黑龙江省大庆中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题

黑龙江省大庆中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题

www.ks5u.com 大庆中学2018----2019学年度下学期期末考试高一年级理科数学试题 一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分)‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据交集的定义可得结果．‎ ‎【详解】由交集定义可得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.若，下列不等式一定成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】若，，则，错误；‎ ‎，则，错误；‎ ‎，，则，错误；‎ ‎，则等价于，成立，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎3.若直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A. 7 B. 0或7 C. 0 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和直线平行则斜率相等，故，求解即可。‎ ‎【详解】∵直线与直线平行，∴，∴或7，经检验，都符合题意，故选B.‎ ‎【点睛】本题属于基础题，利用直线的平行关系，斜率相等求解参数。‎ ‎4.若对任意的正数a，b满足，则的最小值为 A. 6 B. 8 C. 12 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“1”的代换结合基本不等式求最值即可 ‎【详解】∵两个正数a，b 满足即a+3b=1‎ 则= 当且仅当 时取等号．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了基本不等式求最值，巧用“1”的代换是关键，属于基础题．‎ ‎5.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.‎ ‎【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；‎ 且，此时或，可知错误；‎ ‎，，，此时或，可知错误；‎ 两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.‎ ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥 三棱锥体积为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.‎ ‎7.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得 .故本题选B.‎ ‎8.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量基本定理和向量运算求解即可 ‎【详解】根据题意得：，又，，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题.‎ ‎9.已知点，,直线的方程为，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 直线过定点，利用直线的斜率公式分别计算出直线，和的斜率，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．‎ ‎【详解】解：直线整理为即可知道直线过定点，‎ 作出直线和点对应的图象如图：，，，‎ ‎，，‎ 要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或，‎ 或 即直线的斜率的取值范围是，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，属于基础题．‎ ‎10.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，‎ ‎，则等于( )‎ A. −1 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得函数的周期，再结合奇偶性求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】由于故函数是周期为的周期函数，故，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.‎ ‎11.函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出的值，结合函数的单调性进行求解即可．‎ 详解】解：函数图象向右平移个单位长度，‎ 得到，所得图象关于原点对称，‎ 则，得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，，‎ 则，‎ 由，，‎ 得，，‎ 即的单调递增区间为，，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，，‎ 即，‎ 即在上的单调递增区间为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎12.直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为 A. 1 B. C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找到直线异面直线AB1与MN所成角为∠,再通过解三角形求出它的余弦值.‎ ‎【详解】由题得,‎ 所以∠就是异面直线AB1与MN所成角或补角.‎ 由题得,‎ ‎,‎ 因为,‎ 所以异面直线AB1与MN所成角的余弦值为0.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分)‎ ‎13.在等比数列中，，，则 _____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质可得，结合通项公式可得公比q,从而可得首项.‎ ‎【详解】根据题意，等比数列中，其公比为，‎ ‎，则，‎ 解可得，‎ 又由，则有，则，‎ 则；‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列性质（其中m+n=p+q）的应用，也可以利用等比数列的基本量来解决.‎ ‎14.已知，，若，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，得的坐标，根据得，由向量数量积的坐标表示即可得结果.‎ ‎【详解】∵，，∴‎ 又∵，∴，‎ 即，‎ 所以，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两向量垂直与数量积的关系，属于基础题.‎ ‎15.若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ ‎，‎ 即：，‎ 解方程可得：.‎ ‎16.已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.‎ ‎【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18---22题每题12分，共70分)‎ ‎17.已知直线：在轴上的截距为，在轴上的截距为.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）求点到直线的距离.‎ ‎【答案】(1),.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）在直线方程中，令可得在轴上的截距，令可得轴上的截距．（2）由（1）可得点的坐标，然后根据点到直线的距离公式可得结果．‎ 详解：（1）在方程中，‎ 令，得，所以；‎ 令，得，所以． ‎ ‎（2）由（1）得点即为，‎ 所以点到直线的距离为.‎ 点睛：直线在坐标轴上的“截距”不是“距离”，截距是直线与坐标轴交点的坐标，故截距可为负值、零或为正值．求直线在轴（轴）上的截距时，只需令直线方程中的或等于零即可．‎ ‎18.在中，，且.‎ ‎（1）求边长；‎ ‎（2）求边上中线的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；‎ ‎（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，由正弦定理可知中：‎ ‎（2）由余弦定理可知：‎ ‎，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.‎ ‎19.已知等比数列的前项和为，公比，，．‎ ‎（1）求等比数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知两式作差，利用等比数列的通项公式，可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bn＝n，，由裂项相消求和可得答案．‎ ‎【详解】（1）等比数列的前项和为，公比，①，‎ ‎②．‎ ‎②﹣①，得，则，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以；‎ ‎（2），‎ 所以前项和．‎ ‎【点睛】裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎20.如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，结合面面平行判定定理可证得平面平面，根据面面平行的性质证得结论；（2）连接交于点，连接 ‎，利用线面垂直的判定定理可证得平面，从而可知所求角为，在中利用正弦求得结果.‎ ‎【详解】（1）四边形为正方形 ‎ 又平面 平面 又，平面 平面 平面， 平面平面 平面 平面 ‎（2）连接交于点，连接 平面，平面 ‎ 又四边形为正方形 ‎ 平面， 平面 即为与平面所成角 且 ‎ 又 ‎ ‎ 即与平面所成角为：‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解.‎ ‎21.已知函数，‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为，且，，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为，利用求得结果；（2）由，结合的范围可求得；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得；分别在和两种情况下求解出各边长，从而求得三角形面积.‎ ‎【详解】（1）‎ 的最小正周期：‎ ‎（2）由得：，即：‎ ‎，，解得：，‎ ‎ ‎ 由得：‎ 即：‎ 若，即时，‎ 则： ‎ 若，则 由正弦定理可得：‎ 由余弦定理得：‎ 解得： ‎ 综上所述，的面积为：‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.‎ ‎22.已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）数列的通项公式，利用，可求公差，然后可求；的通项公式可以利用退位相减法求解；‎ ‎（Ⅱ）求出代入，利用分离参数法可求实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又，也成立，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∴对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，故，‎ 即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和参数范围的确定，熟练掌握公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎ ‎