2020高考数学大一轮复习（文·新人教A版） 第四章 平面向量 课下层级训练 25平面向量的基本定理及向量的坐标运算

2020高考数学大一轮复习（文·新人教A版） 第四章 平面向量 课下层级训练 25平面向量的基本定理及向量的坐标运算

课下层级训练(二十五) 平面向量的基本定理及向量的坐标运 算 [A 级 基础强化训练] 1．(2019·河南郑州联考)设平面向量 a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则 2a－3b 等于( ) A．(6,3) B．(－2，－6) C．(2,1) D．(7,2) B [2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．] 2．已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若AB→＝3a，则点 B 的坐标为( ) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) D [设点 B 的坐标为(x，y)，则AB→＝(x＋1，y－5)．由AB→＝3a，得 x＋1＝6， y－5＝9， 解得 x＝5， y＝14. 故点 B 的坐标为(5,14)．] 3．已知平面直角坐标系内的两个向量 a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成 c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数 m 的取值范围是( ) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) D [由题意知向量 a，b 不共线，故 2m≠3m－2，即 m≠2.] 4．(2018·安徽马鞍山期末)已知向量 a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满 足 a＋b＝λc，则λ＋m 等于( ) A．5 B．6 C．7 D．8 B [由平面向量的坐标运算法则可得 a＋b＝(5,5)，λc＝(λ，λm)，据此有 λ＝5， λm＝5， 解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.] 5．(2019·贵州适应性考试)已知向量 a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝(2,3)，若 a＋λb 与 c 共线，则实数λ＝( ) A．2 5 B．－2 5 C．3 5 D．－3 5 B [由已知得 a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，因为向量 a＋λb 与 c 共线，设 a＋λb＝mc， 所以 2－λ＝2m， 4＋λ＝3m， 解得 λ＝－2 5 ， m＝6 5 . ] 6．(2019·河南三市联考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与AB→同方向的单位向量是 __________. 3 5 ，－4 5 [AB→＝OB→－OA→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB→同方向的单位向量为 AB→ |AB→| ＝ 3 5 ，－4 5 .] 7．如图，已知□ABCD 的边 BC，CD 上的中点分别是 M，N，且AM→＝e1，AN→＝e2，若BC→＝xe2 ＋ye1(x，y∈R)，则 x＋y＝__________. 2 3 [设AD→＝a，AB→＝b，则BC→＝a，CD→＝－b. 由题意得 e1＝b＋a 2 ， e2＝a＋b 2 ， 解得 a＝4 3 e2－2 3 e1， b＝4 3 e1－2 3 e2. ∴BC→＝4 3 e2－2 3 e1. 故 x＝4 3 ，y＝－2 3 ，∴x＋y＝2 3 .] 8．已知向量 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且 u∥v，则实数 x 的值为 __________. 1 2 [因为 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以 u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)． 又因为 u∥v，所以 3(2x＋1)－4(2－x)＝0， 即 10x＝5，解得 x＝1 2 .] 9．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＝1 3 BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点．设 BA→＝a，BC→＝b，试用 a，b 为基底表示向量EF→，DF→，CD→. 解 EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－1 6 b－a＋1 2 b＝1 3 b－a， DF→＝DE→＋EF→＝－1 6 b＋ 1 3 b－a ＝1 6 b－a， CD→＝CF→＋FD→＝－1 2 b－ 1 6 b－a ＝a－2 3 b. 10．平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k. 解 (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以 －m＋4n＝3， 2m＋n＝2， 解得 m＝5 9 ， n＝8 9 . (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得 k＝－16 13 . [B 级 能力提升训练] 11．已知点 A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，且点 P 在直线 x－2y ＝0 上，则λ的值为( ) A．2 3 B．－2 3 C．3 2 D．－3 2 B [设 P(x，y)，则由AP→＝AB→＋λAC→，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ， 2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5. 又点 P 在直线 x－2y＝0 上，故 5λ＋4－2(7λ＋5)＝ 0，解得λ＝－2 3 .] 12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点， 且∠AOC＝π 4 ，|OC|＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ＝( ) A．2 2 B． 2 C．2 D．4 2 A [因为|OC|＝2，∠AOC＝π 4 ，所以 C( 2， 2)，又因为OC→＝λOA→＋μOB→，所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝ 2，λ＋μ＝2 2.] 13．已知 A(－3,0)，B(0， 3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC＝30°，OC→＝ λOA→＋OB→，则实数λ的值为__________. 1 [由题意知OA→＝(－3,0)，OB→＝(0， 3)，则OC→＝(－3λ， 3)，由∠AOC＝30°知， 以 x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为 150°，所以 tan 150°＝ 3 －3λ ，即－ 3 3 ＝ － 3 3λ ，所以λ＝1.] 14．(2019·浙江杭州五校联考)在矩形 ABCD 中，AB＝ 5，BC＝ 3，P 为矩形内一点， 且 AP＝ 5 2 ，若AP→＝λAB→＋μAD→(λ，μ∈R)，则 5λ＋ 3μ的最大值为__________. 10 2 [建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(x，y)，B( 5，0)，C( 5， 3)，D(0， 3)． ∵AP＝ 5 2 ，∴x2＋y2＝5 4 . 点 P 满足的约束条件为 0≤x≤ 5， 0≤y≤ 3， x2＋y2＝5 4 ， ∵AP→＝λAB→＋μAD→(λ，μ∈R)， ∴(x，y)＝λ( 5，0)＋μ(0， 3)， ∴ x＝ 5λ， y＝ 3μ， ∴x＋y＝ 5λ＋ 3μ. ∵x＋y≤ 2 x2＋y2 ＝ 2×5 4 ＝ 10 2 ， 当且仅当 x＝y 时取等号， ∴ 5λ＋ 3μ的最大值为 10 2 .] 15．若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM→＝3 4 AB→＋1 4 AC→. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比； (2)若 N 为 AB 的中点，AM 与 CN 交于点 O，设BO→＝xBM→＋yBN→，求 x，y 的值． 解 (1)由AM→＝3 4 AB→＋1 4 AC→，可知 M，B，C 三点共线．如图， 设BM→＝λBC→，则AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋λBC→＝AB→＋λ(AC→－AB→)＝(1－λ)AB→＋λAC→，所以λ ＝1 4 ， 所以S△ABM S△ABC ＝1 4 ，即△ABM 与△ABC 的面积之比为 1∶4. (2)由BO→＝xBM→＋yBN→，得BO→＝xBM→＋y 2 BA→， BO→＝x 4 BC→＋yBN→， 由 O，M，A 三点共线及 O，N，C 三点共线 ⇒ x＋y 2 ＝1， x 4 ＋y＝1 ⇒ x＝4 7 ， y＝6 7 .