新人教版九年级数学上册单元检测题全套（附答案）
1
第二十一章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列方程是一元二次方程的是 D
A．3x2＋1
x
＝0 B．2x－3y＋1＝0
C．(x－3)(x－2)＝x2 D．(3x－1)(3x＋1)＝3
2．(舟山中考)用配方法解方程 x2＋2x－1＝0 时，配方结果正确的是 B
A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3
3．(天津中考)方程 x2＋x－12＝0 的两个根为 D
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
4．(2018·宁夏)若 2－ 3是方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，则 c 的值是 A
A．1 B．3－ 3 C．1＋ 3 D．2＋ 3
5．(2018·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是 C
A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
6．(2018·桂林)已知关于 x 的一元二次方程 2x2－kx＋3＝0 有两个相等的实根，则 k
的值为 A
A．±2 6 B．± 6 C．2 或 3 D. 2或 3
7．(2018·眉山)我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房
地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续
两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是 C
A．8% B．9% C．10% D．11%
8．(2018·黑龙江)某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一
场，计划安排 15 场比赛，则共有多少个班级参赛？C
A．4 B．5 C．6 D．7
9．已知 x 为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，那么 x2＋3x 的值为 A
A．1 B．－3 或 1 C．3 D．－1 或 3
10．(贵港中考)若关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分
别为 a 和 b，且 a2－ab＋b2＝18，则a
b
＋b
a
的值是 D
A．3 B．－3 C．5 D．－5
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．已知(m－1)x|m|＋1－3x＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m＝－1.
12．(2018·毕节)已知关于 x 的一元二次方程 x2－x＋m－1＝0 有两个不相等的实数根，
则实数 m 的取值范围是 m＜5
4
.
13．(2018·日照)为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设
置一块面积为 1200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 40 米．设绿地宽为 x 米，根据题意，
可列方程为 x(x＋40)＝1200.
14．(2018·泸州)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两实数根，则 1
2x1＋1
＋
2
1
2x2＋1
的值是 6.
15．已知“” 是一种数学运算符号：n 为正整数时，n ＝n×(n－1)×(n－
2)×…×2×1，如 1 ＝1，2 ＝2×1，3 ＝3×2×1.若 n
（n－2）
＝90，则 n＝10.
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)解下列方程：
(1)1
2
(2x－5)2－2＝0; (2)(x＋1)(x－1)＝2 2x.
解：(1)x1＝7
2
，x2＝3
2
(2)x1＝ 2＋ 3，x2＝ 2－ 3
17．(9 分)(2018·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋a＝0 的两实数根 x1，x2
满足 x1x2＋x1＋x2＞0，求 a 的取值范围．
解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，解得 a≤1，
由韦达定理可得 x1x2＝a，x1＋x2＝2，∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，解得 a＞－2，∴－2
＜a≤1
18．(9 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－2＝0 的一个解与方程x＋2
x－1
＝4 的解相同．
(1)求 k 的值；
(2)求方程 x2＋kx－2＝0 的另一个解．
解：(1)解x＋2
x－1
＝4，得 x＝2，经检验 x＝2 是分式方程的解，∴x＝2 是 x2＋kx－2＝0
的一个解，∴4＋2k－2＝0，解得 k＝－1 (2)由(1)知方程为 x2－x－2＝0，解得 x1＝2，x2
＝－1，∴方程 x2＋kx－2＝0 的另一个解为 x＝－1
3
19．(9 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k－4＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
解：(1)Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k，∵方程有两个不等的实根，∴Δ＞0，即 20－8k＞
0，∴k＜5
2
(2)∵k 为正整数，∴0＜k＜5
2
即 k＝1 或 2，x1＝－1＋ 5－2k，x2＝－1－ 5－2k，
∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数，当 k＝1 时， 5－2k＝ 3，k＝2 时， 5－2k＝
1，∴k＝2
20．(9 分)如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为
400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？
解：(1)设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为(100－4x)米，根据题意得(100－4x)x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5，则 100－4x＝20 或 100－4x＝80，∵80＞25，∴x2＝5 舍去，即 AB＝20，
BC＝20，则羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米，20 米
21．(10 分)(2018·遵义)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/
千克，售价不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销
售量 y(千克)与该天的售价 x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．
销售量 y(千克) … 34.8 32 29.6 28 …
售价 x(元/千克) … 22.6 24 25.2 26 …
(1)某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量．
