧姆定律求回路中感应电流的大小和方向．‎ ‎(3)分析研究导体受力情况(包括安培力)．‎ ‎(4)列动力学方程或平衡方程求解．‎ ‎2．两种状态处理 ‎(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态．‎ 处理方法：根据平衡条件——合力等于零列式分析．‎ ‎(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零．‎ 处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．‎ ‎3电磁感应中动力学问题的解题技巧 ‎（1）．受力分析时，要把立体图转换为平面图，同时标明电流方向及磁场B的方向，以便准确地画出安培力的方向．‎ ‎（2）．要特别注意安培力的大小和方向都有可能变化．‎ ‎（3）．根据牛顿第二定律分析a的变化情况，以求出稳定状态的速度．‎ ‎（4）．列出稳定状态下的受力平衡方程往往是解题的突破口．‎ ‎4、电磁感应中的能量问题 ‎（1）．电磁感应中能量的转化 电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，其能量转化方式为：‎ ‎（2）．求解电磁感应现象中能量问题的一般思路 ‎(1)确定回路，分清电源和外电路．‎ ‎(2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．如：‎ ‎①有滑动摩擦力做功，必有内能产生；‎ ‎②有重力做功，重力势能必然发生变化；‎ ‎③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能．‎ ‎(3)列有关能量的关系式．‎ ‎5.电磁感应中焦耳热的计算技巧 ‎1．电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.‎ ‎2．感应电流变化，可用以下方法分析：‎ ‎(1)利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．‎ ‎(2)利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少量 无论是使闭合回路的磁通量发生变化，还是使闭合回路的部分导体切割磁感线，都要消耗其它形式的能量，转化为回路中的电能。这个过程不仅体现了能量的转化，而且保持守恒，使我们进一步认识包含电和磁在内的能量的转化和守恒定律的普遍性。‎ 分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化，如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其它形式能转化为电能，做正功将电能转化为其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解。‎ 例题分析 ‎【例1】. 如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为B，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°，求：‎ ‎（1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？‎ ‎（2）ab棒能达到的最大速度是多大？‎ ‎（3）ab棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？‎ 解析：（1）ab棒由静止从M滑下到N的过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以到N处速度可求，进而可求ab棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流。‎ ab棒由M下滑到N过程中，机械能守恒，故有：‎ ‎ 解得 进入磁场区瞬间，回路中电流强度为 。‎ ‎（3）系统释放热量应等于系统机械能减少量，故有 ‎ 解得。‎ ‎【例2】. (多选)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的距离为L.导轨上面横放着两根导体棒ab、cd，与导轨一起构成闭合回路．两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，其余部分的电阻不计．在整个导轨所在的平面内都有方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．开始时，两导体棒均在导轨上静止不动，某时刻给导体棒ab以水平向右的初速度v0，则(　　)‎ A．导体棒ab刚获得速度v0时受到的安培力大小为 B．两导体棒最终将以的速度沿导轨向右匀速运动 C．两导体棒运动的整个过程中产生的热量为mv D．当导体棒ab的速度变为v0时，导体棒cd的加速度大小为 ‎【答案】：BC ‎【解析】：当导体棒ab刚获得速度v0时，导体棒cd还没开始运动，此时导体棒ab产生的感应电动势为E＝BLv0，回路中的感应电流为I＝，故此时导体棒ab受到的安培力大小为F＝BIL，以上各式联立可解得F＝‎ ，选项A错误；从开始到两导体棒达到共同速度的过程中，两棒的总动量守恒，则可得mv0＝2mv，解得其共同速度为v＝，选项B正确；由能量守恒定律得，整个运动过程中产生的总热量为Q＝mv－·2mv2，整理可得Q＝mv，选项C正确；设导体棒ab的速度变为初速度的时，导体棒cd的速度大小为v1，则由动量守恒定律可得mv0＝m·v0＋mv1，此时回路中的感应电动势为E′＝BLv0－v1，感应电流为I′＝，此时导体棒cd受到的安培力为F′＝BI′L，所以导体棒cd的加速度大小为a＝，联立以上各式可解得a＝，选项D错误．‎ 专题练习 ‎1.如图所示，水平放置的两根金属导轨位于方向垂直于导轨平面并指向纸里的匀强磁场中．导轨上有两根小金属导体杆ab和cd，其质量均为m，能沿导轨无摩擦地滑动．