2017-2018学年山西省晋城一中高二上学期12月月考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年山西省晋城一中高二上学期12月月考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年山西省晋城一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）直线y=﹣x﹣1的倾斜角为（　　）‎ A．150° B．120° C．60° D．30°‎ ‎2．（5分）下列命题不正确的是（　　）‎ A．若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线 B．若直线l上有一点在平面β外，则l在平面β外 C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．若直线a，b，c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面 ‎3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=4，a2+a4+a6=30，则S6=（　　）‎ A．54 B．44 C．34 D．24‎ ‎4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C．24﹣π D．24+π ‎7．（5分）设，，均为非零向量，已知命题p：=是•=•的必要不充分条件，命题q：x＞1是|x|＞1成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎8．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量，=（n，n+1），n∈N*．下列命题中真命题是（　　）‎ A．若∀n∈N*总有成立，则数列{an}是等差数列 B．若∀n∈N*总有成立，则数列{an}是等比数列 C．若∀n∈N总有成立，则数列{an}是等差数列 D．若∀n∈N*总有成立，则数列{an}是等比数列 ‎11．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（　　）‎ A．15 B．9 C．1 D．﹣‎ ‎12．（5分）已知椭圆C：，F1、F2分别为其左、右焦点，A1、A2分别为其长轴的左、右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则的值为（　　）‎ A．8 B．16 C．20 D．24‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题有4个小题，每题5分.‎ ‎13．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0与直线mx+2y+4=0平行，则实数m的值　 　．‎ ‎14．（5分）已知，，的夹角为45°，且与垂直，则实数λ=　 　．‎ ‎15．（5分）已知M，N分别为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，A1B1的中点，若AB=2，AD=AA1=2，则四面体C1﹣DMN的外接球的表面积为　 　．‎ ‎16．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎（Ⅰ）若q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若“p或q”为真，且“p且q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DC1⊥平面BDC；‎ ‎（2）若AA1=2，求三棱锥C﹣BDC1的体积．‎ ‎19．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O是坐标原点）‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆C上的一点，过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M，证明：|PF|+|PM|为定值．‎ ‎20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM=CF．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．‎ ‎21．（12分）已知点M是圆心为E的圆（x+）2+y2=16上的动点，点F（，0），线段MF的垂直平分线交EM于点P．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点O作直线l交（Ⅰ）中的轨迹C于点A，B，点D满足=+，试求四边形AFBD的面积的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为2，左焦点为F（﹣，0），过点D（0，3）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程及k的取值范围；‎ ‎（2）在y轴上是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山西省晋城一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）直线y=﹣x﹣1的倾斜角为（　　）‎ A．150° B．120° C．60° D．30°‎ ‎【分析】根据题意，设要求直线的倾斜角为θ，0°≤θ＜180°，由该直线的方程可得其斜率，进而由直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ的值，结合θ的范围，可得θ的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设该直线的倾斜角为θ，0°≤θ＜180°，‎ 直线y=﹣x﹣1的斜率k=﹣，‎ 则有tanθ=﹣，‎ 则θ=150°；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线的倾斜角，需要掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列命题不正确的是（　　）‎ A．若任意四点不共面，则其中任意三点必不共线 B．若直线l上有一点在平面β外，则l在平面β外 C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 D．若直线a，b，c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面 ‎【分析】根据空间点线面的位置关系进行判断．‎ ‎【解答】解：A．若任意三点必共线，则必有四点共面，∴矛盾，∴A正确．‎ B．根据直线在平面外的定义可知，当直线和平面相交或直线和平面平行时，满足条件，∴B正确．‎ C．若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则所有直线都和平面，没有公共点，∴这两个平面平行，∴C正确．