(2)如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？
解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，将(22.6，34.8)，(24，32)代入 y＝
kx＋b，
22.6k＋b＝34.8，
24k＋b＝32，
解得
k＝－2，
b＝80，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－2x＋80.当 x
＝23.5 时，y＝－2x＋80＝33.答：当天该水果的销售量为 33 千克 (2)根据题意得：(x－
20)(－2x＋80)＝150，解得：x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25.答：如果某天销售这
种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为 25 元
4
22．(10 分)(2018·宜昌)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要
污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和
“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案
进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n
计算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12.经过三年治理，境内长江水
质明显改善．
(1)求 n 的值；
(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三
年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数
量；
(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个
相同的数值 a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲
方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降
低的 Q 值及 a 的值．
解：(1)由题意可得：40n＝12，解得：n＝0.3 (2)由题意可得：40＋40(1＋m)＋40(1
＋m)2＝190，解得：m1＝1
2
，m2＝－7
2
(舍去)，∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40(1
＋m)＝40(1＋50%)＝60(家) (3)设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，第二年 Q 值因乙
方案治理降低了 100n＝100×0.3＝30，解法一：(30－a)＋2a＝39.5，a＝9.5，x＝20.5；
解法二：
x＋a＝30，
x＋2a＝39.5，
解得：
x＝20.5
a＝9.5
23．(11 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向
终点 B 以 1 cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2 cm/s 的速
度移动．如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动．设运动时
间为 t s.
(1)填空：BQ＝2t cm，PB＝(5－t) cm；(用含 t 的代数式表示)
(2)当 t 为何值时，PQ 的长度等于 5 cm?
(3)是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2？若存在，请求出此时 t 的
值；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得 t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2，∴当 t＝2
5
s 时，PQ 的长度等于 5 cm (3)存在，t＝1 s 时，能够使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2.
理由如下：长方形 ABCD 的面积是 5×6＝30(cm2)，若使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2，
则△PBQ 的面积为 30－26＝4(cm2)，则(5－t)×2t×1
2
＝4，解得 t1＝4(不合题意，舍去)，
t2＝1，即当 t＝1 s 时，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2
第二十二章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
6
1．(2018·甘孜州)抛物线 y＝－2(x－3)2－4 的顶点坐标为 C
A．(－3，4) B．(－3，－4) C．(3，－4) D．(3，4)
2．(2018·哈尔滨)将抛物线 y＝－5x2＋1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单
位长度，所得到的抛物线为 A
A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3
3．已知抛物线 y＝2(x－3)(x＋1)，当 y>0 时，对应的 x 的取值范围是 C
A．x>3 B．x<－1 C．x<－1 或 x>3 D．－1
AC，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，连接 DE，
CD.将△BDE 绕点 E 顺时针旋转 180°得到△CFE，过点 D 作 DC 的垂线交 CF 的延长线于点 G.
小明得出了以下猜想：①DF＝AC；②四边形 ADFC 是菱形；③线段 DF 与 BC 互相垂直平分；
④△ABC≌△GCD.其中一定成立的是①③.(请填上所有正确结论的序号)
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)(2018·眉山)在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直
角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)作出△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标；
(2)作出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2，并写出点 C2 的坐标；
(3)已知△ABC 关于直线 l 对称的△A3B3C3 的顶点 A3 的坐标为(－4，－2)，请直接写出直
线 l 的函数解析式．
14
解：
(1)如图，△A1B1C1 为所作，C1(－1，2) (2)如图，△A2B2C2 为所作，C2(－3，－2) (3)
因为 A 的坐标为(2，4)，A3 的坐标为(－4，－2)，所以直线 l 的函数解析式为 y＝－x
17．(9 分)(2018·枣庄)如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形；
(3)在图③中，画出△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90°后的三角形．
解：(1)如图所示，△DCE 为所求作 (2)如图所示，△ACD 为所求作 (3)如图所示△ECD
15
为所求作
18．(9 分)如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，点 F 在 CB 的延长线上，且 DE＝
BF.
