数学文卷·2018届福建省福州市第八中学高二上学期期末考试（2017-01）
福州八中2016—2017学年第一学期期末考试
高二数学（文）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2017.1.18
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
1．抛物线的焦点到准线的距离是
A． B． C． D．
2．若，则
A． B． C． D．
3．下列命题错误的是
A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”
B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
C．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
4. 设是函数的导函数，的图象如左图所示，则的图象最有可能是
x
5．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64内切，则动圆的圆心P的轨迹是
A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆
6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
A. 1 B.2 C. 3 D.
7．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为
A. B.2 C. D. 3
8．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
9．命题“”的否定是_______ _______
10．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是
11．若点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是___________
12. 已知函数 既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是_________________
三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
13．（本小题满分12分）
已知条件：实数满足，其中；条件：实数满足.
(1) 若,且“”为真,求实数的取值范围；
(2) 若是的充分不必要条件, 求实数的取值范围.
14. （本小题满分 12 分）
(1)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程；
(2)求以椭圆3x2＋13y2＝39的焦点为焦点，以直线y＝±为渐近线的双曲线方程．
15．（本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8 (0
g′(x)，则当ag(x) B．f(x)g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
19．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝
A．8 B．4 C．12 D．16
二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）
20．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为
21．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________
三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
22．（本小题满分13分）
已知椭圆：与抛物线：有相同焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当△面积最大时，求直线的方程．
23. （本小题满分13分）
已知函数f(x)＝alnx＋x2＋(a＋1)x＋1．
（1）当a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）若函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，都有| f(x1)－f(x2)|＞2| x1－x2|，求实数a的最小值．
福州八中2016—2017学年第一学期期末考试
高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1-8 BABC CCAD
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分
9.
10. (12,15)
11. 2x－y－15＝0
12.
三、解答题：本大题共有3个小题，共36分
13．（本小题满分12分）
解:(1)由且,可得,
当时, 有； …………… 2分
由，可得， …………… 4分
又由为真知，真且真，所以实数的取值范围是. …6分
(2)由是的充分不必要条件可知:且,
即集合, …………… 9分
从而有,即,所以实数的取值范围是. …………… 12分
14. （本小题满分12分）
解： (1)∵双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
∴设所求双曲线方程为：－＝1(20－a2>0) …………… 2分
又点(3，2)在双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝12或30(舍去)， …………… 5分
∴所求双曲线方程为－＝1. …………… 6分
(2)椭圆3x2＋13y2＝39可化为＋＝1， …………… 7分
其焦点坐标为(±，0)，
∴所求双曲线的焦点为(±，0)， …………… 8分
设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)
∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝，∴＝＝＝， ………10分
∴a2＝8，b2＝2，
高二数学文期末考试卷答案 第1页 共4页 高二数学文期末考试卷答案 第2页 共4页
即所求的双曲线方程为：－＝1. …………… 12分
15．（本小题满分12分）
解： (1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(h)，…………… 2分
耗油×2.5＝17.5(L)．
答：当汽车以40km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5L. ………4分
(2)当速度为xkm/h时，汽车从甲地到乙地行驶了h，设耗油量为h(x)L.
依题意得h(x)＝· ……………6分
＝x2＋－ (0 0，h(x)是增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25(L)．……………11分
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答：当汽车以80km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25L. ……………12分
第Ⅱ卷
一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
16-19 ADCA
二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分
20.
21.
三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分
22． （本小题满分13分）
解：（1）抛物线的焦点为，
，又
椭圆方程为． …………………………………4分
（2）（法一）设，，
直线的方程为即且过点
，
切线方程为 ……………………6分
因为，所以设直线的方程为，
由，消整理得……………8分
，解得 ①
设，，则
∴
…………………9分
直线的方程为，点到直线的距离为……10分
， ………………………11分
由①，
（当且仅当即时，取等号）
最大
所以，所求直线的方程为：． …………………………13分
（法二），由已知可知直线的斜率必存在，
设直线
由 消去并化简得
∵直线与抛物线相切于点.
∴，得. ………6分
∵切点在第一象限.∴ ………………7分
∵∥ ∴设直线的方程为
由，消去整理得， ……………8分
高二数学文期末考试卷答案 第1页 共4页 高二数学文期末考试卷答案 第2页 共4页
，解得.
设，，则，
. ………10分
又直线交轴于
…………11分
当，即时，. ………12分
所以，所求直线的方程为. …………………13分
23. （本小题满分13分）
解：（1）当a＝－1时，f(x)＝－lnx＋x2＋1．
则f′(x)＝－＋x ， x∈(0，＋∞)……………………………2分
令f′(x)＞0，得x＞1．
所以函数函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．…………………………4分
（2）因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．6分
即x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．…………………………7分
所以a≥0．
即实数a的取值范围是[0，＋∞)．………………………………8分
（3）因为a＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
因为x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，不妨设x1＞x2，所以f(x1)＞f(x2)．
由| f(x1)－f(x2)| 2| x1－x2|恒成立，可得f(x1)－f(x2)＞2(x1－x2)，
即f(x1)－2x1＞f(x2)－2x2恒成立．
令g(x)＝f(x)－2x，则在(0，＋∞)上是增函数． ………………………10分
所以g′(x)＝＋x＋(a＋1)－2＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．
即x2＋(a－1) x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．………………………11分
即a≥－对x∈(0，＋∞)恒成立
因为－＝－(x＋1＋－3)≤3－2 ………………………12分
（当且仅当x＋1＝即x＝－1时取等号），所以a≥3－2．
所以实数a的最小值为3－2． ……………………………………13分