金属杆ab和cd与导轨及它们间的接触等所有电阻可忽略不计．开始时ab和cd都是静止的，现突然让cd杆以初速度v向右开始运动，如果两根导轨足够长，则(　　)‎ A．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，并将追上cd B．cd始终做减速运动，ab始终做加速运动，但追不上cd C．开始时cd做减速运动，ab做加速运动，最终两杆以相同速度做匀速运动 D．磁场力对两金属杆做功的大小相等 ‎【答案】C ‎2.如图所示，上下不等宽的平行导轨，EF和GH部分导轨间的距离为L，PQ和MN部分的导轨间距为3L，导轨平面与水平面的夹角为30°，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中．金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个沿导轨平面向上的作用力F，使其沿斜面匀速向上运动，同时cd处于静止状态，则F的大小为(　　)‎ A．mg B．mg C．mg D．mg ‎【答案】A ‎3.(多选)如图所示，金属棒ab、cd与足够长的水平光滑金属导轨垂直且接触良好，匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F作用下向右运动的过程中，有(　　)‎ A．安培力对ab棒做正功 B．安培力对cd棒做正功 C．abdca回路的磁通量先增加后减少 D．F做的功等于回路产生的总热量和系统动能的增量之和 ‎【答案】BD ‎【解析】ab棒向右运动产生感应电流，电流通过cd棒，cd棒受向右的安培力作用随之向右运动．设ab、cd棒的速度分别为v1、v2，运动刚开始时，v1>v2，回路的电动势E＝，电流为逆时针方向，ab、cd棒所受的安培力方向分别向左、向右，安培力分别对ab、cd棒做负功、正功，选项A错误，B正确；金属棒最后做加速度相同、速度不同的匀加速运动，且v1>v2，abdca回路的磁通量一直增加，选项C错误；对系统，由动能定理可知， F做的功和安培力对系统做的功的代数和等于系统动能的增量，而安培力对系统做的功等于回路中产生的总热量，选项D正确 ‎4.下列图象各情况中，电阻R＝0.1 Ω，运动导线的长度都为l＝0.05 m，做匀速运动的速度都为v＝10 m/s.除电阻R外，其余各部分电阻均不计．匀强磁场的磁感应强度均匀B＝0.3‎ ‎ T．试计算各情况中通过每个电阻R的电流大小和方向．‎ ‎【答案】图a：0　图b：3 A，方向沿顺时针　图c：通过每个电阻的电流分别为1.5 A，方向自上而下　图d：通过移动电阻的电流为1 A，方向自下而上，通过两个固定电阻的电流分别为0.5 A，方向自上而下 ‎5.两根相距d＝0.20 m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀速磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.2 T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r＝0.25 Ω，回路中其余部分的电阻可不计，已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v＝5.0 m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦．‎ ‎(1)求作用于每条金属细杆的拉力大小．‎ ‎(2)求两金属细杆在间距增加0.40 m的滑动过程中共产生的热量．‎ ‎【答案】(1)3.2×10－2 N　(2)1.28×10－2 J ‎【解析】1)当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为E1＝E2＝Bdv.‎ 由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为I＝，‎ 因为拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力大小为F1＝F2＝BId.‎ 由以上各式并代入数据得 F1＝F2＝＝3.2×10－2 N.‎ ‎6.图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里．导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2.x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触．两杆与导轨构成的回路的总电阻为R.F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力．已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率．‎ ‎【答案】 R(m1＋m2) ]2R ‎【解析】设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少．由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小 E＝B(l2－l1)v①‎ 回路中的电流I＝②‎ 电流沿顺时针方向．两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆x1y1的安培力为 F1＝Bl1I，方向向上，③‎ 作用于杆x2y2的安培力F2＝Bl2I，方向向下．④‎ 当杆为匀速运动时，根据牛顿第二定律有 F－m1g－m2g＋F1－F2＝0⑤‎ 解以上各式，得I＝⑥‎ v＝R⑦‎ 作用于两杆的重力的功率的大小P＝(m1＋m2)gv⑧‎ 电阻上的热功率Q＝I2R⑨‎ 由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得 P＝R(m1＋m2)g⑩‎ Q＝[]2R.⑪ ‎ ‎7.