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)将△ADE 顺时针旋转多少度后与△ABF 重合，旋转中心是什么？
解：(1)利用 SAS 即可得证 (2)将△ADE 顺时针旋转 90°后与△ABF 重合，旋转中心是
点 A
19．(9 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(－2，0)，等边△AOC 经过
平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC 沿 x 轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 2 个单位长度；△AOC 与△BOD
关于直线对称，则对称轴是 y 轴；△AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以
是 120 度；
(2)连接 AD，交 OC 于点 E，求∠AEO 的度数．
解：(2)∵等边△AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120°得到△DOB，∴OA＝OD，∵∠AOC＝∠BOD
＝60°，∴∠DOC＝60°，即 OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，∴OE 垂直平分 AD，∴∠AEO
＝90°
20．(9 分)(娄底中考)如图，将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转α度到△A1BC1 的位
置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1，BC1 分别交于点 E，F.
(1)求证：△BCF≌△BA1D；
(2)当∠C＝α度时，判定四边形 A1BCE 的形状，并说明理由．
16
解：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针
方向旋转α度到△A1BC1 的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，由 ASA
可证△BCF≌△BA1D (2)四边形 A1BCE 是菱形，理由如下：∵将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针
方向旋转α度到△A1BC1 的位置，∴∠A1＝∠A，∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∵
∠C＝α，∴∠AED＝∠C，∴A1E∥BC，由(1)知△BCF≌△BA1D，∴∠C＝∠A1，∴∠A1＝∠AED
＝α，∴A1B∥AC，∴四边形 A1BCE 是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形 A1BCE 是菱形
21．(10 分)(日照中考)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上两点，且∠EAF
＝45°，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，连接 EQ.
(1)求证：EA 是∠QED 的平分线；
(2)求证：EF2＝BE2＋DF2.
解：(1)∵将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，∴AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，可证
△AQE≌△AFE(SAS)，∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA 是∠QED 的平分线 (2)由(1)得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，在 Rt△QBE 中，QB2＋BE2＝QE2，又 QB＝DF，∴EF2＝BE2＋DF2
22．(10 分)(2018·临沂)将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩
形 AEFG.
(1)如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD＝CD；
(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
解：(1)由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝
∠ABE，又∵∠ABE＋∠EDA＝90°＝∠AEB＋∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED
≌△FDE(SAS)，∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF (2)如图，当 GB＝GC 时，点 G 在
BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点 G 在 AD 右侧时，取 BC 的中点 H，连接 GH 交
AD 于 M，
17
∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形 ABHM 是矩形，∴AM＝BH＝1
2
AD＝1
2
AG，∴GM 垂直平分 AD，
∴GD＝GA＝DA，∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60° ②当点 G 在
AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°－60°＝
300°
23．(11 分)如图①，在△ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若 B，P
在直线 a 的异侧，BM⊥直线 a 于点 M，CN⊥直线 a 于点 N，连接 PM，PN.
(1)延长 MP 交 CN 于点 E(如图②)，求证：①△BPM≌△CPE；②PM＝PN；
(2)若直线 a 绕点 A 旋转到图③的位置时，点 B，P 在直线 a 的同侧，其他条件不变，此
时 PM＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形
MBCN 的形状及此时 PM＝PN 还成立吗？不必说明理由．
解：(1)①由 ASA 可证 ②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，PM＝1
2
ME，又∵在 Rt△MNE 中，
PN＝1
2
ME，∴PM＝PN (2)成立．证明：延长 MP 与 NC 的延长线相交于点 E，由 ASA 易证△BPM
≌△CPE，∴PM＝PE，PM＝1
2
ME，又∵在 Rt△MNE 中，PN＝1
2
ME，∴PM＝PN (3)四边形 MBCN
是矩形，PM＝PN 成立
第二十四章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
18
1．⊙O 的半径为 4 cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝6 cm，则点 A 与⊙O 的位置关系为 C
A．点 A 在圆上 B．点 A 在圆内 C．点 A 在圆外 D．无法确定
2．(黔西南州中考)如图，在⊙O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直于点 D，且 AB＝8，OC＝5，
则 CD 的长是 C
A．3 B．2.5 C．2 D．1
3．(2018·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C
的度数为 D
A．84° B．60° C．36° D．24°
,第 2 题图) ,第 3 题图) ,
第 4 题图) ,第 5 题图)
4．(2018·福建)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，若
∠ACB＝50°，则∠BOD 等于 D
A．40° B．50° C．60° D．80°
5．(兰州中考)如图，经过原点 O 的⊙P 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是劣弧 OB
上一点，则∠ACB＝B
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
6．(南京中考)已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为 B
A．1 B. 3 C．2 D．2 3
7．如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心
为 O，三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10 cm 处，铁片与直尺的唯一公共点 A 落在直尺的 14
cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为 B.下列说法错误的是 C
A．圆形铁片的半径是 4 cm B．四边形 AOBC 为正方形
C．弧 AB 的长度为 4π cm D．扇形 OAB 的面积是 4π cm2
,第 7 题图) ,第 8 题图)
,第 9 题图) ,第 10 题图)
8．(2018·烟台)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC＝124°，
点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为 C
19
A．56° B．62° C．68° D．78°
9．(2018·十堰)如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝100°，OA＝12，C 是 OB 的中点，CD⊥OB
交AB︵于点 D，以 OC 为半径的CE︵交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是 C
A．12π＋18 3 B．12π＋36 3 C．6π＋18 3 D．6π＋36 3
10．如图，⊙O 的半径为 2，AB，CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点(P
与 A，B，C，D 不重合)，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥CD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点
P 沿着圆周转过 45°时，点 Q 走过的路径长为 A
A.π
4
B.π
2
C.π
6
D.π
3
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2018·镇江)如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝
40°.
