高中数学选修2-2教学课件4_3_1《函数的单调性与导数》
4.3.1
函数的单调性与导数
（
4
）
.
对数函数的导数
:
（
5
）
.
指数函数的导数
:
（
3
）
.
三角函数
：
（
1
）
.
常函数：
(
C
)
/
0
, (
c
为常数
)
；
（
2
）
.
幂函数 ：
(
x
n
)
/
nx
n
1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式
函数
y = f (x)
在给定区间
G
上，当
x
1
、
x
2
∈G
且
x
1
＜
x
2
时
函数单调性判定
单调函数的图象特征
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1
）都有
f ( x
1
)
＜
f ( x
2
)
，
则
f ( x )
在
G
上是增函数
；
2
）都有
f ( x
1
)
＞
f ( x
2
)
，
则
f ( x )
在
G
上是减函数
；
若
f(x)
在
G
上是增函数或减函数，
增函数
减函数
则
f(x)
在
G
上具有严格的单调性。
G
称为
单调区间
G = ( a , b )
二、复习引入
:
o
y
x
y
o
x
1
o
y
x
1
在
（－ ∞ ，
0
）和（
0,
＋∞）
上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。
在（－ ∞ ，
1
）上是减函数，在（
1,
＋∞）上是增函数。
在
(
－ ∞
,
＋∞
)
上是增函数
概念回顾
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
(1)
函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)
函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个
区间是定义域的子集。
(3)
单调区间：针对自变量
x
而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增
区
间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。
以前
,
我们用定义来判断函数的单调性
.
在假设
x
1
(
或
<)0
，则
f
(
x
)
为单调递增
(
或递减
)
函数．但要特别注意，
f
(
x
)
为单调递增
(
或递减
)
函数，则
f
′
(
x
)
≥
(
或
≤
)0.
1.
对
x∈(a,b),
如果
f
/
(x)≥0,
但
f
/
(x)
不恒
为
0,
则
f(x)
在区间
(a,b)
上是增函数
;
2.
对
x∈(a,b),
如果
f
/
(x)≤0,
但
f
/
(x)
不恒
为
0,
则
f(x)
在区间
(a,b)
上是减函数
;
补充结论
例
1
已知导函数 的下列信息
:
当
1
<
x
<
4
时
,
当
x
>
4
,
或
x
<
1
时
,
当
x
= 4
,
或
x
= 1
时
,
试画出函数 的图象的大致形状
.
解
:
当
1
<
x
<
4
时
,
可知 在此区间内单调递增
;
当
x
>
4
,
或
x
<
1
时
,
可知 在此区间内单调递减
;
当
x
=
4
,
或
x
=
1
时
,
综上
,
函数 图象的大致形状如右图所示
.
x
y
O
1
4
A
练习
1
例
2
判断下列函数的单调性
,
并求出单调区间
:
解
:
(1)
因为
,
所以
因此
,
函数 在 上单调递增
.
(2)
因为
,
所以
当
,
即 时
,
函数 单调递增
;
当
,
即 时
,
函数 单调递减
.
例
2
判断下列函数的单调性
,
并求出单调
区间
:
解
:
(3)
因为
,
所以
因此
,
函数 在 上单调递减
.
(4)
因为
,
所以
当
,
即 时
,
函数 单调递增
;
当
,
即 时
,
函数 单调递减
.
1
、求可导函数
f(x)
单调区间的步骤：
(1)
求
f’(x)
(2)
解不等式
f’(x)>0(
或
f’(x)<0)
(3)
确认并指出递增区间（或递减区间）
2
、证明可导函数
f(x)
在
(a,b)
内的单调性的方法：
(1)
求
f’(x)
(2)
确认
f’(x)
在
(a,b)
内的符号
(3)
作出结论
练习
2.
判断下列函数的单调性
,
并求出单调区间
:
例
3
如图
,
水以常速
(
即单位时间内注入水的体积相同
)
注入下面四种底面积相同的容器中
,
请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t
的函数关系图象
.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
例
3
、如图，水以常速
(
即单位时间内注入水的体积相同
)
注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t
的函数关系图象。
一般地
,
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大
,
那么函数在这个范围内变化得快
,
这时
,
函数的图象就比较
“
陡峭
”
(
向上或向下
)
;
反之
,
函数的图象就
“
平缓
”
一些
.
如图
,
函数 在 或 内的图象
“
陡峭
”
,
在 或
内的图象
平缓
.
练习
3.
函数 的图象如图所示
,
试画出导函数
图象
的大致形状
（课本例
1P33
，注意分类讨论
)
讨论二次函数 的单调区间
.
解
:
由
,
得
,
即函数 的递增区间是
;
相应地
,
函数的递减区间是
由
,
得
,
即函数 的递增区间是
;
相应地
,
函数的递减区间是
练习
4.
求证
:
函数 在 内是
减函数
.
解
:
由
,
解得
,
所以函数 的递减区间是
,
即函数 在 内是减函数
.
(1)
函数单调性与导数正负的关系
课堂小结
(2)
利用导数研究函数单调性的步骤
注：已知函数单调性求参数范围
由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知
f
(
x
)
在区间
I
上单调递增
(
递减
)
，等价于不等式
f
′(
x
)≥0(
f
′(
x
)≤0)
在区间
I
上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．
增例
2
：
解：由已知得
因为函数在（
0
，
1]
上单调递增
增例
2
：
在某个区间上， ，
f
（
x
）在这个区间上单调递增
（递减）；但由
f
（
x
）在这个区间上单调递增（递减）而
仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于
0
也能使
f
（
x
）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例
2
：
本题用到一个重要的转化：
例
3
【
思路点拨
】
先求出导函数，再令
f
′
(
x
)
≥
0
在
[2
，＋
∞
)
上恒成立，利用分离参数法求得
a
的范围．注意验证
a
取等号结论是否仍成立．
变式训练
1
：
变式训练
2
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
ax
－
1
，是否存在实数
a
，使
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上单调递减？若存在，求出
a
的取值范围；若不存在，说明理由．
解：
存在．
∵
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
a
，
又
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上单调递减，
∴
f
′
(
x
)
≤
0
在
(
－
1,1)
上恒成立，
即
3
x
2
－
a
≤
0
在
(
－
1,1)
上恒成立．
∴
a
≥
3
x
2
在
(
－
1,1)
上恒成立，
又
0
≤
3
x
2
<3
，
∴
a
≥
3
，
经验证当
a
＝
3
时，
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上单调递减，
故存在实数
a
≥
3
满足条件．
增例
3
：方程根的问题
求证：方程 只有一个根。
本讲到此结束，请同学们课后再做好复习
. 《
完全解读
》
，
《
同步导学
》
再见！
作业
P36
习题
7
上交
1
，
3
思考
2