图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一水平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)竖直向下．导轨的a1b1段与a2b2段的距离为l1；c1d1段与c2d2段的距离为l2.x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨间的动摩擦因数为μ.两杆与导轨构成的回路的总电阻为R.F为作用于金属杆x1y1上的水平向右的恒力．已知两杆运动到图示位置时，都已匀速运动，求此时：(1)杆的速度大小 ；(2)回路电阻上的热功率．‎ ‎【答案】见解析 ‎8.如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ间距为l＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒的质量均为0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.2‎ ‎ T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能保持静止．取g＝10 m/s2，问：‎ ‎(1)通过cd棒的电流I是多少，方向如何？‎ ‎(2)棒ab受到的力F多大？‎ ‎(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？‎ ‎【答案】(1)1 A，方向由d到c　(2)0.2 N　(3)0.4 J ‎(3)设在时间t内棒cd产生Q＝0.1 J热量，由焦耳定律可知 Q＝I2Rt⑤‎ 设ab棒匀速运动的速度大小为v，则产生的感应电动势 E＝Blv⑥‎ 由闭合电路欧姆定律知 I＝⑦‎ 由运动学公式知，在时间t内，棒ab沿导轨的位移 x＝vt⑧‎ 力F做的功 W＝Fx⑨‎ 综合上述各式，代入数据解得 W＝0.4 J ‎9.相距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图甲所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面．质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨电阻不计，细杆ab、cd电阻分别为R1＝0.6 Ω、R2＝0.4 Ω.整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中．当ab在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动．测得拉力F与时间t的关系如图乙所示．g＝10 m/s2，求：‎ ‎(1)ab杆的加速度a的大小；‎ ‎(2)当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小．‎ ‎(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了5.2 J的功，通过cd杆横截面的电荷量为2 C，求该过程中，ab杆所产生的焦耳热．‎ ‎【答案】(1)10 m/s2　(2)2 m/s　(3)2.94 J ‎(3)ab杆发生的位移x＝＝ m＝0.2 m，‎ 对ab杆应用动能定理：WF－μmgx－W安＝mv2，‎ 代入数据解得W安＝4.9 J，‎ 根据功能关系：Q总＝W安，‎ 所以ab上的热量Qab＝Q总＝2.94 J。‎ ‎10.如图(a)所示，间距为l、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度Bt的大小随时间t变化的规律如图(b)所示．t＝0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域Ⅰ内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．已知cd棒的质量为m、电阻为R，ab棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l，在t＝tx(tx未知)ab棒恰好进入区域Ⅱ，重力加速度为g，求：‎ ‎ ‎ ‎(1)通过cd棒的电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向；‎ ‎(2)当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒消耗的电功率；‎ ‎(3)ab棒开始下滑的位置离EF的距离；‎ ‎(4)ab棒开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量．‎ ‎【答案】(1)d→c　垂直于斜面向上　(2) 　(3)3l　(4)4mglsin θ ‎(3)ab棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动，a＝＝gsin θ，cd棒始终静止不动，ab棒在到达区域Ⅱ前、后，回路中产生的感应电动势不变，则ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动，可得：＝Blvt，即＝Bl·gsin θtx，所以tx＝，ab棒在区域Ⅱ中做匀速直线运动的速度vt＝‎ ‎，则ab棒开始下滑的位置离EF的距离s＝at＋2l＝3l.‎ ‎(4)ab棒在区域Ⅱ中运动的时间t2＝＝，ab棒从开始下滑至EF的总时间t＝tx＋t2＝2，E＝Blvt ＝Bl，ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产生的热量：Q＝EIt＝4mglsin θ ‎11.如图a所示，竖直平面内固定间距为L的光滑金属导轨，虚线下方存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B.