,第 11 题图) ,第 12 题图) ,
第 13 题图) ,第 14 题图)
12．(2018·兰州)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为 3，∠C＝55°，则劣弧AB︵的长是
11π
6
.(结果保留π)
13．(2018·广元)如图是一块环形玉片的残片，作外圆的弦 AB 与内圆相切于点 C，量
得 AB＝8 cm，点 C 与AB︵的中点 D 的距离 CD＝2 cm.则此圆环形玉片的外圆半径为 5cm.
14．(2018·山西)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 是 AB 的中
点，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作⊙O 的切线 FG，交 AB
于点 G，则 FG 的长为12
5
.
15．(2018·宁波)如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，
连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3
或 4 3.
三、解答题(共 75 分)
20
16．(8 分)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm，求直径
AB 的长．
解：∵AB⊥CD，∴PC＝PD，连接 OC，在 Rt△OCP 中，设 OC＝x cm，则有 OP2＋PC2＝OC2，
∴(1
2
x)2＋32＝x2，∵x＞0，∴x＝2 3，所以直径 AB 为 4 3 cm
17．(9 分)(2018·徐州)如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 外，∠ABC 的平分线与⊙O
交于点 D，∠C＝90°.
(1)CD 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若∠CDB＝60°，AB＝6，求AD︵的长．
解：
(1)相切．理由如下：连接 OD，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD 与⊙O 相切 (2)
若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴AD︵的长＝
60×π×3
180
＝π
18．(9 分)已知圆锥的底面半径为 r＝20 cm，高 h＝20 15 cm，现在有一只蚂蚁从底边
上一点 A 出发，在侧面上爬行一周又回到 A 点．
21
(1)求圆锥的全面积；
(2)求蚂蚁爬行的最短距离．
解：
(1)2000π cm2 (2)如图，设扇形的圆心角为 n°，圆锥的顶点为 E，∵r＝20 cm，h＝
20 15 cm，∴由勾股定理可得母线 l＝ r2＋h2＝80 cm，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为
2×20π＝nπ×80
180
，∴n＝90，即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得 AA′＝
A′E2＋AE2＝80 2 cm，∴蚂蚁爬行的最短距离为 80 2 cm
19．(9 分)(2018·天津)已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC＝38°.