‎ D．若三条直线满足两两异面，则结论不成立，∴D不正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查空间点线面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的位置关系，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=4，a2+a4+a6=30，则S6=（　　）‎ A．54 B．44 C．34 D．24‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=4，a2+a4+a6=30，‎ ‎∴4×3+9d=30，解得d=2．‎ 则S6=6×4+×2=54．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理=，得sinA＞sinB．‎ 若sinA＞sinB，则正弦定理=，得a＞b，‎ 则“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件．‎ 故选：C ‎【点评】‎ 本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若实数x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，‎ 由图象知AD的斜率最大，‎ 由，得，即A（1，5），‎ 则z=的最大值z===，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C．24﹣π D．24+π ‎【分析】由已知三视图得到几何体的形状，然后计算体积．‎ ‎【解答】解：由已知三视图得到几何体是一个正方体割去半径为2的个球，‎ 所以表面积为=24﹣π；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设，，均为非零向量，已知命题p：=是•=•的必要不充分条件，命题q：x＞1是|x|＞1成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）‎ ‎【分析】根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若=时，则•=•一定成立，则充分性成立，若•=•，当=时，则=不一定成立，必要性不成立．∴为充分不必要条件，故p为假命题；‎ ‎|x|＞1等价于x＞1或x＜﹣1，‎ 所以充分性成立，必要性不成立，故q为真命题．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量的数量积是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到 ‎，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，‎ 由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，‎ 又|φ|＜π，∴，得，‎ ‎∴，‎ 由于，∴0≤2x≤π，‎ ‎∴，‎ 当，即x=0时，．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA1‎ 的中点N，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．‎ ‎【解答】解：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，‎ 由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC1=，MC1=BN，‎ ‎=，∴梯形的高为，‎ ‎∴梯形的面积为（）×=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量，=（n，n+1），n∈N*．下列命题中真命题是（　　）‎ A．若∀n∈N*总有成立，则数列{an}是等差数列 B．若∀n∈N*总有成立，则数列{an}是等比数列 C．若∀n∈N总有成立，则数列{an}是等差数列 D．若∀n∈N*总有成立，则数列{an}是等比数列 ‎【分析】根据题意，分析平面向量平行、垂直的坐标表示，判断数列{an}是否为等差或等比数列．‎ ‎【解答】解：∵向量，=（n，n+1），n∈N*；‎ ‎∴当∥，（n+1）an﹣nan+1=0，‎ 即=；‎ ‎∴an=•••…••a1‎ ‎=••…••a1‎ ‎=na1，‎ ‎∴数列{an}为等差数列，‎ ‎∴A正确，B错误；‎ 当⊥时，nan+（n+1）an+1=0，‎ 即=﹣；‎ ‎∴an=•••…••a1‎ ‎=﹣•（﹣）•（﹣）…（﹣）•a1‎ ‎=•a1；‎ ‎∴数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，‎ ‎∴C、D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量平行的坐标表示，也考查了等差与等比数列的应用问题，中档题目．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（　　）‎ A．15 B．9 C．1 D．﹣‎ ‎【分析】先根据直线与圆相交，圆心到直线的距离小于等于半径，以及圆半径为正数，求出k的范围，再根据P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，满足直线与圆方程，代入直线与圆方程，化简，求出用k表示的ab的式子，根据k的范围求ab的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤‎ 解得﹣3≤k≤1，‎ 又∵k2﹣2k+3＞0恒成立 ‎∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，‎ 由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，‎ 得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，‎ ‎∴k=﹣3时，ab的最大值为9．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆相交位置关系的判断，做题时考虑要全面，不要丢情况．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知椭圆C：，F1、F2分别为其左、右焦点，A1、A2分别为其长轴的左、右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则的值为（　　）‎ A．8 B．16 C．20 D．24‎ ‎【分析】设M（4，t），P（s，m），C（﹣2，0）．直线MA1的方程为y=（x+4），与椭圆方程联立可得根与系数的关系，即可得出点M的坐标用t表示，再利用数量积运算化简整理即可得出的值．