两根质量相同、电阻均为R的完全相同金属杆水平放置在导轨上，与导轨接触良好．在磁场外固定杆Ⅰ，在磁场内静止释放杆Ⅱ，其v－t关系如图b所示．经过时间t0后认为开始匀速运动，速度v0.求：‎ ‎ ‎ ‎(1)单根金属杆质量m.‎ ‎(2)若以竖直向下的初速度2v0释放杆Ⅱ，释放后其加速度大小随时间的变化关系与静止释放后相同，试在图b中画出t0时间内的v－t图象．‎ ‎(3)杆Ⅱ匀速后，杆Ⅰ由静止释放，发现杆Ⅰ在磁场内外都保持自由落体运动，则杆Ⅰ释放位置离磁场上边界多少高度？‎ ‎(4)求在上问中，杆Ⅰ自静止释放后杆Ⅰ上共能发出多少热量？‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2)‎ ‎(3) 　(4) ‎ ‎【解析】(1)匀速时杆Ⅱ受力平衡 mg＝FA＝IBL＝‎ m＝.‎ ‎(2)如图 ‎12.如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L，与水平面的夹角为θ，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，虚线上方轨道光滑且磁场方向向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向向下．当导体棒EF以初速度v0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN一直静止在导轨上，若两导体棒质量均为m、电阻均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g，在此过程中导体棒EF上产生的焦耳热为Q，求：‎ ‎(1)导体棒MN受到的最大摩擦力；‎ ‎(2)导体棒EF上升的最大高度．‎ ‎【答案】(1) ＋mgsin θ　(2) ‎ ‎【解析】1)EF获得向上初速度v0时，产生感应电动势E＝BLv0‎ 电路中电流为I，由闭合电路欧姆定律：I＝‎ 此时对导体棒MN受力分析，由平衡条件：FA＋mgsin θ＝Ff FA＝BIL 解得：Ff＝＋mgsin θ ‎(2)导体棒上升过程MN一直静止，对系统由能的转化和守恒定律：mv＝mgh＋2Q 解得：h＝‎ ‎13.如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁场感应度大小均为B＝0.5 T，在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1‎ ‎ kg、电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg、电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与轨道垂直且两端与轨道保持良好接触，取g＝10 m/s2，问 ‎(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；‎ ‎(2)ab将要向上滑动时，cd的速度v多大；‎ ‎(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少．‎ ‎【答案】(1)由a流向b　(2)5 m/s　(3)1.3 J ‎【解析】(1)由a流向b ‎(3)设cd棒的运功过程中电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒有 m2gxsin θ＝Q总＋m2v2‎ 又Q＝Q总 解得Q＝1.3 J ‎14.如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑．求 ‎(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；‎ ‎(2)金属棒运动速度的大小．‎ ‎【答案】(1)mg(sin θ－3μcos θ)　(2)(sin θ－3μcos θ) ‎ ‎(2)由安培力公式得F＝BIL⑥‎ 这里I是回路abdca中的感应电流．ab棒上的感应电动势为E＝BLv⑦‎ 式中，v是ab棒下滑速度的大小．由欧姆定律得I＝⑧‎ 联立⑤⑥⑦⑧式得v＝(sin θ－3μcos θ) ⑨‎ ‎15.如图所示，平行金属导轨与水平面间夹角均为θ＝ 37°，导轨间距为1 m ，电阻不计，导轨足够长．两根金属棒 ab 和 a′b′的质量都是0.2 kg，电阻都是1 Ω，与导轨垂直放置且接触良好，金属棒a′b′和导轨之间的动摩擦因数为0.5 ，金属棒ab和导轨无摩擦，导轨平面PMKO处存在着垂直轨道平面向上的匀强磁场，导轨平面PMNQ处存在着沿轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度 B 的大小相同．让a′b′固定不动，将金属棒ab 由静止释放，当 ab 下滑速度达到稳定时，整个回路消耗的电功率为 18 W ‎ .求 ：‎ ‎(1)ab达到的最大速度多大？‎ ‎(2)ab下落了30 m 高度时，其下滑速度已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量Q多大？‎ ‎(3)在ab下滑过程中某时刻将a′b′固定解除，为确保a′b′始终保持静止，则a′b′固定解除时ab棒的速度有何要求？ (g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)‎ ‎【答案】(1)15 m/s　(2)37.5 J　(3)10 m/s≤v≤15 m/s ‎(3)由电功率定义可知：P＝I2·2R 解得：I＝3 A 又E＝BLv 达到稳定时，对ab棒由平衡条件：mgsin 37°＝BIL 解得： B＝0.4 T 对a′b′棒：垂直轨道方向：FN＝mgcos 37°＋BIL 由滑动摩擦定律：Ff＝μFN 由平衡条件：Ff≥mgsin 37°‎ 代入已知条件，解得：v≥10 m/s 则a′b′固定解除时ab棒的速度： 10 m/s≤v≤15 m/s。‎