(Ⅰ)如图①，若 D 为AB︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；
(Ⅱ)如图②，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DP∥AC，求∠OCD 的大
小．
解：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC
＝∠ACB－∠BAC＝90°－38°＝52°，∵D 为的AB︵中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，
∴∠ABD＝45°
(Ⅱ)连接 OD，∵DP 切⊙O 于点 D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由 DP∥AC，又∠BAC＝
38°，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD 是△ODP 的一个外角，∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°，
∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA
＝64°－38°＝26°
22
20．(9 分)(2018·云南)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点 D 在 AB 的延
长线上，∠BCD＝∠BAC.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．
解：(1)连接 OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵
AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC
是半径，∴CD 是⊙O 的切线
(2)设⊙O 的半径为 r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB＝60°，
∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2 3，易求 S△AOC
＝1
2
×2 3×1＝ 3，S 扇形 OAC＝120π×4
360
＝4π
3
，∴阴影部分面积为4
3
π－ 3
21．(10 分)(河南中考)如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上任一点．
(1)若∠BAC＝30°，过点 C 作半圆 O 的切线交直线 AB 于点 P.求证：△PBC≌△AOC；
(2)若 AB＝6，过点 C 作 AB 的平行线交半圆 O 于点 D.当以点 A，O，C，D 为顶点的四边
形为菱形时，求BC︵的长．
解：(1)∵AB 为半圆 O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵
OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠PBC＝120°，
∵CP 是⊙O 的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，在△PBC 和△AOC 中，
∠ACO＝∠PCB，
OC＝BC，
∠AOC＝∠PBC，
∴△PBC≌△AOC(ASA)
23
(2)如图①，连接 OD，AD，CD，∵四边形 AOCD 是菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC，则 OA＝OD
＝OC，∴△AOD 与△COD 是等边三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC＝60°，∴BC︵的长
＝60π×3
180
＝π；如图②，同理∠BOC＝120°，∴BC︵的长＝120π×3
180
＝2π，综上所述，BC︵的
长为π或 2π
22．(10 分)(2018·长沙)如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE
∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC＝8，AD＝3.
(1)求 CE 的长；
(2)求证：△ABC 为等腰三角形；
(3)求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离．
解：(1)∵AD 是边 BC 上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD 为△BCE 的中位线，∴CE
＝2AD＝6 (2)证明：∵BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，∴
△ABC 为等腰三角形
(3)如图，连接 BP，BQ，CQ，在 Rt△ABD 中，AB＝ 32＋42＝5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q
的半径为 r，在 Rt△PBD 中，(R－3)2＋42＝R2，解得 R＝25
6
，∴PD＝PA－AD＝25
6
－3＝7
6
，∵S
△ABQ＋S△BCQ＋S△ACQ＝S△ABC，∴1
2
·r·5＋1
2
·r·8＋1
2
·r·5＝1
2
·3·8，解得 r＝4
3
，即 QD＝4
3
，
∴PQ＝PD＋QD＝7
6
＋4
3
＝5
2
，△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为5
2
23．(11 分)(淮安中考)问题背景：
如图①，在四边形 ADBC 中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段 AC，BC，CD 之间
的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点 D，逆时针旋转 90°到△AED 处，点 B，C
分别落在点 A，E 处(如图②)，易证点 C，A，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三
24
角形，所以 CE＝ 2CD，从而得出结论：AC＋BC＝ 2CD.
简单应用：
(1)在图①中，若 AC＝ 2，BC＝2 2，则 CD＝3；
(2)如图③，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙上，AD︵＝BD︵，若 AB＝13，BC＝12，求 CD 的
长；
拓展规律：
(3)如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若 AC＝m，BC＝n(m＜n)，求 CD 的长．(用
含 m，n 的代数式表示)
解：(1)由题意知：AC＋BC＝ 2CD，∴ 2＋2 2＝ 2CD，∴CD＝3
(2)连接 AC，BD，AD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD︵＝BD︵，∴AD＝
BD，将△BCD 绕点 D 顺时针旋转 90°到△AED 处，如图①，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC＋∠DAC
＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°，∴E，A，C 三点共线，∵AB＝13，BC＝12，∴由勾股定
理可求得 AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝17，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB
＋∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC 是等腰直角三角形，∴CE＝ 2CD，
∴CD＝17 2
2
(3)以 AB 为直径作⊙O，连接 OD 并延长交⊙O 于点 D1，连接 D1A，D1B，D1C，如图②，由
(2)的证明过程可知：AC＋BC＝ 2D1C，∴D1C＝ 2（m＋n）
2
，又∵D1D 是⊙O 的直径，∴∠DCD1
＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2＋n2，∴D1D2＝AB2＝m2＋n2，∵D1C2
＋CD2＝D1D2，∴CD2＝m2＋n2－（m＋n）2
2
＝（m－n）2
2
，∵m＜n，∴CD＝ 2（n－m）
2
25
第二十五章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2018·长沙)下列说法正确的是 C
