数学理卷·2019届甘肃省甘谷县第一中学高二下学期第一次月考（2018-04）
甘谷一中2017——2018学年高二第二学期第一次月考
数学（理）试题
一选择题（在下列四个选项中，只有一项是最符合题意的.每小题5分，共60分）
1过点（0,1）且与曲线在点（3,2）处的切线垂直的直线的方程是（ ）
A. x-2y+2=0 B. 2x+y-1=0 C. 2x-y+1=0 D. x+2y-2=0
2.已知实数a、b、c、d成等差数列,且曲线y=ln(x+2)-x取得极大值的点坐标为(b,c),则a+d等于（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3.已知函数f(x)=sinx-cosx,且,其中，则
=（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线是的切线，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5. 下列定积分不大于0的是( )
A．|x|dx B．(1－|x|)dxC． |x－1|dx D．(|x|－1)dx
6.设f(x)、g(x)是R上的可导函数，，分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足，则当a
f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
7.已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
8.函数在区间上的值域为( )
A. B. C. D.
9.如右图,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的
三视图,则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
Ａ．函数有极大值，但无极小值 Ｂ．函数有极小值，但无极大值
Ｃ．函数既有极大值又有极小值 Ｄ．函数无极值
11. 下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B. C. D．
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.）
13. ，则此双曲线的离心率为__________．
14. 用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是 ．
15. 设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是__________．．
16.若函数在上是减函数,则实数a的最小值为 ．
三、 解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，
且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
18.（本小题满分12分）已知△ABC的三边长为a，b，c，三边互不相等且满足b2＜ac
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：B不可能是钝角．
19.（本小题满分12分）
已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？
20．（本小题满分12分）设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由
21.（本小题满分12分）
如图所示，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
22.（本小题满分12分）
设函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
高二理科数学答案
一．选择题 1-5 DBAAD 6-10 CDADB 11-12 CB
二．填空题
13. 14. 15. (－2,2) 16.
三．解答题
17. 解：(1)因为y＝f(x)是二次函数，且f′(x)＝2x＋2，
所以设f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0有两个等根，
所以4－4c＝0，得c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1…………5分
(2)y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为
(x2＋2x＋1)dx＝＝.………10分
18. (1)解：大小关系为＜，
证明如下：要证＜，只需证＜，由题意知a，b，c＞0，只需证b2＜ac，(条件)
故所得大小关系正确．………6分
(2)证明：假设B是钝角，则cos B＜0，而cos B＝＞＞＞0.
这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．所以B不可能是钝角．………12分
19.解：如图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，
由于x2＋x2＋h2＝d2，
所以x2＝(d2－h2)．
所以球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝(d2h－h3),0＜h＜d. ………6分
令V′＝(d2－3h2)＝0，所以h＝d.
在(0，d)上，当h变化时，V′，V的变化情况如下表：
h
d
V′
＋
0
－
V
极大值
由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为d. ………12分
20. ．解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴解方程组得a＝－，b＝－.………6分
(2)由(1)，知f(x)＝－ln x－x2＋x，f′(x)＝－x－1－x＋1.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值.在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.
∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．………12分
21. 解：(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得则2x2＋9x－18＝0，即得x＝或x＝－6.
由于y＞0，只能x＝，于是y＝.所以点P的坐标是.………6分
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是 (m，0)，则M到直线AP的距离是，于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，由于－6≤x≤6.
所以当x＝时，d取最小值.………12分
22. 解：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x2－x＋2，∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，
∴当－1≤x≤0时，f′(x)<0；当x≤－1或x≥0时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－1,0]上单调递减，
在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增． ……6分
(2)由f(x)≥x2－x＋2，得x≥0，即要满足ex≥x，…7分
当x＝0时，显然成立；……8分当x>0时，即≥，记g(x)＝，
则g′(x)＝，易知g(x)的最小值为g(1)＝e，∴≤e，
得a≤2e－2. ……12分