‎ ‎【解答】解：椭圆C：的a=4，‎ 可得A1（﹣4，0），A2（4，0），‎ 由MA2⊥A1A2，可设M（4，t），P（s，m），‎ 可得直线MA1的方程为y=（x+4），‎ 代入椭圆C：，可得：‎ ‎（32+t2）x2+8t2x+16t2﹣512=0，‎ 则﹣4s=，‎ 解得s=，‎ m=（s+4）=，‎ 即有P（，），‎ 则•=4•+t•‎ ‎=‎ ‎==16．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题有4个小题，每题5分.‎ ‎13．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0与直线mx+2y+4=0平行，则实数m的值　1　．‎ ‎【分析】利用直线平行的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵直线x+（1+m）y﹣2=0与直线mx+2y+4=0平行，‎ ‎∴﹣=﹣，且≠﹣2，‎ 解得m=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知，，的夹角为45°，且与垂直，则实数λ=　　．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得•的值，又由与垂直，则（）•=λ•﹣2=0，代入数据计算可得2λ﹣4=0，解可得λ的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，若，，的夹角为45°，‎ 则•=2×2×=2，‎ 若与垂直，则（）•=λ•﹣2=0，‎ 即2λ﹣4=0，‎ 解可得λ=；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查向量数量积的计算公式，注意向量垂直与向量数量积的关系．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知M，N分别为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，A1B1的中点，若AB=2，AD=AA1=2，则四面体C1﹣DMN的外接球的表面积为　13π　．‎ ‎【分析】四面体C1﹣DMN的外接球就是直三棱柱DMC﹣D1NC1，的外接球，根据数据求解 ‎【解答】解：如图所示，四面体C1﹣DMN的外接球就是直三棱柱DMC﹣D1NC1，的外接球，‎ 设棱柱DMC﹣D1NC1的底DMC的外接圆圆心为G，三棱柱DMC﹣D1NC1，的外接球为O，‎ ‎△DMC的外接圆半径r．r2=（2﹣r）2+（）2，解得r=，‎ 外接球的半径R==，‎ ‎∴四面体C1﹣DMN的外接球的表面积为4πR2=13π．‎ 故答案为：13π．‎ ‎【点评】本题考查了几何体的外接球，转化思想是解题轨迹，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是　　．‎ ‎【分析】点在椭圆的内部，则＞，|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，由﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c，即可求得椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵点在椭圆的内部，∴＞，则2b2＞a2，即a2＞2c2．‎ ‎∴＜，则|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，‎ 又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，‎ 要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c，＜10，则＞，‎ 则椭圆离心率的取值范围是（，），‎ 故答案为：（，）．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．‎ ‎（Ⅰ）若q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若“p或q”为真，且“p且q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若q为真命题，根据椭圆的方程形式进行求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若“p或q”为真，且“p且q”为假，则p，q一真一假，然后根据条件进行求解即可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ ‎∴1﹣2m＞m+3＞0，即，‎ 即q：．‎ 所以实数m的取值范围为…（4分）‎ ‎（Ⅱ）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根，‎ 则，解得﹣2＜m＜﹣1，‎ 即p：﹣2＜m＜﹣1…（6分）‎ 因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．‎ 又p且q为假，所以p、q至少有一个为假．‎ 因此，p、q两命题应一真一假．…（7分）‎ 当p为真，q为假时，，解得m∈φ…（8分）‎ 当p为假，q为真时，，解得．…（9分）‎ 综上，实数m的取值范围为．…（10分）‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DC1⊥平面BDC；‎ ‎（2）若AA1=2，求三棱锥C﹣BDC1的体积．‎ ‎【分析】（1）证明DC1⊥BC，DC1⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C1D⊥平面BDC；‎ ‎（2）利用VC﹣BC1D=VB﹣CC1D，求几何体C﹣BC1D的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1．（2分）‎ 又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．（3分）‎ 由题设知，∴，即C1D⊥DC．（4分）‎ ‎∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC．（6分）‎ ‎（2）解：∵AA1=2，D是棱AA1的中点，‎ ‎∴AC=BC=1，AD=1（7分）‎ ‎∴，（9分）‎ ‎∴Rt△CDC1的面积（10分）‎ ‎∴（11分）‎ ‎∴，即三棱锥C﹣BDC1的体积为．