A．任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件
2．(2018·贵港)笔筒中有 10 支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上 1－10
26
的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是 3 的倍数的概率是 C
A. 1
10
B.1
5
C. 3
10
D.2
5
3．(2018·阜新)如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取
点，那么这个点取在阴影部分的概率是 C
A.1
5
B.1
6
C.1
7
D.1
8
4．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个．某小组做摸球试验：
将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数
据，则摸到白球的概率约是 C
摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m
n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
A.0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
5．(2018·山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相
同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次
都摸到黄球的概率是 A
A.4
9
B.1
3
C.2
9
D.1
9
6．(2018·镇江)小明将如图所示的转盘分成 n(n 是正整数)个扇形，并使得各个扇形的
面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标上连续偶数数字 2，4，6，…，2n(每个区域
内标注 1 个数字，且各区域内标注的数字互不相同)，转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，
若事件“指针所落区域标注的数字大于 8”的概率是5
6
，则 n 的取值为 C
A．36 B．30 C．24 D．18
7．(2018·临沂)2018 年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、
生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是 D
A.1
3
B.1
4
C.1
6
D.1
9
8．同时抛掷 A，B 两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6)，
朝上一面的数字分别为 x，y 并以此确定点 P(x，y)，点 P 落在抛物线 y＝－x2＋3x 上的概率
为 A
27
A. 1
18
B. 1
12
C.1
9
D.1
6
9．(2018·随州)正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图
所示阴影部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为 A
A.π－2
2
B.π－2
4
C.π－2
8
D.π－2
16
10．(2018·无锡)如图是一个沿 3×3 正方形方格纸的对角线 AB 剪下的图形，一质点 P
由 A 点出发，沿格点线每次向右或向上运动 1 个单位长度，则点 P 由 A 点运动到 B 点的不同
路径共有 B
A．4 条 B．5 条 C．6 条 D．7 条
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(泰州中考)“一只不透明的袋子共装有 3 个小球，它们的标号分别为 1，2，3，从
中摸出 1 个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件．(填“必然事件”、“不可能事件”
或“随机事件”)
12．(2018·贺州)从－1，0， 2，π，5.1，7 这 6 个数中随机抽取一个数，抽到无理数
的概率是1
3
.
13．(2018·嘉兴)小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正
面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”小红赢的概率是1
4
，据此判断该游戏不公
平(填“公平”或“不公平”)．
14．(2018·永州)在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区
别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜
色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出 n
的值大约是 100.
15．(台州中考)三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第
二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，
则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为1
3
.
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)掷一个正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
(1)点数为 6；(2)点数小于 3.
解：(1)P(点数为 6)＝1
6
(2)P(点数小于 3)＝2
6
＝1
3
28
17．(9 分)(2018·徐州)不透明的袋中装有 1 个红球与 2 个白球，这些球除颜色外都相
同，将其搅匀．
(1)从中摸出 1 个球，恰为红球的概率等于1
3
；
(2)从中同时摸出 2 个球，摸到红球的概率是多少？(用画树状图或列表的方法写出分析
过程)
解：(1)从中摸出 1 个球，恰为红球的概率等于1
3
，故答案为：1
3
(2)画树状图：
所以共有 6 种情况，含红球的有 4 种情况，所以 P＝4
6
＝2
3
，答：从中同时摸出 2 个球，
摸到红球的概率是2
3
18．(9 分)(2018·江西)今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿
者进行宣传活动．班主任梁老师决定从 4 名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签
方式确定 2 名女生去参加．抽签规则：将 4 名女班干部姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正
面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，
再从剩余的 3 张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
(1)该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件(填“不可能”
或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为1
4
；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”
的概率．
解：(1)该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽
取卡片“小悦被抽中”的概率为1
4
，故答案为：不可能、随机、1
4
(2)记小悦、小惠、小艳
和小倩这四位女同学分别为 A，B，C，D，列表如下：
A B C D
A —— (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) —— (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) —— (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) ——
由表可知，共有 12 种等可能结果，其中小惠被抽中的有 6 种结果，所以小惠被抽中的
概率为 6
12
＝1
2
19．(9 分)(2018·百色)密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…，9.
