2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章 9 第9讲 曲线与方程
第9讲 曲线与方程
1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．
3．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系；
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
(3)列式——列出动点P所满足的关系式；
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( )
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( )
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．( )
(5)y＝kx与x＝y表示同一直线．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
[教材衍化]
1．(选修21P37练习T3改编)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
解析：选D.由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
2．(选修21P35例1改编)曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________．
解析：在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.
答案：2
3．(选修21P37A组T4改编)已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．
解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．
答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)
[易错纠偏]
(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；
(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．
1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．
(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．
(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定
直线x＝－1的距离相等，其轨迹是抛物线，且＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．
答案：(1)圆 (2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)
2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．
解析：由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2
eq r(（x－1）2＋y2)，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．
答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
定义法求轨迹方程
已知A(－5，0)，B(5，0)，动点P满足||，||，8成等差数列，则点P的轨迹方程为________．
【解析】 由已知得||－||＝8，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
且a＝4，b＝3，c＝5，
所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥4)．
【答案】 －＝1(x≥4)
(变条件)若将本例中的条件“||，||，8”改为“||，||，8”，求点P的轨迹方程．
解：由已知得||－||＝8，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b＝3，c＝5，
所以点P的轨迹方程为－＝1(x≤－4)．
定义法求轨迹方程
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
1．(2020·浙江名校联考)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________________．
解析：设A(x，y)，由题意可知D.又因为|CD|＝3，所以＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y≠0，所以点A
的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
2．(2020·杭州七校模拟)已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．求动圆C的圆心的轨迹方程．
解：圆M：(x－2)2＋y2＝64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R＝8.因为|AM|＝4
|AM|.
所以圆心C的轨迹是中心在原点，焦点为A，M，长轴长为8的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝4，c＝2.所以b2＝a2－c2＝12.
所以动圆C的圆心的轨迹方程为＋＝1.
直接法求轨迹方程(高频考点)
直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容．主要命题角度有：
(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)；
(2)无明确等量关系求轨迹方程．
角度一 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)
已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为( )
A．x2＝4y B．y2＝3x
C．x2＝2y D．y2＝4x
【解析】 设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
因为·＝·，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，
整理得x2＝4y，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
【答案】 A
角度二 无明确等量关系求轨迹方程
(2020·金华十校联考)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求直角顶点C的轨迹方程．
【解】 法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，
所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
直接法求曲线方程的一般步骤
(1)建立合理的直角坐标系；
(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；
(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．
[提醒] 对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．
1．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________．
解析：如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)，
因为|PA|＝2|PB|，
所以 ＝2，
整理得x2＋y2－x＋1＝0，
即＋y2＝.
所以动点P的轨迹方程为＋y2＝.
答案：＋y2＝
2．如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴非负半轴于A点，l2
交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为(x，y)．
因为M(x，y)为线段AB中点，所以点A，B的坐标分别为A(2x，0)，B(0，2y)．
当x≠1时，因为l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，所以kPA·kPB＝－1，即·＝－1(x≠1)，
化简得x＋2y－5＝0(x≠1)．
当x＝1时，A，B分别为(2，0)，(0，4)，
所以线段AB的中点为(1，2)，
满足方程x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．
综上得M的轨迹方程为x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．
利用相关点法(代入法)求轨迹方程
(2020·杭州模拟)已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．椭圆
【解析】 因为点P满足＝(＋)，
所以Q是线段PF1的中点．设P(x1，y1)，
由于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，
则F1(－，0)，故Q，
由点Q在椭圆C：＋＝1上，
则点P的轨迹方程为＋＝1，
故点P的轨迹为椭圆．
【答案】 D
1．(2020·浙江名校联考)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为________．
解析：由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，则有
直线A1P的方程为y＝(x＋)，①
直线A2Q的方程为y＝(x－)，②
联立①②，解得所以③
所以x≠0，且|x|<，因为点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为＋y2＝1(x≠0，且x≠±)．
答案：＋y2＝1(x≠0，且x≠±)
2．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，
＝(0，y0)．
由＝ 得
x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，
所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
[基础题组练]
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0
⇔故或
2．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )
A．y＝16x2 B．y＝－16x2
C．x2＝16y D．x2＝－16y
解析：选C.由条件知，动点M到F(0，4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x2＝16y.