（13分）‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析表达与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O是坐标原点）‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆C上的一点，过P的直线l与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为M，证明：|PF|+|PM|为定值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）由P（x0，y0），则，（0＜x0＜），利用两点之间的距离公式丨PF丨=（2﹣x0），丨PM丨==x0，即可求证|PF|+|PM|为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e==，则a=2c，①△AOF的面积S=×bc=，则bc=1，②‎ a2=b2+c2，③‎ 解得：a2=2，b2=1，c2=1，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）证明：以椭圆的短轴为直径的圆的方程：x2+y2=1，右焦点为F（1，0），‎ 设P（x0，y0），则，‎ ‎（0＜x0＜），‎ 丨PF丨=‎ ‎==‎ ‎==（2﹣x0），‎ 又l与圆：x2+y2=1相切于M，‎ 丨PM丨=====x0，‎ 则|PF|+|PM|=（2﹣x0）+x0=．‎ ‎∴|PF|+|PM|为定值．‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM=CF．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG，进一步求得EG，可得点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，可得GK=．又MF=，得到MF=GK且MF∥GK．则四边形MFKG为平行四边形，从而得到GM∥FK，进一步得到直线GM∥平面DEF；‎ ‎（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABM，ABF的法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2，‎ 即VF﹣ABCD=，∴FG=．‎ 又BC=EF=，∴EG=，即点G是靠近点A的四等分点．‎ 过点G作GK∥AD交DE于点K，∴GK=．‎ 又MF=，∴MF=GK且MF∥GK．‎ 四边形MFKG为平行四边形，‎ ‎∴GM∥FK，‎ ‎∴直线GM∥平面DEF；‎ ‎（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，‎ 过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：‎ A（0，﹣1，0），B（，0，0），F（0，﹣，），M（）．‎ ‎，，．‎ 设平面ABM，ABF的法向量分别为，．‎ 由，则，取y=﹣，得，‎ 同理求得．‎ ‎∴cos＜＞=，‎ ‎∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知点M是圆心为E的圆（x+）2+y2=16上的动点，点F（，0），线段MF的垂直平分线交EM于点P．‎ ‎（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过原点O作直线l交（Ⅰ）中的轨迹C于点A，B，点D满足=+，试求四边形AFBD的面积的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）得到|PM|=|PF|，求出点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=，求出椭圆方程即可；‎ ‎（Ⅱ）求出SAFBD=2S△AFB，通过讨论AB是短轴、AB是长轴的情况，求出四边形的面积即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于点P为线段MF的垂直平分线，‎ 故|PM|=|PF|，‎ 故|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|ME|=4＞2，‎ 故点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=，‎ 因此P点的轨迹C的方程是：+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）由=+，知四边形AFBD是平行四边形，‎ 故SAFBD=2S△AFB，‎ ‎（1）AB是短轴时，‎ S△AFB=|AB|•|OF|=×2×=‎ 即SAFBD=2；‎ ‎（2）AB是长轴时，易知AFBD不是四边形，故AB斜率不是0；‎ ‎（3）直线AB的斜率存在且不是0时，设其斜率为k，‎ 则直线AB的方程是：y=kx（k≠0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立方程组，消去x得：‎ ‎（1+4k2）y2﹣4k2=0，‎ 故y1+y2=0，y1y2=，‎ SAFBD=2S△ABF=2×|OF|•|y1﹣y2|=•=•=，‎ 而+4＞4，故0＜＜=2，‎ 综上，四边形AFBD的面积的取值范围是（0，2]．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的轨迹方程，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为2，左焦点为F（﹣，0），过点D（0，3）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程及k的取值范围；‎ ‎（2）在y轴上是否存在定点E，使•恒为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由已知可得a2+b2=4，c=得a2，b2，设直线l：y=kx+3．把y=kx+3b2=1代入，消去y得（1+3k2）x2+18kx+24=0．则△=（18k）2﹣4×24（1+3k2）＞0，得k的取值范围；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，又y1y2=（kx1+3）（kx2+3）=，y1+y2=（kx1+3）+（kx2+3）=．假设存在点E（0，m），则，‎ ‎⇒═x1x2+m2﹣m（y1+y2）+y1y==‎ 要使得（t为常数），只要，从而，解得m ‎【解答】解：（1）由已知可得a2+b2=4，c=得a2=3，b2=1，．‎ 过点D（0，3）且斜率0为k的直线l：y=kx+3．‎ 把y=kx+3b2=1代入，消去y得（1+3k2）x2+18kx+24=0．‎ 则△=（18k）2﹣4×24（1+3k2）＞0‎ k＞或k＜﹣，‎ 所以k的取值范围是（﹣∞，﹣∪（．…（5分）‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=﹣，x1x2=，又y1y2=（kx1+3）（kx2+3）=，‎ y1+y2=（kx1+3）+（kx2+3）=．…（6分）‎ 假设存在点E（0，m），则，‎ 所以═x1x2+m2﹣m（y1+y2）+y1y=‎ ‎=，…（8分）‎ 要使得（t为常数），只要，‎ 从而，‎ 整理得6m=34，‎ 解得m=，从而t=，‎ 故存在定点E（0，）．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，及定点问题，属于压轴题．‎ ‎　‎