小黄同学是 9 月份中旬出生，用生日“月份＋日期”设置密码：9××
小张同学要破解其密码：
(1)第一个转轮设置的数字是 9，第二个转轮设置的数字可能是 1 或 2；
29
(2)请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被 3 整除的概率；
(3)小张同学是 6 月份出生，根据(1)(2)的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所
有可能个数．
解：(1)∵小黄同学是 9 月份中旬出生，∴第一个转轮设置的数字是 9，第二个转轮设
置的数字可能是 1，2；故答案为 1 或 2 (2)所有可能的密码是：911，912，913，914，915，
916，917，918，919，920；能被 3 整除的有 912，915，918；密码数能被 3 整除的概率 3
10
(3)
小张同学是 6 月份出生，6 月份只有 30 天，∴第一个转轮设置的数字是 6，第二个转轮设置
的数字可能是 0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能，0，1，2，…，9(第二个转轮设置
的数字是 0 时，第三个转轮的数字不能是 0；第二个转轮设置的数字是 3 时，第三个转轮的
数字只能是 0；)∴一共有 9＋10＋10＋1＝30，∴小张生日设置的密码的所有可能个数为 30
种
20．(9 分)(2018·贵阳)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标
有数字 1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：
将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几，就从图②中的 A 点开始
沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是1
4
；
(2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率．
解：(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是1
4
，故答案为：1
4
(2)
(a，b) 9 8 7 6
9 (9，9) (8，9) (7，9) (6，9)
8 (9，8) (8，8) (7，8) (6，8)
7 (9，7) (8，7) (7，7) (6，7)
6 (9，6) (8，6) (7，6) (6，6)
共有 16 种可能，和为 14 可以到达点 C，有 3 种情形，所以棋子最终跳动到点 C 处的概
率为 3
16
21．(10 分)(2018·遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动
转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向 A 区域
时，所购买物品享受 9 折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘
乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受 8 折优惠，其它情况无优
惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)
30
(1)若顾客选择方式一，则享受 9 折优惠的概率为1
4
；
(2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受 8 折优惠的
概率．
解：(1)若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向 A 区域只
有 1 种情况，∴享受 9 折优惠的概率为1
4
，故答案为：1
4
(2)画树状图如下：
由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有 2 种结果，
所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受 8 折优惠的概率为 2
12
＝1
6
22．(10 分)(2018·德阳)某网络约车公司近期推出了”520 专享”服务计划，即要求公
司员工做到“5 星级服务、2 分钟响应、0 客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管
部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的 5000 个“单次营运里
程”数据，这些里程数据均不超过 25(公里)，他从中随机抽取了 200 个数据作为一个样本，
整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图(如图)．
组别 单次营运里程“x”(公里) 频数
第一组 0＜x≤5 72
第二组 5＜x≤10 a
第三组 10＜x≤15 26
第四组 15＜x≤20 24
第五组 20＜x≤25 30
根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：
(1)①表中 a＝48；②样本中“单次营运里程”不超过 15 公里的频率为 0.73；③请把频
数分布直方图补充完整；
(2)请估计该公司这 5000 个“单次营运里程”超过 20 公里的次数；
(3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的 4 名网约车司机(3 男 1 女)成
立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通
秩序，请用列举法(画树状图或列表)求出恰好抽到“一男一女”的概率．
31
解：(1)①由条形图知 a＝48 ②样本中“单次营运里程”不超过 15 公里的频率为
72＋48＋26
72＋48＋26＋24＋30
＝0.73 ③补全图形如下：
故答案为：①48；②0.73 (2)估计该公司这 5000 个“单次营运里程”超过 20 公里的
次数为 5000× 30
200
＝750(次) (3)画树状图为： 共
有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数为 6，∴恰好抽到“一男一女”
的概率为 6
12
＝1
2
23．(11 分)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有
数字 0，1，2；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2，0.现从甲袋中随
机抽取一个小球，记录标有的数字为 x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为
y，确定点 M 坐标为(x，y)．
(1)用画树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标；
(2)求点 M(x，y)在函数 y＝－x＋1 的图象上的概率；
(3)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径是 2，求过点 M(x，y)能作⊙O 的切线的概率．
解：(1)画树状图(略)，共有 9 种等可能的结果，它们是(0，－1)，(0，－2)，(0，0)，
(1，－1)，(1，－2)，(1，0)，(2，－1)，(2，－2)，(2，0) (2)在直线 y＝－x＋1 的图
象上的点有(1，0)，(2，－1)，所以点 M(x，y)在函数 y＝－x＋1 的图象上的概率＝2
9
(3)
在⊙O 上的点有(0，－2)，(2，0)，在⊙O 外的点有(1，－2)，(2，－1)，(2，－2)，所以
过点 M(x，y)能作⊙O 的切线的点有 5 个，所以过点 M(x，y)能作⊙O 的切线的概率＝5
9