3．(2020·嘉兴模拟)已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2x B．y＝2x
C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
解析：选B.设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，点A是线段RP的中点，所以即
因为点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
所以y1＝2x1－4，
所以－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
4．(2020·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为( )
A．相交直线 B．双曲线
C．抛物线 D．椭圆弧
解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB＝a，P(x，y，z)到直线OA，BC的距离相等，
所以x2＋z2＝(x－a)2＋y2，
所以2ax－y2＋z2－a2＝0，
若被平面xOy所截，则z＝0，y2＝2ax－a2；若被平面xOz所截，则y＝0，z2＝－2ax＋a2，故选C.
5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，PM，
则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，
所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
6．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
8．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P
的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，
因为△MPN为直角三角形，
所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，
整理得，x2＋y2＝4.
因为M，N，P不共线，所以x≠±2，
所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
答案：x2＋y2＝4(x≠±2)
9．已知点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2，0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q(x，y)的轨迹方程是________．
解析：依题意有|QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝4>2，故点Q的轨迹是以C，F为焦点的双曲线，a＝1，c＝2，得b2＝3，所求轨迹方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
10．(2020·杭州高级中学模拟)已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
解析：＝＋，如图，＋＝＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝，
即P点的坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.
答案：＋＝1
11．设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，
因为⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0.
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
所以
即所以－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
12．已知P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1，0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．
解：(1)圆A的圆心为A(－1，0)，半径等于2.
由已知|MB|＝|MP|，
于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2>2＝|AB|，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，
即a＝，c＝1，b＝1，
所以曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P.
于是直线AP的方程为y＝(x＋1)．
由
整理得5x2＋2x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－.
由于点M在线段AP上，
所以点M坐标为.
[综合题组练]
1．已知log2x，log2y，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
解析：选A.由2log2y＝2＋log2x得log2y2＝log2(4x)，故点M(x，y)的轨迹方程为y2＝4x(x＞0，y＞0)，即y＝2(x＞0)，故选A.
2．已知点A，B分别是射线l1：y＝x(x≥0)，l2：y＝－x(x≥0)上的动点，O为坐标原点，且△OAB的面积为定值2，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
解析：由题意可设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，M(x，y)，
其中x1>0，x2>0，则
因为△OAB的面积为定值2，
所以S△OAB＝OA·OB＝(x1)(x2)＝x1x2＝2.
①2－②2得x2－y2＝x1x2，而x1x2＝2，
所以x2－y2＝2.
由于x1>0，x2>0，所以x>0，
即所求点M的轨迹方程为x2－y2＝2(x>0)．
答案：x2－y2＝2(x>0)
3．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
解析：因为原点O到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离的积是1，而a2＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；
因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，设M是曲线C上任意一点，所以|MF1||MF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；
因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．
答案：②③
4．已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．
解：(1)由题意，得＝5，即＝5，
化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.
轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段长度为2＝8，
所以l：x＝－2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝，
由题意，得＋42＝52，解得k＝.
所以直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.
5.(2020·温州市普通高中模考)如图，P为圆M：(x－)2＋y2＝24上的动点，定点Q(－，0)，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.
(1)求动点N的轨迹方程；
(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x2＋y2＝2的切线l交曲线C于A，B两点，求|OA|·|OB|的最大值．
解：(1)连接QN，因为|NM|＋|NQ|＝|NM|＋|NP|＝|MP|＝2＞2＝|MQ|，
所以动点N的轨迹为椭圆，
所以a＝，c＝，所以b2＝3.
所以动点N的轨迹方程为＋＝1.
(2)①当切线l垂直坐标轴时，|OA|·|OB|＝4.
②当切线l不垂直坐标轴时，设切线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线和圆相切，得m2＝2＋2k2.
由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(k2＋1)·－km·＋m2
＝＝0，
所以∠AOB＝90°，所以|OA|·|OB|＝|AB|，
又因为|AB|＝ |x1－x2|
＝·
＝，
令t＝k2，则|AB|＝2
＝2≤3，
当且仅当k＝±时，等号成立，
所以|OA|·|OB|≤3，
综上，|OA|·|OB|的最大值为3.
